Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
411
Отже, *
4
8
cos)(
2
2
4
2
0
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
∫
π
π
xdxxXD
=
===
==
=
∫
∫
xxdxvdvxdx
dxxduux
xdxx
sincos,cos
;4,
cos
34
4
2
0
π
**sin40
2
sin
2
sin4sin
2
0
3
4
2
0
3
2
0
4
=−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−=
∫∫
ππ
π
ππ
xdxxxdxxxx
=
−===
==
=
∫
∫
xxdxvdvxdx
dxxduux
xdxx
cossin,sin
;3,
sin
23
2
0
3
π
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=+−=
∫
0
2
cos
2
cos3cos
3
2
0
2
2
0
3
ππ
π
π
xdxxxx
.cos3cos3
2
2
0
2
2
0
xdxxxdxx
∫∫
=+
ππ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∫
4
2
2
4
2
2
0
4
24
8
12
2
cos12
2
**
ππππ
π
xdxx
()
.220
16
32320
4
8
83
2
2
2
2
2
π
ππ
π
−=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−
Отже,
22
220)(
π
−=XD .
ІІ спосіб.
;)( yxy ==
ψ
,
2
1
)(
y
y =
′
ψ
тоді
=
)( yg
412
[]
;
2
1
cos)()(
y
yyyf ⋅=
′
=
ψψ
dyygyYM
b
a
)()(
∫
=
;
∫
=
4
0
2
.)()(
π
dyyygYM
Оскільки
2
0
π
<< x
і
,
2
xy =
то
4
0
2
π
<< y
.
=
===
=
===
=⋅=
∫
2
,
4
;2
;0,0;
2
1
cos)(
2
2
4
0
2
ππ
π
tytdtdy
ty
tyty
dy
y
yyYM
=
−=
==
==
==⋅=
∫∫
∫∫
vduuvudv
tvtdtdv
tdtdutu
tdttdt
t
tt sin,cos
;2,
cos2
2
1
cos
2
2
0
2
2
0
2
ππ
∫∫
=−=−=
2
0
2
0
2
2
0
2
sin2
2
sin
4
sin2|sin
ππ
π
ππ
tdtttdtttt
∫
=+−−=
−==
==
=
2
0
2
0
2
)cos|cos(2
4
cos,sin
;,
π
π
π
tdttt
tvtdtdv
dtdutu
;2
4
|sin2
4
2
2
0
2
−=−=
ππ
π
t
;))(()()(
22
YMdyygyYD
b
a
−=
∫
=×
∫
dy
y
yy
2
1
cos
4
0
2
2
π
=
==
==
==
==
==
=
∫
tvtdtdv
dttdutu
tdtt
tt
tdtdyty
sin,cos
;4,
cos
2
,0
2,
34
2
0
4
21
2
π
π
413
−=
−==
==
=−=
∫
16
cos,sin
;3,
sin4|sin
4
23
2
0
3
2
0
4
π
π
π
tvtdv
dttdutu
tdtttt
=−=−−−−
∫∫
tdtttdtttt cos12
16
)cos)3(|cos(4
2
0
2
2
0
4
2
2
0
3
ππ
π
π
243
16
)2
4
(12
16
2
424
+−=−−=
π
πππ
+−+−=−−+−=
16
243
16
)2
4
(243
16
)(
4
2
4
2
2
2
4
π
π
ππ
π
π
YD
.2204
22
ππ
−=−+
4.11.6. Радіус кулі виміряний наближено, причому
bХ ≤≤
α
. Розглядаючи радіус кулі як випадкову величину
Х, розподілену рівномірно в інтервалі (а; b), знайти
математичне сподівання і дисперсію об'єму кулі.
Розв’язок.
Об’єм кулі рівний
,
3
4
)(
3
XXY
πϕ
==
ab
xf
−
=
1
)(
–
функція щільності неперервного розподілу.
Знайдемо математичне сподівання випадкової величини
Y:
=
−
⋅=⋅==
∫∫
ab
dx
хdxxfxXMYM
b
a
b
a
3
3
4
)()()]([][
πϕϕ
=
−
+−
=
−
−
=⋅
−
⋅
=
)(3
))((
)(3
)(
4)(3
4
2222444
ab
abab
ab
abx
ab
b
a
πππ
.
