Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
471
Рис. 4.13.6.
Оскільки
1
ξ
і
2
ξ
– незалежні випадкові величини, то
щільність їх сумісного розподілу рівна добутку щільностей
складових:
)()(),(
2121
vfufvuf
ξξξξ
⋅
= , де
u
euf
1
1
1
)(
λ
ξ
λ
−
⋅=
,
v
evf
2
2
2
)(
λ
ξ
λ
−
⋅= . Інтегруючи щільність розподілу ),(
21
vuf
ξξ
по області D, маємо:
∫∫
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
+
=
)(
21
1
),()(
21
D
dudvvufzPzF
ξξη
ξξ
ξ
∫∫ ∫ ∫
∞∞
−
−−−−
===
)(0
1
2121
2121
D
z
z
u
vuvu
dveduedudvee
λλλλ
λλλλ
==⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
∫∫∫
∞
+−
−
∞
−
∞
−
−
dueduvdee
z
zzu
z
z
u
v
u
0
)(
1
0
1
2
2
21
221
3
1
)(
1
λλλ
λ
λ
λλ
λ
λλ
221
1
)(
221
1
)(
0
221
λλλ
λ
λλλ
λ
λλλ
+−
=
∞
+−
⋅=
+−
−
z
z
e
zz
z
z
zzu
.
Отже,
,
,1
)(
,0
)(
221
1
λλλ
λ
η
+−
=
z
z
zF
u
v
z
z
uv
−
=
1
0
≤
z ,
10
≤
<
z ,
1>z .
472
4.13.17. Нехай
ξ
і
η
– незалежні випадкові величини, які
мають показниковий розподіл з параметром
λ
. Обчислити: а)
функцію розподілу
η
ξ
ω
= ; б) щільність розподілу
η
ξ
;
в) математичне сподівання
η
ξ
.
Розв’язок.
а) Оскільки випадкові величини
ξ
і
η
– додатні, то їх
відношення
0>
η
ξ
. Оскільки
u
euf
λ
η
λ
−
=)(
і
v
evf
λ
η
λ
−
=)(
,
то з-за незалежності випадкових величин
ξ
і
η
vu
eevfuff
λλ
ηξω
λ
−−
==
2
)()(
.
Нехай z > 0, тоді
{}
DPzPzF ∈=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<= ),()(
ηξ
η
ξ
ω
, де
область D визначена нерівностями:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
>>< 0,0,:),( vuz
v
u
vuD
.
Рівняння граничної прямої
u
zz
u
v ⋅==
1
, а розв’язок існує
в напівплощині
z
u
v >
(рис. 4.13.7).
Інтегруючи щільність розподілу
),(
,
vuf
ηξ
по області D,
маємо:
∫∫∫∫
∞∞
−−−−
===
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<=
0
22
)(
z
u
vu
D
vu
dveduedudveezPzF
λλλλ
ω
λλ
η
ξ
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∞
⋅=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⋅=
∫∫∫
∞
−−
∞
∞
−−
du
z
u
eeduvdee
vu
z
u
vu
00
2
[)(
1
[
λλλλ
λλ
λ
λ
473
===⋅=
∫∫∫
∞
+
−
∞
−−
∞
−
−
duedueduee
z
zu
z
u
u
z
u
u
0
)1(
00
λλλλ
λ
λλλ
1
0
1
)1(
1
)1(
0
)1(
+
=
∞
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
+
−
∞
+
−
∫
z
z
e
z
z
z
zu
de
z
z
z
zu
z
zu
λλ
λ
.
Рис. 4.13.7.
б) Щільність розподілу
2
)1(
1
1
)()(
z
z
z
zFzf
+
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
′
=
ωω
.
в)
=⋅==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫∫∫∫
∞
−
∞
−−−
∞∞
21
0000
1
S
y
I
xyx
dye
y
dxexdxdyee
y
x
M
λλλλ
λλλλ
η
ξ
І
2
– невласний інтеграл 1-го і 2-го роду.
dye
y
dye
y
I
yy
λλ
λλ
−
∞
−
∫∫
+=
1
1
0
2
11
Очевидно, що 2-й інтеграл існує. Розглядаємо
=≥=
∫∫∫
→
−−
→
−
dy
y
edye
y
dye
y
yy
1
0
1
1
0
1
0
1
lim
1
lim
1
ε
ε
λλ
ε
ε
λ
λλλ
∞===
−
→
−
ελ
ε
λ
λ
ε
λ
lnlim
1
lnlim
0
eye .
Отже і-а розбіжний.
u
v
z
u
v =
474
4.13.18. Випадкові величини
1
ξ
і
2
ξ
незалежні і рівно-
мірно розподілені на відрізку [0, 1]. Знайти щільність розпо-
ділу випадкової величини:
21
ξ
ξ
η
⋅
=
.
