Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
461
Розв’язок.
Для знаходження параметра а використаємо властивість:
,1),( =
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dxdyyxf отже:
==
∫∫∫∫
∞
∞−
+
−
∞
∞−
−
−
+
−
∞
∞−
∞
∞−
−
−
dyedxeadxdyeea
y
x
y
x
4
)2(
8
)1(
4
)2(
8
)1(
2
2
2
2
×
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
∫∫
∞
∞−
+
−
∞
∞−
−
−
2224
2
8
1
48
4
)2(
8
)1(
2
2
ay
de
x
de
a
y
x
,1=⋅×
ππ
оскільки
π
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−
due
x
de
u
x
2
2
8
1
8
)1(
,
π
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
+
−
due
y
de
u
y
2
2
4
2
4
)2(
– інтеграли Пуассона,
звідки
24
1
π
=a .
Імовірність попадання випадкової точки, розподіленої за
нормальним законом в прямокутник виражається формулою:
×
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ=∈
ξ
ξ
ξ
ξ
σ
α
σ
β
ηξ
mm
DP
4
1
)),((
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ×
n
n
n
n
mm
σ
ω
σ
ς
.
Тут:
;1=
ξ
m
);82(2
2
==
σσ
ξ
;2
−
=
η
m
)42(2
2
==
σσ
η
.
Отже,
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
Φ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ=≤≤≤≤−
2
11
2
11
4
1
)20,11( yxP
() ()
[]
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ⋅Φ−Φ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Φ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Φ×
2
2
2
4
10
4
1
2
20
2
22
462
() ( ) ( )
[][]
=−⋅⋅==Φ−Φ⋅Φ= 8427,09952,06827,0
4
1
4142,18284,21
4
1
.026,00260316,0 ≈=
4.13.11. Щільність сумісного розподілу неперервної дво-
мірної випадкової величини (X, Y):
22
42
),(
yxyx
Ceyxf
−−−
= .
Знайти:
а) постійний множник С;
б) щільності розподілу складових;
в) умовні щільності розподілу складових.
Розв’язок.
а) Використаємо властивість інтегральної функції
1),( =∞∞F . Отже, 1),(
22
42
==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−−−
dxdyeCyxF
yxyx
.
Звідси
dxdye
C
yxyx
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−−−
=
22
42
1
.
Обчислимо знаменник, врахувавши, що
2222222
3)(3242 yyxyyxyxyxyx ++=+++=++ .
×==
∫∫∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−−−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−−−
dyedxedyedxdye
yyxyxyyxyx
222222
32342
()
()
==⋅=+×
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
+−
ydedyeyxde
y
yyx
3
3
)(
2
22
3
3)(
π
π
33
π
π
π
=⋅=
.
Тут використано, що
,)(
22
)(
π
==+
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
+−
dueyxde
uyx
π
==
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
dueyde
u
y
2
2
)3(
)3(
– інтеграли Пуассона.
463
Отже,
π
3
=C
.
б) Щільності розподілу складових
×===
−
∞
∞−
−−−
∞
∞−
∫∫
222
33
),()(
42
1
xyxyx
edyedyyxfxf
ππ
*
2
42
=×
∫
∞
∞−
−−
dye
yxy
Зробимо перетворення:
=−+⋅⋅+−=+−=−− ]
442
224[)24(42
22
222
xxx
yyxyyyxy
.
4
)
2
2(]
4
)
2
2[(
2
2
2
2
xx
y
xx
y ++−=−+−=
=+⋅==
∫∫
∞
∞−
+−−
∞
∞−
+−+−
)
2
2(
2
133
*
222
2
2
)
2
2(
4
3
)
2
2(
4
x
ydeedyee
x
yx
x
y
x
x
ππ
.
2
3
2
3
2
3
2222
75,075,075,0 xxzx
eedzee
−−
∞
∞−
−−
=⋅==
∫
π
π
ππ
Тут враховано, що
π
==+
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
+−
dze
x
yde
z
x
y
2
2
)
2
2(
)
2
2(
– інтеграл Пуассона.
===
∫∫
∞
∞−
−−−
∞
∞−
dxedxyxfyf
yxyx
22
42
2
3
),()(
π
=+==
∫∫
∞
∞−
+−−−
∞
∞−
+−
)(
33
2222
)(33)(
yxdeedxee
yxyyyx
ππ
,
333
222
33 yyz
eedze
−−
∞
∞−
−
=⋅==
∫
π
π
ππ
оскільки
π
=
∫
∞
∞−
−
dze
z
2
– інтеграл Пуассона.
464
в) Умовні щільності розподілу складових:
==
⋅
⋅
==
−−−
−
−−−
π
π
π
ϕ
22
2
22
2
3
42
2
3
3
)(
),(
)(
yxyx
y
yxyx
e
e
e
yf
yxf
yx
2
)(
1
yx
e
+−
=
π
;
=
⋅
⋅⋅
==
−
−−−
2
22
75,0
42
1
3
233
)(
),(
)(
x
yxyx
e
e
xf
yxf
xy
π
π
ϕ
.
