Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
441
набуде значення, менше х, і при цьому Y набуде значення,
менше y:
),(),( yYxXPyxF
<
<
= (рис. 4.13.1) (4.13.1).
Функція розподілу має такі властивості:
1. Значення функції задовольняють подвійній нерівності
1),(0 ≤≤ yxF .
2. Функція розподілу є неспадною функцією по кожній
змінній, тобто
),(),(
12
yxFyxF ≥ , якщо
12
xx > ; ≥),(
2
yxF
),(
1
yxF≥ , якщо
12
yy > .
Рис. 4.13.1.
3. Виконуються граничні співвідношення: 1)
=
−
∞ ),( yF
0= ; 2) 0),( =−∞xF ; 3) 0),(
=
−
∞
−
∞F ; 1),(
=
∞
∞
F .
4. а) При
∞
=
y
функція розподілу системи стає функ-
цією розподілу складової Х:
)(),(
1
xFxF
=
∞
.
б) При
∞=
x
функція розподілу системи стає функцією
розподілу складової Y:
)(),(
2
yFyF
=
∞
.
Використовуючи функцію розподілу системи, можна
знайти імовірність попадання випадкової точки (X, Y) в на-
півсмугу
21
xXx << і Y < y (рис. 4.13.2а):
),(),(),(
1221
yxFyxFyYxXxP
−
=
<
<≤ (4.13.2) або в
напівсмугу Х < x і
21
yYy
<
<
(рис. 4.13.2б):
),(),(),(
1221
yxFyxFyYyxXP
−
=
<
≤< (4.13.3).
Y
X
0
(
x, y)
442
Рис. 4.13.2а.
Рис. 4.13.2б.
X
0
Y
x
1
x
2
(x
1
, y) (x
2
, y)
X
0
y
1
y
2
Y
x
y
X
0
y
1
y
2
Y
x
1
x
2
A (x
1
, y
2
) B (x
2
, y
2
)
C
(x
1
, y
1
) D (x
2
, y
1
)
Рис. 4.13.3.
443
Імовірність попадання випадкової точки (X, Y) в прямо-
кутник
21
xXx << ;
21
yYy
<
<
(рис. 4.13.3) рівна:
[
]
−
−
=
<
≤
<≤
21222121
,(),(),( yxFyxFyYyxXxP
[]
),(),(
1112
yxFyxF −− (4.13.4).
Щільністю сумісного розподілу імовірностей або дифе-
ренціальною функцією системи неперервної двомірної ви-
падкової величини
називають другу змішану похідну від
функції розподілу:
yx
yxF
yxf
∂∂
∂
=
),(
),(
2
(4.13.5).
Геометрично цю функцію можна розглядати як поверх-
ню, яку називають поверхнею розподілу. Якщо відома щіль-
ність сумісного розподілу f(x, y), то інтегральну функцію
F(x, y) обчислюють за формулою:
∫∫
∞−∞−
=
y
x
dxdyyxfyxF ),(),( (4.13.6), яка безпосередньо ви-
пливає з означення щільності.
Імовірність попадання випадкової точки (x, y) в область D
рівна подвійному інтегралу по області D від функції f(x, y):
∫∫
=⊂
)(
),()),((
D
dxdyyxfDYXP (4.13.7).
Геометрично цю формулу можна розглядати як об’єм ті-
ла, обмеженого зверху поверхнею
),( yxfz
=
, в основі якого
лежить проекція цієї поверхні на площину xOy.
Властивості двомірної щільності імовірності:
1. Двомірна щільність імовірності невід’ємна:
0),( ≥yxf
.
2. Подвійний невласний інтеграл з нескінченними межа-
ми від двомірної щільності рівний 1:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=1),( dxdyyxf .
444
Звідси випливає, що якщо всі можливі значення (x, y) на-
лежать обмеженій області D, то
∫∫
=
)(
1),(
D
dxdyyxf .
Щільність розподілу одномірної випадкової величини рів-
на невласному інтегралу з нескінченими межами від щіль-
ності сумісного розподілу системи з змінною інтегрування,
що відповідає другій складовій:
∫
∞
∞−
== dyyxf
dx
xdF
xf ),(
)(
)(
1
1
(4.13.8),
∫
∞
∞−
== dxyxf
dy
ydF
yf
),(
)(
)(
2
2
(4.13.9).
Умовні закони розподілу імовірностей складових.
Нехай двомірна випадкова величина (x, y) дискретна з
можливими значеннями складових: x
1
, x
2
, …, x
n
; y
1
, y
2
, …, y
m
.
Умовним розподілом складової X при Y = y
j
називають
сукупність умовних імовірностей p(x
1
|y
j
), p(x
2
|y
j
), …, p(x
n
|y
j
),
обчислених за умови, що подія Y = y
j
(стала для всіх значень
Х) уже відбулася:
)(
),(
)|(
constyp
constyxp
yxp
j
ji
ji
=
=
=
(і = 1, 2, …, n)
(4.13.10).
Аналогічно знаходять умовні закони розподілу складової
Y:
)(/),()|(
ijiij
xpyconstxpconstxyp
=
=
= (4.13.11).
