Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
391
Оскільки 1
2
1
12
)4(
2
=
∫
∞
∞−
⋅
−
−
dte
t
β
π
, то
αβ
ν
48
4
2
+
= e .
4.
1
2
2
)( veХМ ==
+
β
α
,
2
222
2
)( veeXM ==
βα
,
)1()(
22
2
−=
ββα
eeeXD ,
3
3
2
9
3
2
)( veXM ==
+
αβ
,
4
484
2
)( veXM ==
+
αβ
,
+−=+−=
+
)(323
2
2
2
22
2
3
2
9
3
12133
βα
β
α
α
β
ννννμ
eeeee
=+−=+
+
222
2
2
3
3
2
5
33
2
9
3
2
23)(2
β
α
β
αα
β
β
α
eeeeeee
).23(
22
2
3
2
3
3
+−=
ββ
β
α
eeee
−⋅−=⋅=
2
2
22
()1()()()(
2
23
β
β
αββα
σ
eeeeeeХDХDХ
.)1()1
2
3
2
3
3
2
1
2
2
−=−
β
β
α
eee
=
−
+−
=
−
+−
==
2
3
3
2
3
2
3
3
3
2
3
3
3
3
)1(
23
)1(
)23(
2
22
2
2
22
2
β
ββ
β
β
α
ββ
β
α
σ
μ
e
ee
eee
eeee
A
s
=
−
+−+−+−
=
2
3
223
)1(
363)133(
2
22222
β
βββββ
e
eeeee
*
Оскільки
133)1(
2222
233
−+−=−
ββββ
eeee .
=
−
−+−
=
−
+−+−
=
2
3
23
2
3
23
)1(
)1(3)1(
)1(
)12(3)1(
*
2
22
2
222
β
ββ
β
βββ
e
ee
e
eee
392
013)1(
)1(
)1(
3
)1(
)1(
22
2
2
2
2
3
3
4
3
6
>−+−=
−
−
+
−
−
=
ββ
β
β
β
β
ee
e
e
e
e
5.
+−=−+−=
++
+
αβ
β
α
αβ
ννννννμ
3
2
9
2
484
12
2
13144
2
2
2
4364 eee
−+−=−+
++
222222
34454824222
6436
βααβαββαβαβα
eeeeeeeeee
)364(3
22222
362424
−+−=−
ββββαβα
eeeeeee ;
*3
)1(
)364(
3
224
3624
4
4
22
2222
=−
−
−+−
=−=
ββα
ββββα
σ
μ
eee
eeeee
E
k
22424
)1()(
22
−==
ββα
σ
eeeХD . Підставимо
22
)1(12
222
−=+−
βββ
eee ,
133)1(
2222
233
−+−=−
ββββ
eeee
,
133)1(
2222
24632
−+−=−
ββββ
eeee .
=−
−
−+−−+−+−
= 3
)1(
26343)133(
*
2
234246
2
2222222
β
βββββββ
e
eeeeeee
=−
−
−+−++−
= 3
)1(
2662)12(3
2
2322
2
222222
β
ββββββ
e
eeeeee
=−
−
−+−+−+−+−
= 3
)1(
242)12(2)1(3)1(
2
222232
2
22222222
β
ββββββββ
e
eeeeeeee
=−
−
+−−−+−+−
= 3
)1(
)12(2)1(2)1(3)1(
2
222232
2
2222222
β
βββββββ
e
eeeeeee
=−
−
−−−+−++−
= 3
)1(
)1(2)1(2)1(3)1()1(
2
222233
2
2222222
β
βββββββ
e
eeeeeee
0321213103223)1)(1(
2222
23
>−−⋅+⋅+⋅=−−+++−=
ββββ
eeee
,
оскільки перші три доданки додатні.
6. Обчислимо інтегральну функцію розподілу ймовірності
логнормального закону:
393
*
2
1
)()(
0
2
)(ln
2
2
===
∫∫
∞−
−
−
dxe
x
dxxfXF
xx
x
β
α
πβ
Зробимо заміну змінних
t
x
=
−
β
α
ln
. Тоді
α
β
−
=
txln ;
dt
x
dx
β
= ;
αβ
+
=
t
ex .