222
22222
)4(25,0)168(25,04225,0 yxyxyxyxyx
eee
+−++−−−−
===
πππ
4.13.12. Неперервна двомірна випадкова величина (X, Y)
розподілена рівномірно всередині прямокутника з центром
симетрії в початку координат і сторонами 2a та 2b, які
паралельні координатним осям.
Знайти:
а) двомірну щільність ймовірності системи;
б) щільності розподілу складових.
Розв’язок.
Щільності імовірності складових:
;
2
1
))((
1
)(
aaa
xf =
−−
=
.
2
1
))((
1
)(
bbb
yf =
−−
=
Щільність сумісного розподілу системи:
abba
yfxfyxf
4
1
2
1
2
1
)()(),( =⋅=⋅=
, оскільки складові
системи незалежні (рис. 4.13.4).
Рис. 4.13.4.
x
y
b
-
b
-
a
a
465
4.13.13. Задана щільність сумісного розподілу неперер-
вної випадкової двомірної величини (X, Y): f(x, y) = 2cosxcosy
в квадраті
4
0
π
≤≤ x
,
4
0
π
≤≤ y
; за межами квадрату f(x ,y) =
= 0.
Знайти математичне сподівання складових.
Розв’язок.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤
⋅=
.
4
0
;
4
0
coscos2),(
π
π
y
x
yxyxf
;)()(
1
dxxfxXM
∫
∞
∞−
= dyyxfxf
∫
∞
∞−
= ),()(
1
.
Обчислимо спочатку щільність розподілу складової Х:
==⋅=
∫∫
dyyxydyxxf
4
0
4
0
1
coscos2coscos2)(
ππ
.cos2
2
2
cos2
4
sincos2sincos2
4
0
xxxyx =⋅=⋅=⋅=
π
π
Аналогічно отримаємо
yyf cos2)(
2
= .
Обчислимо математичне сподівання складової Х:
==⋅=
∫
xdxxxdxxXM cos2cos2)(
4
0
4
0
π
π
=⋅==
==
=
==
=
∫
∫
xdxxxM
xxdxv
dvxdx
dxduxu
cos2)(
;sincos
,cos
;,
4
0
π
466
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
==
=
==
=
∫
∫
4
0
4
0
sin2
;sincos
,cos
;,
cos2
π
π
xx
xdxxv
dvxdx
dxduxu
xdxx
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⋅=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
∫
1
2
2
2
2
4
2cos
4
sin
4
2sin
4
0
4
0
πππ
π
π
xdxx
4
244
8
2882
8
8242
2
−+
=
−+⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
=
πππ
.
Очевидно, що
4
244
)(
−+
=
π
YM . Отже, =)(XM
4
244
)(
−+
==
π
YM .
4.13.14. Задана двомірна щільність імовірності
=),( yxf
322
)1/( ++= yxC системи випадкових величин (X, Y). Знайти
постійну С.
Розв’язок.
Для знаходження постійної С використаємо властивість:
1
)1(
322
=
++
∫
yx
dxdy
С
.
Для обчислення інтегралу використаємо полярні коор-
динати:
ϕ
ρ
cos=
x
,
ϕ
ρ
cos
=
y
,
ρ
ϕ
ρ
dddxdy
=
,
∞≤
≤
ρ
0
,
π
ϕ
20 ≤≤ .
Отже,
=
+
+
=
++
∫∫∫∫
∞∞
ππ
ρ
ρ
ϕ
ϕρϕρ
ϕρρ
2
00
32
2
2
00
32222
)1(
)1(
2)1sincos(
d
d
Сdd
С
467
1
2
0
)1(2
lim
0
13
)1(
lim2
2
22
132
==
∞
+
=
∞
+−
+
⋅=
∞→
+−
∞→
π
ρ
πρ
π
ρρ
CCC
;
Звідси,
π
π
2
2
:1 ==C
.
4.13.15. Система двох випадкових величин
),( YX
рівно-
мірно розподілена в трикутнику, обмеженому прямими у = х,
у = 0, х = 2. Встановити, чи величини X і Y є залежними.
Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин Х і Y.
Розв’язок.
Система двох неперервних випадкових величин має рів-
номірний розподіл в області D площини х0у, якщо щільність
імовірності в цій області постійна
= С: рівна нулю в решти
точках площини х0у:
⎩
⎨
⎧
=
0
),(
C
yxf
, де
D
S
С
1
=
,
D
S –
площа області D.
На рис. 4.13.5 заштрихована область D.
Рис. 4.13.5.
Отже,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
,0
,
2
1
),( yxf
всередині D
поза D
якщо 0 < x < 2, 0 < y < x;
при всіх решта х і у.