Сума імовірностей умовного розподілу дорівнює 1:
∑∑
==
===
n
i
jjj
n
i
jiji
ypypypyxpyxp
11
1)(/)()(/),()|( ;
∑
=
=
m
j
ij
xyp
1
1)|(
.
Цю властивість розподілу використовують для контролю
обчислень.
445
Нехай (x, y) – неперервна двомірна випадкова величина.
Умовною щільністю )|( yx
ϕ
розподілу складової Х при
даному значенні Y = y називають відношення щільності суміс-
ного розподілу f(x, y) системи (x, y) до щільності розподілу
f
2
(y) складової Y:
∫
∞
∞−
== dxyxfyxfyfyxfyx ),(/),()(/),()|(
2
ϕ
(4.13.12).
Умовна щільність складової Y при даному значенні X = x
відповідно рівна:
∫
∞
∞−
== dyyxfyxfxfyxfxy ),(/),()(/),()|(
1
ψ
(4.13.13).
Отже, закон розподілу системи випадкових величин рів-
ний добутку закону розподілу одної з складових на умовний
закон розподілу другої складової:
)|()(),(
2
yxyfyxf
ϕ
= , )|()(),(
1
xyxfyxf
ψ
=
(4.13.14).
Умовні щільності мають такі ж властивості, як і будь-які
щільності:
0)|( ≥yx
ϕ
,
∫
∞
∞−
=1)|( dxyx
ϕ
;
0)|( ≥xy
ψ
,
∫
∞
∞−
=1)|( dyxy
ψ
.
Рівномірним називають розподіл двомірної неперервної
випадкової величини (X, Y), якщо в області, якій належать всі
можливі значення (x, y), щільність сумісного розподілу імо-
вірностей зберігає стале значення.
Умовним математичним сподіванням дискретної ви-
падкової величини Y при X = x (x – певне можливе значення Х)
називають добуток можливих значень Y на їх умовні
імовірності:
∑
=
==
m
j
jj
xypyxXYM
1
)|()|( (4.13.15), відповідно
446
∑
=
==
n
i
ii
yxpxyYXM
1
)|()|( (4.13.16).
Умовне математичне сподівання неперервної випадкової
величини Y при X = x рівна невласному інтегралу з нескін-
ченними межами інтегрування від добутку змінної y на
умовну щільність випадкової величини Y при X = x:
∫
∞
∞−
== dyxyyxXYM )|()|(
ψ
(4.13.17).
Відповідно
∫
∞
∞−
== dxyxxyYXM )|()|(
ϕ
(4.13.18).
Умовне математичне сподівання
)|( хYM як функцію від
х:
)()|( xfхYM = називають функцією регресії Y на Х.
Відповідно
)()|( yyXM
ϕ
=
– функція регресії Х на Y.
Числові характеристики неперервної системи двох ви-
падкових величин
Математичні сподівання складових Х і Y неперервної
двомірної випадкової величини (Х, Y) рівні:
∫
∞
∞−
= dxxxfXM )()(
1
(4.13.19);
∫
∞
∞−
= dyyyfYM )()(
2
(4.13.20);
∫∫
=
)(
),()(
D
dxdyyxxfXM
(4.13.21);
∫∫
=
)(
),()(
D
dxdyyxyfYM
(4.13.22),
де D – область можливих значень Х і Y.
Дисперсії складових Х і Y рівні:
[] []
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
2
1
2
1
2
)()()()()( XMdxxfxdxxfXMxXD
(4.13.23);
[] []
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
2
2
2
2
2
)()()()()( YMdyyfydyyfYMyYD
(4.13.24);
[]
[
]
∫∫ ∫∫
−=−=
)()(
2
2
2
)(),(),()()(
DD
XMdxdyyxfxdxdyyxfXMxXD
(4.13.25);
447
[]
[
]
∫∫ ∫∫
−=−=
)()(
2
2
2
)(),(),()()(
DD
YMdxdyyxfydxdyyxfYMyYD
(4.13.26).
Залежні і незалежні випадкові величини.
Теорема.
Для того, щоб випадкові величини Х і Y були
незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу
системи (X, Y) була рівна добутку функцій розподілу скла-
дових:
)()(),(
21
yFxFyxF
⋅
= (4.13.27).
Наслідок. Для того, щоб неперервні випадкові величини
Х і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність
сумісного розподілу системи (X, Y) була рівна добутку щіль-
ностей розподілу складових:
)()(),(
21
yfxfyxf
⋅
=
(4.13.28).
Початковим моментом
sk ,
ν
порядку k + s системи (Х, Y)
називають математичне сподівання добутку
sk
Y
X
:
][
,
sk
sk
YXM=
ν
.
Частковим випадком є
)(
0,1
XM
=
ν
, )(
1,0
YM
=
ν
.
Центральним моментом
sk ,
μ
порядку k + s системи (Х,
Y) називають математичне сподівання добутку відхилень від-
повідно k-го і s-го ступенів:
{
}
sk
sk
YMYXMXM )]([)]([
,
−⋅−=
μ
(4.13.29).
