Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
431
Щільність розподілу суми незалежних випадкових
величин називають
композицією.
Якщо обидві щільності f
1
(x) і f
2
(y) задані на обмежених
інтервалах, то для обчислення щільності величини
y
x
z +
=
доцільно спочатку визначити функцію розподілу G(z), а потім
продиференціювати її по z:
)()( zGzg
′
=
.
Якщо Х і Y
– незалежні випадкові величини, що задані
відповідними щільностями розподілів f
1
(x) і f
2
(y), то
імовірність попадання випадкової точки (Х, Y) в область D
рівна подвійному інтегралу по цій області від добутку
щільностей розподілу:
∫∫
=⊂
)(
21
)()(],[
D
dxdyyfxfDYXP
(4.12.5).
Задачі
4.12.1. Задані щільності рівномірно розподілених неза-
лежних випадкових величин Х і Y: f(x) = 1 в інтервалі (0, 1),
поза ним f
1
(x) = 0; f
2
(y) = 1 в інтервалі (0, 1), поза ним f
2
(y) = 0.
Знайти функцію розподілу випадкової величини Z = X + Y.
Побудувати графік щільності розподілу g(z).
Розв’язок.
Можливі значення випадкової точки (Х, Y) розташовані в
квадраті OABC з сторонами 0 < x <1, 0 < y < 1. За означенням
інтегральної функції розподілу
=
<
=
)()( zZPzF
)( zYXP <+= (рис. 4.12.1).
Нерівність x + y < z задовольняється лише для точок, що
лежать нижче прямої x + y = z в квадраті OABC, яка відтинає
на осях х і y відрізки, що рівні z(x = 0, y = z; y = 0, x = z).
Оскільки, згідно умови X і Y незалежні, то
∫∫∫∫ ∫∫
=⋅==
)()()(
21
11)()()(
SSS
SdxdydxdydxdyyfxfzF ,
432
де S – частина площі квадрату OABC, що лежить нижче
прямої x + y = z, а тому залежить від z. Всі значення z розби-
вають на 4 інтервали.
Якщо
0≤z , то S = 0, тобто F(z) = 0.
Якщо 0 < z < 1, то
2
)(
2
z
SzF
ODE
==
Δ
.
Якщо 1 < z < 2, то
*
2
11)(
2
2
=−=−==
Δ
HB
SSzF
HBKOAHKC
.
HB = BK, HB = 1 – AH = 1 – AF = 1 – (z – 1) = 2 – z.
*
2
)2(
1
2
z−
−=
.
Якщо z > 2, то
111)(
=
⋅
=
=
OABC
SzF .
Рис. 4.12.1
Отже, інтегральна функція така:
0 z
E
1
C
2
х
y
2
1
D
z
AH B
K
433
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−
=
,1
,2/)2(1
,2/
,0
)(
2
2
z
z
zF
Оскільки
)()( zFzg
′
=
, то
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
,0
,2
,
,0
)(
z
z
zg
Графік функції щільності g(z) зображений на рис. 4.12.2.
Рис. 4.12.2.
4.12.2. Задані щільності розподілів рівномірно розподіле-
них незалежних випадкових величин Х і Y:
2
1
)(
1
=xf в інтер-
валі (1; 3), поза ним
0)(
1
=
xf ;
4
1
)(
2
=yf в інтервалі (2, 6),
поза ним
0)(
2
=yf . Знайти функцію розподілу і щільність
розподілу випадкової величини Z = X + Y. Побудувати графік
щільності розподілу g(z).
якщо 0
≤
z ;
якщо
10
<
<
z
;
якщо
21
<
<
z ;
якщо
2>z .
0 1 2 z
g
(z)
якщо 0
≤
z ;
якщо
10
<
<
z ;
якщо 21
<
<
z ;
якщо
2>z .
434
Розв’язок.
Можливі значення випадкової точки (X, Y) розташовані
всередині прямокутника ABCD з сторонами
31 ≤
≤
x ,
62 ≤≤ y (рис. 4.12.3).
За означенням інтегральної функції розподілу,
=)(zF
)()( zYXPzZP
<
+
=<=
.
Рис. 4.12.3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х
у
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
M
K
S
E
D
B
P
N
C
R
F
z
z
z
– 5
z
9 – z
x
+ y = z
Q
z
435
Нерівність z
y
x
<
+ задовольняється лише для тих то-
чок, що лежать нижче прямої
z
y
x
=
+
в прямокутнику
ABCD, яка відтинає на осях х і у відрізки, що рівні z.