Розв’язок.
Оскільки випадкові величини
1
ξ
і
2
ξ
рівномірно розпо-
ділені на відрізку [0, 1], то їхні щільності розподілу рівні
1
)(
1
=
u
f
ξ
, 1)(
2
=vf
ξ
, а якщо вони і незалежні, то щільність їх
сумісного розподілу рівна
111)(
21
,
=
⋅
=
⋅
vuf
ξξ
на 10 ≤
<
u ;
10 ≤< v .
Інтегральна функція
=
≤
⋅
=
≤
=
)()()(
21
zPzPzF
ξ
ξ
η
η
∫∫
=
D
dudv , де область
{}
10;10;:),(
≤
≤
≤
≤
<
⋅= vuzvuvuD .
Очевидно, що
0)(
=
≤
zP
η
, оскільки область D пуста,
1)( =≤ zP
η
при 2≥z , бо достовірно попадає вся область D.
При
10 << z
(рис. 4.13.8).
Рис. 4.13.8.
=+=+=+⋅=+==
∫∫∫∫
z
uzz
u
du
zzdu
u
z
zSSdudvzF
zzD
1
ln1)(
11
21
η
)ln1(ln zzzzz −=−= .
475
Отже,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
1
),ln1(
0
)(
zz
zF
η
Звідси щільність розподілу
zzzzzzFzf ln1ln1)ln()()(
−
=
−
−
=
′
−
=
′
=
ηη
.
Або
=+=+=+⋅=
∫∫∫ ∫
11
0
1
1)(
zz
u
z
z
u
du
zzdu
u
z
zdvduzzF
η
zzzzzzuzz
z
ln)ln1(lnln
1
−=−+=+=
.
Або
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅=
∫∫∫
11
0
1)(
zz
v
z
dv
v
z
zdvduzzF
η
zzzuzz
z
lnln
1
−=+=
.
4.13.19. Випадкові величини
1
ξ
і
2
ξ
незалежні і мають
рівномірний розподіл на відрізку [0, 1]. Знайти функцію роз-
поділу випадкової величини
21
1
ξξ
ξ
η
+
=
.
Розв’язок.
Оскільки випадкові величини рівномірно розподілені на
відрізку [0, 1], то їхні щільності відповідно рівні
1)(
1
=uf
ξ
,
1)(
2
=vf
ξ
, а внаслідок їх незалежності =),( vuf
η
111)()(
21
=
⋅
=⋅= vfuf
ξξ
.
Отже,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
+
= zPzF
21
1
)(
ξξ
ξ
η
, де значення z розби-
при 0
≤
z ;
при 0 < z < 1;
при z >1.
u
z
v =
476
ваються на 2 інтервали:
);0(
2
1
;0
211
ξξξ
==−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
; )0;(1;
2
1
221
==−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξξξ
.
(Див. рис. 4.13.9).
Рис. 4.13.9.
Якщо
2
1
0 << z
, то
∫∫∫∫
−
===
1
0
1
0
1
)(
z
vz
D
dudvdudvzF
η
)1(2211
1
0
2
1
0
1
0
1
0
z
zv
z
z
dv
z
vz
dvu
z
vz
−
=⋅
−
=
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∫∫
−
.
Якщо
1
2
1
<< z
, то
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=−=−=
∫∫ ∫∫∫
−
−
duvdvdududvzF
z
z
u
z
z
u
D
1
0
1
0
1
0
1
0
111)(
2
η
z
z
z
zu
z
z
du
z
zu
2
13
2
1
1
2
1
1
)1(
1
1
0
2
1
0
−
=
−
−=⋅
−
−=
−
−=
∫
.
Якщо
1>z , то 1)(
=
zF
η
.
z
vz
−
1
v
1
0
1 u
z
z
u
−
1
vu
=
1
2
1
<< z
D
2
2
1
0 << z
D
1
477
Остаточно,
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
,1
,
2
13
,
)1(2
,0
)(
z
z
z
z
zF
η
4.13.20.
Нехай
ξ
і
η
– незалежні випадкові величини, які
мають показниковий розподіл з параметром
λ
. Знайти функ-
цію розподілу випадкової величини
ξ
η
ξ
+
.
Розв’язок.
Оскільки у показниковому законі розподілу випадкові ве-
личини
ξ
і
η
додатні, то 11 >+=
+
=
ξ
η
ξ
η
ξ
γ
. Згідно озна-
чення, інтегральна функція рівна:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
+
zF
ξ
ηξ
γ
, тому
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
+
zF
ξ
ηξ
γ
при 1
≤
z . При 1>z =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
+
zF
ξ
ηξ
γ
{}
DP ∈= ),(
η
ξ
, де заштрихована область D визначена нерів-
ностями (рис. 4.13.10):
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
>><
+
= 0,0,:),( vuz
vu
u
vuD
.