3
))((
)(3
))()((
2222
abab
ab
ababab ++
=
−
++−
=
ππ
Знайдемо дисперсію об’єму кулі:
414
=−⋅=
∫
)]([)()()]([
22
XMdxxfxXD
b
a
ϕϕϕ
−⋅
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−
−
⋅=
∫
b
a
b
a
x
ab
abab
ab
dx
x
7)(9
16
))((
39
16
72
2
2262
ππ
π
++−
−⋅
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−
23
2772
2
22
(
9)(79
)(16
))((
3
abb
ab
ab
abab
πππ
−++++++
⋅
=++ )(
79
16
)
6542332456
2
232
abaababababbaba
π
=++++++− )23432(
9
6542332456
2
abaababababb
π
.
63
)92512529(
65423324562
abaababababb ++−−−+
=
π
4.11.7. Обчислити МХ
n
при натуральному n, якщо Х має
нормальний розподіл з параметрами
(
)
σ
,a .
Розв’язок.
Нехай: а)
1=n . Обчислимо
==
∫
∞
∞−
−
−
dxexXM
ax
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
πσ
=+=
−∞→−∞→∞→∞→
=+==
−
=
∫
∞
∞−
−
dtetа
txtx
dtdxtaxt
ax
t
σσ
πσ
σσ
σ
2
2
)(
2
1
,;,
;,,
−⋅=+=
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
π
ππ
σ
π
2
222
22
22
a
dttedte
a
tt
.
2
2
2
2
2
22
aeа
t
de
tt
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∫
π
σ
π
σ
415
Тут використано
π
2
2
2
=
−
∞
∞−
∫
dte
t
– інтеграл Пуассона,
.0
1
2
lim
2
2
=
±∞→
t
t
e
π
σ
б)
×=⋅=
∫
∞
∞−
−
−
πσπσ
σ
2
1
2
1
)(
2
2
2
)(
22
dxexXM
ax
⎢
⎢
⎣
⎡
+=+=×
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−
dteadtetаdxex
tt
ax
2
2
2
2
2
)(
2
22
2
2
2
1
)(
2
1
π
σσ
πσ
σ
+⋅+⋅=
⎥
⎥
⎦
⎤
++
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
022
2
1
2
2
2
22
2
22
σπ
π
σσ
аadtetdttea
tt
×−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅−=⋅+
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
π
σ
π
σ
π
σ
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
a
t
detadttet
tt
=+⋅⋅−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅×
−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∫∫
dteetaedt
ttt
2
2
2
2
2
2
222
22
π
σ
π
σ
.2
2
0
22
2
2
σπ
π
σ
+=⋅+−= aa
Тут враховано, що
0
2
2
=
∫
∞
∞−
−
dtte
t
– як інтеграл від непар-
ної функції з симетричними межами.
в) n = 3;
=⋅+=⋅=
−
∞
∞−
∞
∞−
−
−
∫∫
dtetаdxexXM
t
ax
σ
πσ
σ
πσ
σ
2
3
2
)(
33
2
2
2
2
1
)(
2
1
)(
()
+=+++=
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
dte
a
dtettataa
tt
2
3
2
332223
22
2
33
2
1
π
σσσ
π
416
=+++
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
dtetdtet
a
dtte
a
ttt
2
3
3
2
2
2
2
2
222
22
3
2
3
π
σ
π
σ
π
σ
=⋅+=+++⋅=
−
∞
∞−
∫
π
π
σ
π
σ
π
π
2
2
3
0
2
3
02
2
2
3
2
2
23
2
a
adtet
aa
t
.3
22
σ
aa +=
Тут враховано, що
0
2
3
2
=
−
∞
∞−
∫
dtet
t
– як інтеграл від не-
парної функції з симетричними межами.