Оскільки, згідно умови Х і Y незалежні, то
SdxdydxdydxdyyfxfzF
SSS
∫∫∫∫ ∫∫
==⋅==
)()()(
21
8
1
8
1
4
1
2
1
)()()(
,
де S – частина площі прямокутника, що лежить нижче
прямої
z
y
x
=+ . Оскільки площа S залежить від z, то всі
значення z розбиваються на 5 інтервалів проходження прямої
z
y
x
=+ через вершини прямокутника ABCD: z < 3; 3 < z < 5;
5 < z < 7; 7 < z < 9; z > 9.
Якщо z < 3, то S = 0, і F(z) = 0.
Якщо 3 < z < 5, то
2
)3(
2
−
==
Δ
z
SS
DEF
.
Якщо 5 < z < 7, то
SMNSNCDDMNC
SSSS
Δ
+
=
=
;
CNDCS
SNCD
⋅= , але
235
=
−
=
DC
,
5
−
=
=
zRNCN
;
2
2
)13(
2
22
=
−
==
Δ
SN
S
SMN
. Отже, 822)5(2 −
=
+
−
⋅
=
zzS .
Якщо 7 < z < 9, то
=
−
=
=
ΔQBPABCDADCPQ
SSSS
2
)9(
8
2
)9(
)26()13(
2
222
zzQB
ADDC
−
−=
−
−−⋅−=−⋅=
.
Таким чином, інтегральна функція F(z) рівна:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅
−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−⋅
−=−⋅
−
=
−
⋅
=⋅
=
,18
8
1
,
16
)9(
1
2
)9(
8
8
1
,1
4
)82(
8
1
,
16
)3(
2
)3(
8
1
,00
8
1
)(
22
22
zz
z
z
zz
zF
якщо z <3;
якщо 3 <
z < 5;
якщо 5 <
z < 7;
якщо 7 <
z < 9;
якщо
z > 9.
436
Тоді щільність розподілу )()( zFzg
′
=
рівна:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
,0
,8/)9(
,4/1
,8/)3(
,0
)(
z
z
zg
Графік функції щільності зображений на рис. 4.12.4.
Рис. 4.12.4.
4.12.3. Незалежні випадкові величини X та Y задані густи-
нами розподілу:
3
1
3
1
)(
x
exf
−
= (0 < x <
∞
);
5
2
5
1
)(
y
eyf
−
=
(0 < y <
∞
).
Знайти композицію цих законів, тобто густину розподілу
випадкової величини Z = X + Y.
Розв’язок.
Так як можливі значення аргументів невід’ємні, то
використаємо формулу:
якщо z <3;
якщо 3 <
z < 5;
якщо 5 <
z < 7;
якщо 7 <
z < 9;
якщо
z > 9.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z
z
0,3
0,2
0,1
437
;)()()(
2
0
1
dxxzfxfzg
z
−⋅=
∫
=⋅=⋅=
∫∫
+−−
−
−−
dxeedxeezg
z
xxzxzx
z
0
5355
)(
3
0
5
1
3
1
5
1
3
1
)(
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅−==
∫∫
−−
xde
e
dxe
e
z
x
z
z
x
z
15
2
2
15
15
1
15
1
0
15
2
5
0
15
2
15
,1
2
1
1
2
1
2
1
15
2
515
2
5
0
15
2
5
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=−=
−−−−−− z
z
z
z
z
x
z
eeeeee
тут
0≥z , оскільки 0,0 ≥≥ yx . Отже, ×=
−
5
2
1
)(
z
ezg
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−×
− z
e
15
2
1 в інтервалі ),0(
∞
і 0)(
=
zg поза цим інтер-
валом.
Перевіримо, що
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
∞
−
∞
∫∫
dzeedzzg
z
z
15
2
0
5
0
1
2
1
:1)(
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∫∫∫
∞
−
∞
−−
∞
−
5
)5(
2
1
2
1
0
5
0
15
2
5
0
2
z
dedzedze
z
z
z
z
.1)35(
2
1
35
5
1
3
)3(
0
3
0
53
0
=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
∞
−
∞
−−
∞
∫
zzz
ee
z
de
4.12.4. Незалежні нормально розподілені випадкові вели-
чини X і Y задані щільностями розподілів:
2
1
2
2/)(
1
1
2
1
)(
σ
πσ
ax
exf
−−
=
;
2
2
2
2/)(
2
2
2
1
)(
σ
πσ
by
eyf
−−
=
.
438
Довести, що композиція цих двох законів, тобто щіль-
ність розподілу випадкової величини
Y
X
Z
+
=
, також є нор-
мальним законом.
Розв’язок.