0 1 2 х
2
1
А
B
C
y
= x
468
Обчислимо математичні сподівання складових Х і Y:
∫∫∫∫ ∫∫
==⋅==
2
00)(
2
00
2
1
2
1
),()(
x
D
x
dyxdxdxdyxdxdyyxxfXM
3
4
0
2
32
1
2
1
0
2
1
3
2
0
2
2
0
=⋅==⋅=
∫∫
x
dxxdx
x
yx
;
===⋅=
∫∫∫∫∫
dx
x
y
ydydxdxdyyYM
x
D
0
22
1
2
1
2
1
)(
2
0
2
2
00)(
.
3
2
0
2
34
1
3
=⋅=
y
Обчислимо щільності складових:
x
x
ydydyyxfxf
xx
2
1
0
2
1
2
1
),()(
00
1
====
∫∫
;
отже,
xxf
2
1
)(
1
= при 0 < x < 2.
Аналогічно,
12
2
1
0
2
2
1
2
1
),()(
2
0
2
0
2
=⋅====
∫∫
xdxdxyxfyf
при 0 < y < x.
Для того, щоб встановити, чи є випадкові величини X і Y
залежними, обчислимо умовні щільності імовірностей скла-
дових:
2
1
12
1
)(
),(
)|(
2
=
⋅
==
yf
yxf
yx
ϕ
;
xxxf
yxf
xy
1
2
21
)(
),(
)|(
1
=
⋅
⋅
==
ψ
.
Оскільки,
)|()(
1
yxxf
ϕ
≠
і )|()(
2
xyyf
ψ
≠
, то випад-
кові величини X і Y є залежними.
Обчислимо кореляційний момент
469
−⋅=−=
∫∫ ∫∫
dxdyxyYMXMdxdyyxxyf
DD
xy
)(
2
1
)()(),(
μ
=−=⋅−=−
∫∫∫
9
8
0
22
1
3
2
3
4
2
1
)()(
2
0
2
2
00
dx
x
y
xydyxdxYMXM
x
.
9
1
9
8
16
16
9
8
0
2
44
1
9
8
22
1
4
2
0
2
=−=−⋅=−⋅=
∫
x
dx
x
x
Коефіцієнт кореляції
yx
xy
xy
r
σσ
μ
=
, де середні квадратичні
відхилення
)(XD
x
=
σ
і )(YD
y
=
σ
.
Обчислимо дисперсії складових:
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=−=
∫∫ ∫∫
2
)(
2
00
222
3
4
2
1
)(),()( dxdyxXMdxdyyxfxXD
D
x
=−⋅=−⋅=−=
∫∫∫∫
9
16
2
1
9
16
0
2
1
9
16
2
1
2
0
2
2
0
2
2
00
2
xdxxdx
x
ydxxdydxx
x
.
9
2
9
16
2
9
16
0
2
42
1
4
=−=−⋅=
x
3
2
=
x
σ
.
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=−=
∫∫ ∫∫
2
)(
2
00
222
3
2
2
1
)(),()( dxdyyYMdxdyyxfyYD
D
x
−⋅=−=−=−=
∫∫∫∫
0
2
46
1
9
4
32
1
9
4
0
32
1
9
4
2
1
4
2
0
3
2
0
3
2
00
2
x
dx
x
dx
x
y
dyydx
x
.
9
2
9
4
3
2
9
4
=−=−
3
2
==
yx
σσ
.
470
Обчислимо коефіцієнт кореляції
2
1
3
2
3
2
:
9
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
xy
r .
Отже, випадкові величини X і Y залежні і тіснота зв’язку
між ними складає
2
1
або 0,5.
4.13.16. Випадкові величини
1
ξ
і
2
ξ
незалежні і мають
показниковий розподіл з параметрами
1
λ
та
2
λ
. Знайти
функцію розподілу випадкової величини
21
1
ξξ
ξ
η
+
=
.
Розв’язок.
Оскільки випадкові величини
1
ξ
і
2
ξ
у показниковому
розподілі є додатніми, то достовірно відношення
η
буде зна-
ходитись в межах
10
21
1
<
+
<
ξξ
ξ
. Нехай z – певна стала, тоді
згідно означення інтегральної функції
⎩
⎨
⎧
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
+
=<=
,0
,1
)()(
21
1
zPzPzF
ξξ
ξ
η
η
Нехай 0 < z < 1. Тоді
{}
DPzP ∈=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
+
),(
21
21
1
ξξ
ξξ
ξ
, де
область D (заштрихована) визначена нерівностями (рис.
4.13.6).
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=><
+
= 0,0,:),( vuz
vu
u
vuD
, де
z
z
uv
−
=
1
–
рівняння граничної прямої, а розв’язок існує в напівплощині
z
z
uv
−
>
1
.
якщо 1≥z ;
я
к
щ
о 0
≤
z .