Рис. 4.13.10.
якщо z < 1;
якщо 0 < z <
2
1
;
якщо
2
1
< z < 1;
якщо z > 1.
u
v
v = u(z – 1)
478
Сумісна щільність розподілу незалежних величин
ξ
і
η
рівна добутку імовірностей складових:
vu
eevfuff
λλ
ηξ
λληξ
−−
⋅=⋅= )()(),( .
Інтегруючи сумісну щільність розподілу по області D
отримуємо:
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
+
=<=
∫∫
−−
dudveezPzPzF
D
vu
λλ
γ
λ
ξ
ηξ
γ
2
)()(
∫∫∫∫
∞∞
−
−−
−
−−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−==
00
0
)1(
2
)1(
0
2
)(
1
zu
vu
zu
vu
vdeduedvedue
λ
λ
λλ
λλλλ
∫∫
∞
−−−
∞
−
−−
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
)1(
0
0
)1(
)1( dueeduee
zuu
zu
vu
λλλλ
λλ
∫∫ ∫ ∫
∞∞
∞
∞
−−−−−−
=−−=−=
00
0
0
)1(
)( dueudedueedue
uzuzuuu
λλλλλ
λλλλ
z
e
z
uzde
z
e
uzuzu
1
1
1
1)(
1
0
0
0
−=+=−+=
∞
−
∞
−
∞
−
∫
λλλ
λ
.
4.13.21. В першому квадранті задана функція розподілу
системи двох випадкових величин:
+−+=
−− yx
yxF 221),(
yx−−
+ 2 . Обчислити: а) двомірну щільність імовірності сис-
теми; б) імовірність попадання випадкової точки (Х, Y) в
трикутник з вершинами А (1; 3), В (3; 3), С (2; 8).
Розв’язок.
а) Двомірну щільність імовірності (щільність сумісного
розподілу) обчислимо згідно формули:
yxyx
yxF
yxf
yxyx
∂∂
+−+∂
=
∂∂
∂
=
−−−−
)2221(),(
),(
22
;
479
)22(2ln
),(
yxx
x
yxF
−−−
+−=
∂
∂
;
yx
yx
yxF
−−
⋅=
∂∂
∂
22ln
),(
2
2
.
Отже,
yx
yxf
−−
⋅= 22ln),(
2
.
б) Імовірність попадання випадкової точки (Х, Y) в
область D визначається рівністю:
∫∫
=∈
D
dxdyyxfDYXP ),(]),[( .
Область D – рівнобедрений трикутник ABC (рис.4.13.11).
Рис. 4.13.11.
Для визначення меж області D = D
1
+ D
2
визначимо
рівняння сторін AC і CB, як рівняння прямих, що проходять
через дві точки:
у
8
6
4
2
0
1 2 3 4 х
C (2, 8)
B
(3, 3)
A
(1, 3)
D
1
D
2
480
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
.
АС:
38
3
12
1
−
−
=
−
−
→
−
−
=
−
−
yx
yy
yy
xx
xx
AC
A
AC
A
.
Рівняння АС: y = 5x – 2.
Аналогічно знаходимо рівняння СВ: y = 18 – 5x.
Отже,
)(2ln),(),(),(
12
21
2
∫∫ ∫∫
+=+=∈
DD
IIdxdyyxfdxdyyxfDyxP
.
∫∫ ∫∫∫
−
−−−−−
×===
2
1
25
3
2
1
1
22222
1
x
xyxy
D
x
dxdydxdxdyI
∫∫∫
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=−×
−−−−
−
−
−
−
−
2
1
)25(3
2
1
3
25
3
25
)22(2
2ln
1
2ln
2
2)(2 dxdxyd
xx
x
y
x
x
y
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∫∫∫
−−−
1
2
3
2
1
2
1
62
3
)(2
2
1
2ln
1
222
2
1
2ln
1
xddxdx
xxx
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
+⋅=
⎥
⎦
⎤
−+
−−
−
∫
2
1
62
1
2
3
2
1
6
2
2ln
2
32
2
2ln
2
2
1
2ln
1
)6(2
6
2
xx
x
xd
⎢
⎣
⎡
+⋅−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
−−−−
542
61221
32
2
1
3
4
2
1
2ln
1
)22(
3
2
)22(
2
1
2ln
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⋅
+
114211
23
1
23
1
2ln
1
23
1
.
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
∫∫∫∫
−
−−
−
−−
3
2
3
518
3
2
518
3
2
)(2222
x
yx
x
yx
yddydxI
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−−−
−
−
−
∫∫
dxdx
xx
x
y
x
)22(2
2ln
1
2ln
2
2
1853
3
2
3
518
3
2