Для визначення закону щільності суми випадкових вели-
чин скористуємось формулою:
*
2
1
)()()(
2
2
2
2
1
2
2
)(
2
)(
21
21
=⋅
⋅⋅
=−=
−−
−
∞
∞−
−
−
∞
∞−
∫∫
dxeedxxzfxfzf
bxzax
σσ
σσπ
=
−−+−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
−
−
2
2
2
1
22
1
22
2
2
2
2
2
1
2
2
)()(
2
)(
2
)(
σσ
σσ
σσ
bxzaxbxzax
=
+−++−+−+
−=
2
2
2
1
22
1
2
2
22
1
2
2
22
2
2
1
2
)2()]([2)(
σσ
σσσσσσ
bzbzaxbzax
=
−++−+−+
−=
2
2
2
1
22
1
2
2
22
1
2
2
22
2
2
1
2
)()]([2)(
σσ
σσσσσσ
bzaxbzax
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
−=
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
)(
2
2
2
)(
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
bza
x
bza
x
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
+
+
−+
−
+
−=
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
)()(
2
2
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
bza
x
bza
x
=
⎥
⎥
⎦
⎤
+
−+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
−
2
2
2
1
2
1
22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
)()(
σσ
σσ
σσ
σσ
bzabza
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
−
+
−=
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
)(
2
σσ
σσ
σσ
σσ
bza
x
=
+
−++−−+
+
)(2
])()[(])([
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
22
2
22
2
2
1
2
1
2
2
σσσσ
σσσσσσ
bzabza
439
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
−
+
−=
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
)(
2
σσ
σσ
σσ
σσ
bza
x
=
+
−−−−
+
)(2
)()(2
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
σσσσ
σσσσσσ
bzabza
)(2
])[()(
2
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
σσσσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
+
−−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
−
+
−=
abzbza
x
.
==
∫
∞
∞−
+
−+
−
+
−
+
−−
−
dxee
bza
x
baz
2
]
)(
[
2)(2
)(
21
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
*
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σπσ
**
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
)(2
)}([
2
2
2
1
2
2
2
1
21
=
+
⋅=
∫
∞
∞−
−
+
+−
−
dzee
z
baz
σσ
σσ
σσ
σπσ
Зроблено заміну змінних
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
)(
2
z
bza
x =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
−
+
σσ
σσ
σσ
σσ
;
2
2
2
1
2
2
2
1
2
σσ
σσ
+
=
dz
dx
і враховано, що
∫
∞
∞−
−
=
π
dze
z
2
– інтеграл Пуассона.
=⋅⋅
+
=
+
+−
−
)(2
)]([
2
2
2
121
21
2
2
2
1
2
2
2
**
σσ
π
σσσπσ
σσ
baz
e
)(2
)(
)(2
)]([
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
σσσσ
σ
π
σσπ
+
−
−
+
+−
−
⋅=
+
=
z
mz
z
baz
ee
,
де
2
2
2
1
σσσ
+=
z
; bam
z
+
=
.
Отже, функція щільності суми Х + Y випадкових величин
підлягає нормальному закону.
440
4.13. Система двох випадкових величин
Випадкові величини, можливі значення яких визначають-
ся двома, трьома, ... n числами називаються відповідно
двомірними, трьохмірними, ... n-мірними. Двомірна випад-
кова величина (X, Y) визначається двома складовими або
компонентами Х і Y, що утворюють систему двох випадкових
величин.
Геометрична інтерпретація двомірної величини – випад-
кова точка М(Х; Y) на площині ХОY або як випадковий вектор
ОМ . Якщо складові Х і Y – дискретні, то двомірна величина є
дискретною, якщо складові неперервні, то – неперервною.
Законом розподілу імовірностей двомірної дискретної ви-
падкової величини називають відповідність пар чисел (
ji
yx ,
)
і їх імовірностей
),(
ji
yxp (і = 1, 2, ...., n; j = 1, 2, ..., m). Закон
розподілу задають у вигляді: а) аналітично; б) таблиці з по-
двійним входом (табл. 4.13.1).
Таблиця 4.13.1.
X Y
x
1
x
2
…
x
і
…
x
n
y
1
p(x
1
, y
1
) p(x
2
, y
1
) … p(x
і
, y
1
) … p(x
n
, y
1
)
… … … … … … …
y
j
p(x
1
, y
j
) p(x
2
, y
j
) … p(x
і
, y
j
) … p(x
n
, y
j
)
… … … … … … …
y
m
p(x
1
, y
m
) p(x
2
, y
m
) … p(x
і
, y
m
) … p(x
n
, y
m
)
Для того, щоб знайти імовірність ),(
i
xXP
=
треба про-
сумувати імовірності “стовпця x
і
”, )(
j
yYP
=
– імовірності
“лінійки y
j
”.
Події (X = x
і
, Y = y
j
) (і = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) ут-
ворюють повну групу, тому сума імовірностей, що розміщені
у всіх клітках таблиці, рівна одиниці.
Інтегральною або функцією розподілу двомірної
випадкової величини (X, Y) називають функцію F(x, y), яка
визначає для кожної пари чисел (x, y) імовірність того, що Х