г) n = 4;
=⋅+=⋅=
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−
dtetаdxexXM
t
ax
2
4
2
)(
44
2
2
2
)(
2
1
2
1
)(
σ
ππσ
σ
()
=+++++=
−
∞
∞−
∫
dtettatataa
t
2
44332234
2
464
2
1
σσσ
π
+++=
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
dtet
a
dtte
a
dte
a
ttt
2
2
22
2
3
2
4
222
2
6
2
4
2
π
σ
π
σ
π
++⋅=++
−
∞
∞−
−
∞
∞−
∫∫
02
222
4
4
2
4
4
2
3
3
22
π
ππ
σ
π
σ
a
dtetdtet
a
tt
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⋅+
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
224
2
2
2
3
422
63
2
2
2
6
22
σ
π
σ
π
π
σ
aadtetet
a
tt
()
.36230
2
4224
4
σσπ
π
σ
++=⋅−− aa
д) n = 5;
=⋅+==
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−
dtetаdxexXM
t
ax
2
5
2
)(
55
2
2
2
)(
2
1
2
1
)(
σ
ππσ
σ
417
()
×+++++=
∫
∞
∞−
554433222345
510105
2
1
ttatatataa
σσσσσ
π
+++=×
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−−
dtet
a
dtte
a
dte
a
dte
tttt
2
2
23
2
4
2
5
2
2222
2
10
2
5
2
π
σ
π
σ
π
=+++
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
dtetdtet
a
dtet
a
ttt
2
5
5
2
4
4
2
3
32
222
22
5
2
10
π
σ
π
σ
π
σ
=+⋅++⋅++⋅= 023
2
5
02
2
10
02
2
4235
π
π
σ
π
π
σ
π
π
aaa
.5310
4235
σσ
aaa ⋅++=
Тут враховано, що
,0
2
2
=
−
∞
∞−
∫
dtte
t
,0
2
3
2
=
∫
∞
∞−
−
dtet
t
0
2
5
2
=
−
∞
∞−
∫
dtet
t
, як інтеграли від непарних функцій з си-
метричними межами.
За індукцією рекурентна формула для обчислення МХ
n
має вигляд:
[
]
.!)!12()(
222
2
0
kknk
n
n
k
n
kaCXM
σ
−=
−
=
∑
4.11.8. Обчислити Ме
-х
для випадкової величини, що має
нормальний розподіл з параметрами
(
)
σ
,0 .
Розв’язок.
Скористуємось формулою:
==⋅=
∫∫
∞
∞−
−−−
∞
∞−
−
dxedxeeXM
x
xx
x
2
2
2
2
22
2
1
2
1
)]([
σσ
πσπσ
ϕ
===
∫∫
∞
∞−
+
+
−
∞
∞−
−+
−
dxedxe
xx
2
2
)(
2
)(
2
2
22
2
422
2
1
2
1
σ
σ
σ
σ
σσ
πσπσ
418
=
−∞→−∞→∞→∞→
==
+
==
∫
∞
∞−
+
−
;,;,
;;
2
2
2
)(
2
2
22
2
txtx
dtdxt
x
dxe
e
x
σ
σ
σ
πσ
σ
σ
σ
.2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
σ
σσ
π
π
σ
πσ
e
e
dte
e
t
=⋅==
−
∞
∞−
∫
4.11.9. Випадкова величина
ζ
має показниковий розпо-
діл:
x
exP
−
=≥ )(
ζ
при х ≥ 0. Знайти )1(
αζ
ζ
eM − .
Розв’язок.
Знайдемо функцію розподілу випадкової величини
ζ
з
рівності:
,1)()(
=
≥
+
≤ xPxP
ζ
ζ
звідки =
=
<
)()( xFxP
ζ
.1)(1
x
exP
−
−=≥−=
ζ
Отже,
.)()(
/ x
exFxf
−
== Тоді
−=−=−
∫∫
∞
−
∞
−−−
00
)1()]1([ dxxedxeexeM
xxx
ααζ
ζ
+−=
+
+−=−
∞
−+−
∞
−
∞∞
+−
∫∫∫
0
)1(
000
)1(
)(
1
1
)(
xxaxxa
xeexd
a
exddxxe
+−−=
+
−
+
++
∫∫∫
∞
−
∞
+−
∞
+−
∞
−
00
)1(
0
)1(
0
)(
1
1
1
xdedxe
a
e
a
x
dxe
xxaxax
=
+
+−=+−
+
+
∞
+−
∞
−
∞
+−
∫
0
)1(
2
0
0
)1(
2
)1(
1
])1([
)1(
1
xaxxa
e
a
exade
a
=
+
−
+
++−=
⋅−+−
∞→
−
∞→
0)10(
2
)1(
2
0
)1(
1
)1(
1
lim
1
lim e
a
e
a
e
e
xa
x
x
x
⎩
⎨
⎧
−<∞
−>+−
=
+
+
+
−=
−
+−
∞→
.1при
;1при)1(1
)1(
1
lim
)1(
1
1
2
)1(
22
a
аa
e
aa
xa
x
419
4.11.10. Випадкова величина Х має нормальний розподіл з
нульовим математичним сподіванням і одиничною диспер-
сією.
Знайти:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
1 X
X
M
; M(sіnX); М(ХcosX).
Розв’язок.
Для обчислення математичного сподівання функції Y =
= φ (х) скористуємось формулою:
dxxfxXM )()()]([
ϕϕ
∫
∞
∞−
= , де
.
2
1
2
1
)(
2
2
)(
2
2
2
x
ax
ееxf
−
−
−
==
ππσ
σ
Таким чином,
dxе
x
x
X
X
M
x
2
22
2
2
1
11
−
∞
∞−
⋅
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫
π
;
()
dxеxXM
x
2
2
2
1
sinsin
−
∞
∞−
⋅=
∫
π
;
()
dxеxxXM
x
2
2
2
1
coscos
−
∞
∞−
⋅⋅=
∫
π
.
У підінтегральних виразах функція f(х) – парна, а
ϕ
(х) –
непарні. Таким чином,
)()( xxf
ϕ
⋅
– непарна функція, а
інтеграл від непарної функції з симетричними межами рівний
0. Отже,
,0
1
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
X
X
M ,0)(sin
=
XM .0)cos(
=
⋅
XXM
4.11.11. Випадкова величина Х має нормальний розподіл з
параметрами (0; σ). Знайти її моменти МХ
n
.
Розв’язок.
Для обчислення МХ
n
скористуємось формулою:
420
∫
∞
∞−
= dxxfxXM )()()]([
ϕϕ
, де φ (х) = х
n
,
2
2
2
2
1
)(
σ
πσ
x
еxf
−
= .
Отже,
()
dxеxXM
x
nn
2
2
2
2
1
σ
πσ
−
∞
∞−
⋅
⋅=
∫
.
Якщо n = 2k + 1, то підінтегральна функція Х непарна, а
інтеграл від непарної функції з симетричними межами віднос-
но початку координат рівний 0:
()
0
2
1
2
2
2
1212
=⋅=
−
∞
∞−
++
∫
dxеxXM
x
kk
σ
πσ
.
Нехай n = 2, тоді
()
=⋅=
−
∞
∞−
∫
dxеxXM
x
2
2
2
22
2
1
σ
πσ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−⋅−=
−
∞
∞−
−
∞
∞−
∫∫
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
σσ
π
σ
σ
πσ
σ
xx
еdx
x
dеx
.
22
2
2
2
2
2
2
222
dxеdxеxе
xxx
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
σσσ
π
σ
π
σ
Тут враховано, що
×==⋅
±∞→±∞→
−
±∞→
2
2
2
2
2
2
22
2
limlimlim
σσ
σ
x
x
x
x
x
x
е
x
е
x
еx
0lim
2
2
2
2
2
22
=
⋅
=×
±∞→
xе
x
x
x
σ
σσ
(використали правило Лопіталя).
В останньому інтегралі зробимо заміну змінних:
;
σ
x
z
=
dzdx
σ
= , так що
2
2
2
2
2
22
)(
2
σπ
π
σ
σ
π
σ
=⋅==
∫
∞
∞−
−
dzеXM
z
, оскільки