−∞→
1
t при 0→x
;
β
α
−
=
x
t
ln
2
.
*
2
1
2
1
2
1
*
ln
0
2
0
2
ln
2
222
=+==
∫∫∫
−
−
∞−
−
−
∞−
−
dtedtedte
x
tt
x
t
β
α
β
α
πππ
Оскільки:
5,0
2
1
0
2
2
=
∫
∞−
−
dte
t
π
,
)(5,0
ln
5,0* tФ
x
Ф +=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
β
α
, де Ф(t) – інтегральна
функція Лапласа.
в)Максвела.
Функція щільності має вигляд
22
2
3
4
)(
vh
ev
h
vf
−
=
π
при
0≥v (див. рис. 4.10.3).
1. Обчислимо моду розподілу, прирівнявши першу похід-
ну
)(vf
′
до 0.
[]
0)2(2
4
)(
22
3
2222
=−+=
′
−−
vhevve
h
vf
vhvh
π
,
або
()
01012
4
2222
3
22
=−→=−
−
hvhvve
h
vh
π
.
394
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
1 3 5 7 9 1113151719212325272931
h=0,5
h=1
h=2
Рис. 4.10.3.
Звідси
2
2
1
h
v =
або
h
v
1
0
= . Отже,
h
Мо
1
=
.
2. Обчислимо математичне сподівання випадкової вели-
чини v:
∫∫
∞
−
∞
−
=⋅==
0
22
3
0
2
3
)(
2
144
)(
2222
vdev
h
vdvev
h
vM
vhvh
ππ
=−=−
⋅⋅
−=
−
∞∞
−
∫∫
)(
2
)(
2
4
2222
0
2
0
222
2
3
vhvh
edv
h
vhdev
h
h
ππ
|
uv =
2
,
vdvdu 2=
; dwed
vh
=
−
)(
22
,
22
vh
ew
−
= |
−⋅−=+−=
∞
∞
−
∞
−
∫
0
2
0
0
2
22
2222
2
2
22
vh
vhvh
e
vh
vdve
h
ev
h
πππ
=−⋅−=−−
∞
−
∞
∞
−
∫
00
2
0
22
2
22
22
22
22
)(
2
vh
vh
vh
e
h
e
vh
vhde
h
h
πππ
f(v)
v
395
=+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
−
∞→∞→
0
0
2
2
22222
21
lim
20
lim
2
h
vh
v
hvh
v
e
h
e
h
ee
vh
πππ
=⋅+⋅−
⋅
−=
∞→
1
2
0
2
22
2
lim
2
22
22
πππ
h
vhevh
h
vh
v
Використавши правило Лопіталя, отримуємо:
Mo
h
h
>==
1284,12
π
.
3. Обчислимо дисперсію D(v) за формулою:
)()()(
22
XMXMXD −= ;
====
−
∞
−
∞∞
∫∫∫
vdvev
h
dvev
h
vdvvfvvM
vhvh
2222
0
3
3
2
00
3
222
44
)()(
ππ
=−=−
⋅
−=
−
∞
−
∞
∫∫
)(
2
)(
2
4
2222
0
322
0
3
2
3
vhvh
edv
h
vhdev
h
h
ππ
*)3
0
(
2
2222
0
23
=−
∞
−=
−
∞
−
∫
dvevev
h
vhvh
π
Для знаходження границі І доданку використаємо пра-
вило Лопіталя:
0
2
1
lim
2
3
2
3
limlimlim
222222
22
2
2
23
3
====
∞→∞→∞→
−
∞→
ve
h
vhe
v
e
v
ev
vh
v
vh
v
vh
v
vh
v
.
Отже,
0
0
22
3
=
∞
− vh
ev .
2
2
0
3
2
0
2
2
34
2
36
*
2222
h
dvev
h
h
dvev
h
vhvh
===
−
∞
−
∞
∫∫
ππ
,
оскільки
1
4
22
2
0
3
=
−
∞
∫
dvev
h
vh
π
. Отже, дисперсія буде рівна:
396
222
2
2
22676,0
2
83
4
2
3
2
2
3
)(
hhh
h
h
vD =
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
π
π
π
π
.
Отже,
h
vDv
47619,0
)()( ==
σ
.
4. Для обчислення асиметрії і ексцесу знайдемо початкові
моменти третього і четвертого порядків.
====
−
∞∞
∫∫
dvev
h
vdvvfvvv
vh
22
2
3
0
3
0
33
3
4
)()(
π
μ
=−⋅
⋅
−=⋅⋅=
∫∫
∞
−
∞
−
)(
2
44
22
0
4
0
24
2222
vhdev
h
dvehvv
h
vhvh
ππ
=
==
==
=−=
−−
∞
−
∫
2222
22
,)(
;4,
)(
2
34
0
4
vhvh
vh
ewdwed
dvvduuv
edv
h
π
*
8
4
0
2
222222
0
3
0
34
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∞
−=
−
∞∞
−−
∫∫
dvev
h
dvevev
h
vhvhvh
ππ
=
⋅
==
∞→∞→
−
∞→
2
34
4
2
4
limlimlim
2222
22
vhe
v
e
v
ev
vh
v
vh
v
vh
v
0
2
2
lim
6
2
34
lim
2
2
2
2
222222
=
+
=
⋅
=
∞→∞→
vhvee
v
h
veh
v
vhvh
v
vh
v
;
=−−==
−
∞
−
∞
∫∫
)(
2
88
*
22
0
22
0
2
2
2222
vhdev
h
dvvhev
h
h
vhvh
ππ
*2
0
4
)(
4
0
2
0
2
222222
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∞
−=−=
∫∫
∞
−−
∞
−
dvveev
h
edv
h
vhvhvh
ππ
0
2
2
limlimlim
2
2
2
2222
22
===
∞→∞→
−
∞→
vhe
v
e
v
ev
vh
v
vh
v
vh
v
;
397
=−=−⋅−=
∞
−
∞
−
∫
0
3
0
22
2
2222
4
)(
14
*
vhvh
e
h
vhde
h
h
ππ
πππ
3
0
33
441
lim
4
22
h
e
h
e
h
vh
v
=+−=
−
∞→
.
Отже,
π
3
3
4
h
v =
.
Центральний момент ІІІ порядку
=+−=
3
12133
23 vvvv
μ
2
3
3
3
2
3
5162
2
2
32
3
4
π
π
πππ
h
h
h
hh
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅⋅−=
.
π
π
σ
2
83
)()(
h
vDv
−
== .
501,0
6921,1
84852,0
)83(
2)516(
2
3
2
3
3
2
3
2
3
3
3
3
==
−
⋅−
==
ππ
ππ
σ
μ
h
h
A
s
.
Оскільки асиметрія додатня, то похилість (“хвіст”) знахо-
диться справа відносно моди.
5. Для обчислення ексцесу необхідно обчислити початко-
ві
4
v і центральні
4
μ
моменти ІV порядку.
=⋅==
−
∞
−
∞
∫∫
dvevv
h
dvvev
h
v
vhvh
2222
0
5
3
42
0
3
4
44
ππ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∞
−=−=
∫∫
∞
−−−
∞
0
45
0
5
2
3
222222
5
0
2
)(
2
4
dvevev
h
edv
h
h
vhvhvh
ππ
422
0
2
2
4
4
15
2
3
2
5
)(
2
510
22
hhh
vM
h
dvev
h
vh
=⋅===
∫
∞
−
π
,
оскільки
0
0
5
22
=
∞
− vh
ev .
398
+⋅⋅−=−+−=
ππ
μ
3
4
4
12
2
13144
42
4
4
15
364
hh
h
vvvvvv
24
2
4
2
2
4
19216152
3
2
3
4
2
6
π
ππ
ππ
h
h
h
−+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
.
Тоді ексцес
=−
−
⋅−+
=−= 3
)83(4
4)1921615(
3
224
242
4
4
ππ
πππ
σ
μ
h
h
E
k
00421,030421,3 >=−=
.
6. Обчислимо інтегральну функцію:
=⋅===
−−
∫∫∫
dvevv
h
dvev
h
dvvfxF
vh
x
vh
xx
2222
0
3
0
2
0
3
44
)()(
ππ
=−
⋅
−=⋅=
−−
∫∫
)(
2
4
)(
2
14
22
0
2
3
2
0
3
2222
vhdev
h
h
vdev
h
vh
x
vh
x
ππ
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅==
−−−−
∫∫
22222222
2
0
2
)(
2
00
vh
x
vhvh
x
vh
ve
h
dve
x
ev
h
evd
h
πππ
∫
=+
−
x
vh
dve
h
0
*
2
22
π
Для обчислення інтегралу зробимо підстановку
zhv =
;
h
dz
dv =
.
Тоді
)(
122
00
222
hxФdze
h
h
dve
h
hx
z
x
vh
=⋅=
∫∫
−−
ππ
, бо
dtexФ
x
t
∫
−
=
0
2
2
)(
π
– з означення інтегральної функції.
22
2
)(*
xh
xe
h
hxФ
−
−=
π
.
399
4.10.2. Випадкова величина Х розподілена за логнормаль-
ним законом з параметрами
),(
β
α
. Знайти значення
β
, при
якому ймовірність того, що Х прийме значення, яке належить
інтервалу [a,b] буде найбільшою.
Розв’язок.
Інтегральна функція логнормального розподілу задається
формулою:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
β
α
x
ФxF
ln
5,0)(
. Тоді імовірність знаход-
ження випадкової величини в заданому інтервалі [a,b] рівна:
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=≤≤
β
α
β
α
a
Ф
b
ФbХaP
lnln
)(
).(
2
1
2
1
2
ln
0
2
ln
0
22
βϕ
ππ
β
α
β
α
=−=
−
−
−
−
∫∫
dtedte
t
a
t
b
Для знаходження максимуму функції
)(
β
ϕ
продиферен-
ціюємо її по t і прирівняємо до 0.
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅=
−
−
−
−
/
2
)(ln/
2
)(ln
/
lnln
2
1
)(
2
2
2
2
β
α
β
α
π
βϕ
β
α
β
α
a
e
b
e
ab
.0
lnln
2
1
22
ln
2
1
2
ln
2
1
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
β
α
β
α
β
α
β
α
π
ba
e
b
e
a
Звідси
.
ln
ln
2
2
2
2
2
]2)[ln(ln
2
)(ln)(ln
β
α
β
αα
α
α
−⋅
−−−
==
−
−
ba
b
a
ba
ee
b
a
Прологарифмувавши вираз, отримуємо:
[]
;
2
2)ln(ln
ln
ln
ln
2
β
α
α
α
−⋅⋅
=
−
−
ba
b
a
b
a
звідси
400
[]
.
ln
ln
ln
2)ln(ln
2
α
α
α
β
−
−
−⋅⋅
=
b
a
ba
b
a
4.10.3. Обчислити медіану логнормального закону.
Розв’язок.
Згідно означення
)(
2
1
)()( MeFMeXPMeXP ==≥=≤
.
=
−
==
−∞→→
==
+==
−
==
++
−
−
∫
.
ln
,
;,0
;,
;ln,
ln
2
1
)(
22
1
0
2
)(ln
2
2
β
α
β
αβ
β
α
πβ
αβαβ
β
α
Me
tMex
tx
dtedxex
tXt
X
dxe
x
MeF
tt
Me
X
+===
∫∫∫
∞−
−
−
∞−
−
−
∞−
+
+
−
edtedte
e
dtee
t
Me
t
Me
t
t
t
0
2
ln
2
ln
2
22
2
2
1
2
1
2
πππβ
β
β
α
β
α
αβ
αβ
.5,0)(5,0
ln
5,0
2
1
2
ln
0
2
=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=+
−
−
∫
zФ
Me
Фdte
t
Me
β
α
π
β
α
Тут
)(zФ – інтегральна функція Лапласа. Отже,
,0
ln
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
β
α
Me
Ф
тому 0
ln
=
−
β
α
Me
. Звідси lnMe =
α
, отже, Ме =
α
e
.
4.10.4. Розглядаються три проекти А, Б, В щодо інвес-
тування. При здійсненні багаторазових інвестицій в певну
підприємницьку діяльність обчислюється величина збитків у
вигляді відсотка величини реальних збитків по відношенню
до розрахункової суми виручки. Було встановлено, що