Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
381
0
)1(
)1(
1
2
2
=−
−
−−++⋅−
ββ
α
αα
β
α
β
x
x
x
x
;
0)1(
111
2
2
=−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+−
αα
ββ
α
β
α
β
xx ;
0)1(
21
2
2
=−+−
αα
β
α
β
xx ;
=
±
=
−−±
=
22
22
2
2
1
1
2
22
1
2
)1(
1
4
42
β
β
α
β
α
β
αα
ββ
α
β
α
x
βαα
)( ±= .
В точках
βααβ
±=
2,1
x функція має перегин (рис.
4.10.1).
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
3,2
3,6
4
4,4
4,8
5,2
5,6
x
f
(x)
a=0
a=1
a=2
Рис. 4.10.1.
382
2. Математичне сподівання випадкової величини Х:
dx
Г
exx
xxxfXM
x
∫∫
∞∞
+
−
+
⋅
==
00
1
)1(
)()(
αβ
α
β
α
.
Зробимо підстановку:
;
β
β
yxy
x
=→= .dydx
β
=
=
+
=
+
=
∫∫
∞
+
−+
∞
+
−
+
dy
Г
ey
dx
Г
ex
XM
y
x
β
αβ
β
αβ
α
α
α
β
α
0
1
1
0
1
1
)1(
)(
)1(
)(
dyey
Г
y
∫
∞
−+
+
=
0
1
)1(
α
α
β
.
Використаємо властивість
γ
- функції:
∫
∞
−−
=
0
1
;)( dxexnГ
xn
)!1()(
−
=
nnГ ; !)1(
α
α
=
+
Г ;
)!1()2( +=
+
α
α
Г
і
)1(!)!1(
+
=
+
α
α
α
.
Отже, =
+
=+
+
=
!
)!1(
)2(
)1(
)(
α
α
β
α
α
β
Г
Г
XM
)1(
!
)1(!
+=
+
=
αβ
α
α
βα
.
3. Дисперсія D(Х):
)()()(
22
XMXMXD −= .
=
+
=
+
=
∫∫
∞
+
−+
−
∞
+
0
1
2
0
1
2
2
)1(
)(
)1(
)(
αβ
ββ
αβ
α
α
β
α
α
Г
dyey
dxex
Г
x
XM
y
x
;y
x
=
β
;
β
yx =
dydx
β
=
.
=
+
+
=
+
=
+
=
∫∫
∞
−+
∞
+
−++
)1(
)3(
)1()1(
2
0
2
2
0
1
23
α
αβ
α
β
αβ
β
α
α
αα
Г
Г
dyey
ГГ
dyey
y
y
383
)2)(1(
!
)2)(1(!
!
)!2(
2
22
++=
++
=
+
=
ααβ
α
αααβ
α
αβ
.
[
]
×+=+−++== )1()1()2)(1()(
2
2
2
2
αββαααβμ
ХD
[]
)1(12
2
+=−−+×
αβαα
.
Середнє квадратичне відхилення:
1)1()()(
2
+=+==
αβαβσ
ХDХ .
4. Асиметрія розподілу A
s
обчислюється за формулою:
3
3
σ
μ
=
s
A , де
3
μ
– центральний момент ІІІ порядку:
3
12133
23
ννννμ
+−=
,
∫∫
∞∞
+
−
=
+
===
00
1
333
3
)1(
)()()( dx
Г
ex
xdxxfxХМX
x
αβ
ν
α
β
α
Зробимо підстановку:
y
x
=
β
;
β
yx
=
; dydx
β
=
.
=
+
+
=
+
=
+
=
∫∫
∞
−+
∞
+
−+
0
3
3
3
0
1
3
)1(
)4(
)1()1(
)(
α
αβ
α
β
αβ
ββ
α
α
α
Г
Г
dyey
ГГ
dyey
y
y
)3)(2)(1(
!
)3)(2)(1(!
3
3
+++=
+++
=
αααβ
α
ααααβ
.
Тут використано:
!)1(
α
α
=+Г ;
)3)(2)(1(!)!3()4(
+
+
+
=
+
=+
α
α
α
α
α
α
Г
.
Оскільки
)1(
1
+
=
α
β
ν
, )2)(1(
2
2
++=
ααβν
, то
++++−+++= )2)(1()1(3)3)(2)(1(
23
3
ααβαβαααβμ
+−−−++++=++ 693623)(1()1(2
22333
ααααααβαβ
).1(22)1()242
332
+=⋅+=+++
αβαβαα
Отже, асиметрія
γ
- розподілу:
384
2
1
2
3
3
3
3
3
)1(
2
)1(
)1(2
+
=
+
+
==
α
αβ
αβ
σ
μ
s
A .
При
0=
α
; 2
=
s
A ;
1=
α
; 2
2
2
==
s
A ;
2=
α
;
3
2
=
s
A ;
3=
α
; 1=
s
A .
5, Ексцес розподілу обчислюється за формулою::
3
4
4
−=
σ
μ
k
E , де
4
12
2
13144
364
ννννννμ
−+−= ,
∫∫
∞∞
+
−
=
+
===
00
1
444
4
)1(
)()()( dx
Г
ex
xdxxfxХМX
x
αβ
ν
α
β
α
∫∫∫
∞
−+
∞
+
−+
∞
+
−
+
=
+
=
+
=
+
=
0
4
4
0
1
4
0
1
4
)1()1(
)(
)1(
dyey
ГГ
dyey
dx
Г
ex
y
y
x
α
α
α
α
β
α
α
β
αβ
ββ
αβ
=
++++
=
+
+
=
!
)4)(3)(2)(1(!
)1(
)5(
44
α
αααααβ
α
αβ
Г
Г
)4)(3)(2)(1(
4
++++=
ααααβ
.
Прийнято:
)4)(3)(2)(1(!)!4()5(
+
+
+
+
=
+
=+
α
α
α
α
α
α
α
Г ;
!)1(
α
α
=+Г .
×+−++++=
34
4
)1(4)4)(3)(2)(1(
βαβααααβμ
×−+++++++×
4222
3)2)(1()1(6)3)(2)(1(
βααβαβααα
×++−++++=+× )2)(1(4)4)(3)(2)[(1()1(
44
ααααααβα
+++=+−++++×
23432
4)[1(])1(3)2()1(6)3(
αααβαααα
+−−−−−−++++ 2420424204246205
2232
αααααααα
=−−−−++++++ ]39931262412126
23223
αααααααα
385
).3(3)1()93)(1(
44
+⋅+=++=
ααβααβ
Тоді,
03
1
)3(3
3
)1(
)3)(1(3
24
4
>−
+
+
=−
+
++
=
α
α
αβ
ααβ
k
Е ,
оскільки
1
1
3
>
+
+
α
α
.
При
0=
α
, 6
=
k
E ;
1
=
α
, 33
2
43
=−
⋅
=
k
E ;
2=
α
,
23
3
53
=−
⋅
=
k
E
; 3
=
α
,
5,13
4
63
=−
⋅
=
k
E
.
6. Обчислимо інтегральну функцію F(x) при різних
значеннях
α
:
а)
0=
α
;
ββββ
ββ
x
x
x
x
x
x
x
ee
x
dedxexF
−−−−
−=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−==
∫∫
1
1
)(
0
00
.
б)
1=
α
;
=
−===
==
==
∫
∫
−−
−
−
β
x
yy
y
y
edyevdudy
dvdyeuy
dyye
Г
xF
0
;
;,
)2(
1
)(
.11
0
0
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=+−=
−
−
−
−−
∫
ββ
β
β
β
β
β
x
eee
x
dyeye
x
x
y
x
x
y
x
y
При х = 0, F(0) = 0; при
∞
→
x
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−
∞→
β
β
x
e
x
x
1(1lim
.101
1
1
lim1
1
lim1 =−=−=
+
−=
∞→∞→
ββ
β
β
x
x
x
x
ee
x
386
Отже, дана функція F(x) є інтегральною.
в)
2=
α
;
=
−==
==
==
−−
−
∫
yy
y
x
evdved
ydyduuy
dyey
Г
xF
;)(
;2,
)3(
1
)(
2
0
2
β
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅−=−=
−
−−−
∫∫
β
β
β
β
β
x
x
y
x
y
x
y
e
x
ydyeeyydey
2
0
02
0
2
2
1
2
2
1
2
1
)(
2
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
−−
2
00
2
1
11
ββ
β
ββ
xx
eeye
x
x
y
x
y
.
г)
3=
α
;
=
−==
==
⋅⋅==
==
∫
−−
−
β
x
yy
y
evdvdye
dyyduuy
Г
dyey
Г
xF
0
233
;
;3,
321!3)4(
)4(
1
)(
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=−==
−
−−−
∫∫
β
β
β
β
β
x
x
y
x
y
x
y
e
x
dyeyeyedy
3
0
2
0
3
0
3
!3
1
3
!3
1
!3
1
)(
!3
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
+−=−
∫
−
−
32
0
2
!3
1
!2
1
!1
11
2
1
βββ
β
β
xxx
edyey
x
x
y
.
д)
4=
α
;
−===
−−−
∫∫
0
4
0
0
44
!4
1
)(
!4
1
)5(
1
)(
β
β
β
x
y
x
x
yy
eyedydyey
Г
xF
387
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=−
−
−
∫
432
0
3
!4
1
!3
1
!2
1
!1
114
!4
1
ββββ
β
β
xxxx
edyey
x
y
x
.
б) Логнормальний закон.
f(x) – логнормальна: логарифм lnх випадкової величини Х
розподілений за нормальним законом:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅=
−
−
0)(
2
1
)(
2
2
2
)(ln
xf
e
x
xf
x
β
α
πβ
α
– будь-яке дійсне число.
0
1
2
3
4
5
6
7
-0,5
0,18
0,59
0,88
1,1
1,28
1,44
1,57
1,69
х
f
(х)
a=1, b=0,5
1. Обчислимо модальне значення логнормального розпо-
ділу, прирівнявши І похідну від f(x) до 0.
0)(' =xf ;
=
′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=
′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=
′
−
−
−
−
2
2
2
2
2
)(ln
2
)(ln
1
2
1
2
1
)(
β
α
β
α
πβπβ
xx
e
x
e
x
xf
Рис. 4.10.2.
при x > 0;
при
0
≤
х
,
388
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
−
⋅⋅−⋅−=
−
−
−
−
x
x
e
x
e
x
xx
1
2
)(ln211
2
1
2
2
)(ln
2
)(ln
2
2
2
2
2
β
α
πβ
β
α
β
α
0
2
)(ln2
1
1
2
1
22
2
)(ln
2
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+⋅⋅−=
−
−
β
α
πβ
β
α
x
x
e
x
0
ln
1
2
=
−
+
β
α
x
; 0ln
2
=+−
βα
x ;
2
ln
βα
−=x .
Отже,
2
βα
−
= ex ;
2
βα
−
= eМо .
2. Математичне сподівання випадкової величини Х:
*
2
1
2
1
)(
0
2
)(ln
2
)(ln
0
2
2
2
2
==⋅⋅=
∫∫
∞
−
−
−
−
∞
dxedxe
x
xXM
xx
β
α
β
α
πβπβ
Зробимо заміну
t
x
=
−
β
α
ln
; при
,
,0
∞→
→
x
x
;
;
∞→
−
∞→
t
t
α
β
+= txln ;
αβ
+
=
t
ex ; dtedtxdx
t
ββ
αβ
+
== .
===
∫∫
∞
∞−
−
−
∞
∞−
−
dteeedteee
t
t
t
22
)(
2
2
2
2
2
1
2
*
β
β
αβα
ππβ
β
**
Перетворимо вираз:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=+−
22
)(
22
2222
ββ
ββ
t
t
t
t
t
.
**
*
2
1
2
)(
2
22
=⋅=
∫
∞
∞−
−
−
dteee
t
β
α
β
π
**
Оскільки
2
2
2
12
)(
2
)(
12
1
2
1
)(
⋅
−
−
−
−
⋅
⋅
=⋅=
β
β
ππ
ϕ
t
t
eex харак-
теризує щільність нормального закону розподілу з матема-
389
тичним сподіванням
β
і середнім квадратичним відхиленням
рівним 1, а
1
12
1
2
)(
2
=
⋅
−
−
∞
∞−
∫
dte
t
β
π
, то
2
2
***
β
α
+
= е . Отже,
2
2
)(
β
α
+
= еХМ .
Графік функції зображено на рис. 4.10.2.
3. Обчислимо дисперсію логнормального закону згідно
формули:
)()()(
22
XMXMXD −= , де
∫∫
∞∞
−
−
=⋅==
00
2
)(ln
222
2
2
2
1
)()( dxe
x
xdxxfxXM
x
β
α
πβ
*
2
1
2
1
2
2
)(ln
2
2
2
==⋅=
+
−
∞
∞−
+
∞
∞−
−
−
∫∫
dteeedxex
t
t
t
x
β
πβπβ
αβαβ
β
α
Зробимо ту ж підстановку:
2
22
2
2
)2(
2
2
β
β
β
+
−
−=+−
t
t
t
.
* ===
∫∫
∞
∞−
−
−
∞
∞−
−
dteeedte
e
tt
t
2
22
2
2
)2(
2
2
2
2
2
1
2
β
β
α
β
α
ππ
==
−
−
∞
∞−
∫
dteee
t
2
)2(
22
2
2
2
1
β
βα
π
**
Тут
1
12
1
2
2
12
)2(
=⋅
⋅
⋅
−
−
∞
∞−
∫
dte
t
β
π
;
2
22
**
βα
ee= .
=−=−=−=
+
)1()()(
2222
2
2
22222
2
22
ββαβαβα
β
α
βα
eeeeeeeeeeXD
)1(
22
2
−=
+
ββα
ee .
Отже,
1)()(
2
2
2
−==
+
β
β
α
σ
eeХDX .
390
Обчислимо початкові моменти третього
3
ν
і четвертого
4
ν
порядків.
*
2
1
2
2
2
)(ln
0
3
3
==
−
−
∞
∫
dxe
x
x
x
β
α
πβ
ν
Використавши попередню підстановку, отримаємо
**
2
1
*
2
)(3
2
==
∫
∞
∞−
−
+
dtee
t
t
β
πβ
αβ
Виконаємо перетворення в підінтегральному виразі:
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=++−
2
222
2
9
2
)3(
33
2
33
2
β
β
αβαβ
t
t
t
t
t
αβ
β
α
3
2
9
2
)3(
3
2
2
++
−
−=+
t
;
×⋅==
++
∞
∞−
−
−
∫
ππ
αβαβ
β
2
1
2
1
**
3
2
9
3
2
9
2
)3(
22
2
edtee
t
***
2
)3(
2
=×
∫
∞
∞−
−
−
dte
t
β
Оскільки
1
12
1
12
)3(
2
=
⋅
∫
∞
∞−
⋅
−
−
dte
t
β
π
при 1
=
σ
, вираз
рівний
αβ
3
2
9
2
***
+
= e .
*
22
1
2
)(4
2
)(ln
0
4
4
2
2
2
=⋅=⋅=
−
∞
∞−
+
−
−
∞
∫∫
dte
e
dxe
x
xv
t
t
x
β
πβπβ
αβ
β
α
αβ
β
αβαβ
48
2
)4(
44
2
44
2
2
222
++
−
−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=++−
t
t
t
t
t
;
dteedtee
tt
∫∫
∞
∞−
−
−
++
∞
∞−
−
−
⋅==
2
)4(
4848
2
)4(
2
22
2
2
1
*
β
αβαβ
β
π
.