В часткових випадках
0)]([
0,1
=
−
=
XMXM
μ
,
0)]([
1,0
=
−= YMYM
μ
,
)()]([
2
0,2
XDXMXM =−=
μ
,
)()]([
2
2,0
YDYMYM =−=
μ
.
Кореляційним моментом
xy
μ
системи (X, Y) називають
центральний момент
1,1
μ
порядку 1 + 1, що рівний мате-
матичному сподіванню добутку відхилень цих величин:
{}
)]()][([ YMYXMXM
xy
−
−=
μ
(4.13.30).
Для дискретних величин формула набуває вигляду:
448
∑∑
==
−−=
n
i
m
j
jijixy
yxpYMyXMx
11
),()]()][([
μ
(4.13.31),
для неперервних величин –
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=−−= dxdyyxfYMyXMx
xy
),()]()][([
μ
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−= )()(),( YMXMdxdyyxxyf (4.13.32).
Теорема 1. Кореляційний момент двох незалежних випад-
кових величин Х і Y рівний нулю.
Теорема 2. Абсолютна величина кореляційного моменту
двох випадкових величин Х і Y не перевищує середнє геомет-
ричне їх дисперсій:
yxxy
DD≤
μ
.
Коефіцієнтом кореляції величин Х і Y називають відно-
шення кореляційного моменту до добутку середніх квадра-
тичних відхилень цих величин.
yxxyxy
r
σ
σ
μ
/= .
Теорема 3. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не
перевищує 1:
1≤
xy
r .
Дві випадкові величини є
корельованими, якщо їх коре-
ляційний момент відмінний від нуля.
Дві випадкові величини називають
некорельованими, як-
що їх кореляційний момент рівний нулю.
Дві корельовані величини є також і залежними; якщо дві
величини залежні, то вони можуть бути як корельованими,
так і некорельованими. З незалежності двох величин випливає
їх некорельованість, але з некорельованості ще не можна зро-
бити висновок про незалежність цих величин.
Для нормально розподілених
складових двомірної випад-
кової величини з некорельованості цих величин випливає їх
незалежність, так що поняття незалежності і некорельованості
для них рівнозначні.
449
Задачі
4.13.1. Задана функція розподілу двомірної випадкової ве-
личини:
0
)1)((1
)(
24
⎩
⎨
⎧
−−
=
− yx
ee
xF
Знайти двомірну густину ймовірності системи (X, Y).
Розв’язок.
Використаємо формулу:
;),(
2
yx
F
yxf
∂∂
∂
=
)1(4)4()()1(
2442 yxxy
eeee
x
F
−−−−
−=−⋅−⋅−=
∂
∂
,
yxyxyx
eeeee
yx
F
242424
2
88)2)((4
⋅−−−−−
==−−=
∂∂
∂
.
Перевірка:
×−=⋅=
∫∫∫∫∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞∞
)4(8),(
0
4
0
2
0
4
00
xdedyedxedxdyyxf
xyx
.1
1
1lim
1
1lim)2(
24
0
2
0
4
0
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⋅=−×
∞⋅
∞→
∞⋅
∞→
∞
−
∞
−
∞
−
∫
ee
eeyde
yx
yxy
4.13.2. Щільність сумісного розподілу
),(
2,1
vuf
xx
величин
x
1
,
x
2
визначається рівностями )(),(
2,1
vucvuf
xx
+
=
при
,10 ≤≤ u
10 ≤≤ v і 0),(
2,1
=
vuf
xx
в решти випадках.
Знайти:
а) константу с,
б) одномірні щільності розподілу х
1
і х
2.
при х ≥ 0, y ≥ 0;
при
х < 0 або y < 0.
450
Розв’язок.
Для знаходження параметра с скористаємося формулою
∫∫
=+
1
0
1
0
1)( dvvuudс
. Оскільки
=+=+=+
∫∫∫∫
duudu
v
uvdvvuudс )
2
1
()
2
()(
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
.1
2
1
2
1
)
2
1
2
(
1
0
2
=+=+= u
u
Отже, с = 1 і
vuvuf
xx
+
=
),(
2,1
.
Знайдемо щільності розподілу кожної із величин за фор-
мулами
∫
∞
∞−
= dvvufuf
xxx
),()(
2,11
та
∫
∞
∞−
= duvufvf
xxx
),()(
2,12
. В
нашому випадку при
10
≤
≤
u
і
10
≤
≤
v
маємо:
2
1
)
2
()()(
1
0
1
0
2
1
+=+=+=
∫
u
v
uvdvvuuf
x
,
2
1
)
2
()()(
1
0
1
0
2
2
+=+=+=
∫
vuv
u
dvvuvf
x
.
4.13.3. Задані щільнoсті розподілу незалежних складових
двомірної випадкової величини (Х,Y):
x
exf
5
1
5)(
−
= при х > 0;
0)(
1
=xf при х
≤
0;
y
eyf
2
2
2)(
−
= при y > 0;
0)(
2
=yf
при y
≤
0.
Знайти: а) щільність сумісного розподілу системи б) ін-
тегральну функцію розподілу системи.
Розв’язок.
Оскільки складові системи незалежні, то: