Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
401
обчислена таким чином величина збитків підлягає: для
проекту А – Гамма розподілу з параметрами
1
=
β
, 1
=
α
; для
проекту Б – логнормальному закону з
2=
β
; для проекту В
– закону Максвела. Математичні сподівання збитків для трьох
проектів рівні між собою.
а) Обчислити імовірності попадання випадкової величини
збитків Х в допустиму, критичну та катастрофічну зони, якщо
)()( XXMx
дп
σ
+= (%); )(2)( XXMx
кр
σ
+
=
(%); =
кт
x
)(3)( XXM
σ
+= (%).
б) Оцінити міру ризику кожного з цих проектів та обрати
один з них для інвестування. За величину ризику прийняти:
середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, коефі-
цієнт асиметрії.
Розв’язок.
Ймовірності попадання величини відносних збитків Х в
допустиму, критичну та катастрофічну зони відповідно рівні:
)0()()0( FxFxXPP
дпдпдп
−
=
<
≤= ;
)()()(
дпкркрдпкр
xFxFxХxPP
−
=
<
≤=
;
)()()(
кркткткркт
xFxFxХxPP
−
=
<
≤= .
а) Математичне сподівання випадкової величини, що за-
дана Гамма функцією (проект А) рівне
)1()( +
=
α
β
XM ,
середнє квадратичне відхилення
1)( +=
αβσ
X
. Для 1=
α
,
1=
β
% %2)11(1)(
=
+
⋅
=XM ; ==+⋅= 2111)(X
σ
%4142,1= ;
22)()( +=+= XXMx
дп
σ
(%);
+
=
)( XMx
кр
222)(2 +=+ X
σ
(%);
232)(3)( +=+= XXMx
кт
σ
(%).
Інтегральна функція гамма розподілу для
1
=
α
рівна
=)(xF
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
−
β
β
x
e
x
11 . Для 1
=
β
)1(1)( xexF
x
+−=
−
.
Оскільки
0)01(1)0(
0
=+−=
−
eF ;
402
−=++−=+=
+−
1)221(1)22()(
)22(
eFxF
дп
8548,0145238,0 =− ;
953378,0)2221(1)222()(
)222(
=++−=+=
+−
eFxF
кр
;
98591514,0)2321(1)232()(
)232(
=++−=+=
+−
eFxF
кт
,
то отримуємо:
8548,008548,0
=
−=
дп
P ;
09858,08548,0953378,0
=
−
=
кр
P ;
032537,0953378,0985915,0
=
−
=
кт
P .
Математичне сподівання випадкової величини, що задана
логнормальним законом (проект Б) рівне
2
2
)(
β
α
+
= eXM .
Підставивши
2=
β
, отримаємо 2)(
1
==
+
α
eXM згідно
умови. Звідси,
30685,012ln
=
−
=
α
. Середнє квадратичне
відхилення логнормального закону
=−=
+
1)(
2
2
2
β
β
α
σ
eeX
0553,552765,221)(
2
=⋅=−= eXM .
Тоді
=−+=+=
++
1)()(
2
22
22
β
β
α
β
α
σ
eeeXXMx
дп
(
)
11211)(11
2
2
22
2
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
+
eeXMee
ββ
β
α
;
(
)
1212121)()(2)(
2
2
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=+= eeXMXXMx
кр
β
σ
;
(
)
1312131)()(3)(
2
2
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=+= eeXMXXMx
кт
β
σ
.
Інтегральна функція логнормального закону рівна
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
β
α
x
ФxF
ln
5,0)(;
(
)
(
)
(
)
=−++=−−+=−
++
11lnln11lnln
2121
eeeex
дп
αα
αα
(
)
11ln1
2
−++= e .
403
05,05,0)0(
=
−=F .
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−++
+= 5,0
2
)11ln(1
5,0)(
2
e
ФxF
дп
=+=+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
+ )980,1(5,0)598508,1(5,0
4142135,1
)52765,21ln(1
ФФФ
9451,04451,05,0 =+= .
)121ln(1ln
2
−++=− ex
кр
α
.
=+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅++
+= )227,2(5,0
4142135,1
)52765,221ln(1
5,0)( ФФxF
кр
9761,04761,05,0 =+= .
=+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅++
+= )227,2(5,0
4142135,1
)52765,231ln(1
5,0)( ФФxF
кр
9873,04873,05,0 =+= . Отже,
9451,009451,0 =−=
дп
P ; 031,09451,09761,0
=
−
=
кр
P ;
0112,09761,09873,0
=
−=
кт
P .
Математичне сподівання випадкової величини роз-
поділеної за законом Максвела рівне
2
1284,1
)0( ≈=
h
M ,
звідки
5642,0
2
1284,1
==h
. Середнє квадратичне відхи-
лення
)(
ν
σ
рівне 844,0
5642,0
47619,047619,0
)( ===
h
νσ
.
844,2844,02)()(
=
+
=
+=
ν
σ
ν
Mx
дп
;
688,3844,022)(2)(
=
⋅
+
=
+=
ν
σ
ν
Mx
кр
;
532,4844,032)(3)(
=
⋅
+
=
+=
ν
σ
ν
Mx
кт
.
Інтегральна функція випадкової величини, розпо-
діленої за законом Максвела має вигляд:
404
22
2
)()(
xh
xe
h
hxФxF
−
−=
π
.
Тому, 0)0( =F ;
×−=
π
1284,1
)844,2()( ФxF
дп
862,0137925,099992,0844,2
2
)844,25642,0(
=−=×
⋅−
e .
.
−=−=
⋅−
0000,1688,3
1284,1
)688,3()(
2
)688,35642,0(
eФxF
кр
π
969,0030928,0 =− .
−=−=
⋅−
0000,1532,4
1284,1
)532,4()(
2
)532,45642,0(
eФxF
кт
π
996,00041756,0 =− . Отже,
862,00862,0 =−=
дп
P ; 107,0862,0969,0
=
−
=
кр
P ;
027,0969,0996,0
=
−=
кт
P .
б) Для проекту А:
2)(
=
А
XM , 414,1)(
=
А
X
σ
.
707,0
1
1
)1(
1
)(
)(
)( =
+
=
+
+
==
α
αβ
αβσ
XM
X
XCV
А
;
414,12
2
2
1
2
===
+
=
α
А
As .
Для проекту Б:
2)(
=
Б
XM ; 055,5)(
=
Б
X
σ
.
528,211
1
)(
2
2
2
2
2
2
2
=−=−=
−
=
+
+
ee
e
ee
XCV
Б
β
β
α
β
β
α
;
=−+−=−+−= 13)1(13)1(
2323
22
eeeeAs
Б
ββ
732,23= .
Для проекту В:
2)(
=
В
XM ; 844,0)(
=
В
X
σ
.
405
422,0
2
844,0
)( ==
В
XCV ; 501,0
=
В
As .
Висновок. Враховуючи те, що для проекту В най-
нижчі значення середнього квадратичного відхилення
)(X
σ
для одного і того ж математичного сподівання
)(XM , а також найнижче значення асиметрії
As для
інвестування слід вибрати його.
4.11. Функція одного випадкового аргумента
Нехай задана функція Y випадкового аргумента Х:
)(XY
ϕ
=
.
1. Якщо аргумент Х – дискретна випадкова величина і різ-
ним можливим значенням аргумента Х відповідають а) різні
можливі значення функції Y, то імовірності відповідних зна-
чень Х і Y між собою рівні:
)()(
ii
xXPyYP
=
=
=
; б) значен-
ня Y, серед яких є рівні між собою, то значення імовірностей
Y, що повторюються, додаються.
Математичне сподівання функції Y рівне:
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiii
pxpyXMYM
11
)()]([)(
ϕϕ
(4.11.1).
Дисперсія функції Y рівна:
2
11
222
)()())(()]([)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=
∑∑
==
n
i
ii
n
i
ii
pxpxxMxMYD
ϕϕϕϕ
(4.11.2).
2. Якщо аргумент Х – неперервна випадкова величина, що
задана щільністю розподілу f(x), причому можливі значення Х
належать всій числовій осі, то математичне сподівання
функції Y знаходиться безпосередньо за формулою:
∫
∞
∞−
== dxxfxXMYM )()()]([)(
ϕϕ
(4.11.3).
406
Якщо
),( bax ∈
, то
∫
=
b
a
dxxfxXM )()()]([
ϕϕ
(4.11.4).
Дисперсія функції Y рівна:
[]
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−= dxxfxdxxfxMxxD )()()()]([)()]([
2
2
ϕϕϕϕ
[]
2
)]([ xM
ϕ
− (4.11.5).
Якщо
),( bax ∈
, то
[]
∫∫
−=−=
b
a
b
a
dxxfxdxxfxMxxD )()()()]([)()]([
2
2
ϕϕϕϕ
[]
2
)]([ xM
ϕ
− (4.11.6).
Якщо Х – неперервна випадкова величина, що задана
щільністю розподілу f(x), і якщо у = φ(х) – диференційована
строго зростаюча або строго спадна функція, обернена функ-
ція якої х = Ψ(у), то щільність розподілу g(y) випадкової вели-
чини У знаходять з рівності:
)()]([)(
/
yyfyg Ψ⋅Ψ= (4.11.7).
Якщо функція у = φ(х) в інтервалі можливих значень Х
не монотонна, то потрібно розбити цей інтервал на під-
інтервали, в яких функція φ(х) – монотонна і знайти щільності
розподілів g
і
(у) в кожному з підінтервалів і їх суму:
)()(
1
ygyg
i
n
i
∑
=
= (4.11.8). Тоді
)()]([)()]([)(
/
22
/
11
yyfyyfyg Ψ⋅Ψ+Ψ⋅Ψ= (4.11.9),
для двох інтервалів монотонності.
Тоді математичне сподівання і дисперсія функції
)(XY
ϕ
= з використанням щільності розподілу g(y) буде:
∫
⋅=
d
c
dyygyYM )()(
;
∫
−=
d
c
YMdyygyYD
22
)]([)()(
(4.11.10),
де c і d – кінці інтервалу, в яких містяться можливі
значення Y.
407
Задачі
4.11.1. Випадкова величина X має розподіл:
Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової
величини Y = 2
x
.
Розв’язок.
Х
-1 0 1 2
Р
0,2 0,1 0,3 0,4
+=⋅+⋅+⋅+⋅==
∑
1,04,043,021,012,0
2
1
)(
ii
pyYM
;4,26,16,01,0 =+
+
+
+⋅+⋅+⋅=−=
∑
3,041,012,025,0)()(
22
yMpyYD
ii
()
.98,076,54,62,11,005,04,24,016
2
=−+++=−⋅+
4.11.2.
Випадкова величина X має розподіл:
X
1 –1
P
0,5 0,5
Обчислити M(X
n
), D(X
n
).
Розв’язок.
Складемо розподіл випадкової величини Х
n
:
n = 2k, n – парне, тоді:
X
–1 0 1 2
P
0,2 0,1 0,3 0,4
x
Y
2=
2
-1
2
0
2
1
2
2
2
х
½ 1 2 4
Р
0,2 0,1 0,3 0,4
Х
n
1
(– 1)
2
k
=1
Р
0,5 0,5
408
Тоді
15,015,01)( =⋅+⋅==
∑
ii
pxXM .
;)]([)(])[()(
222 nnnnn
XMXMXMXMXD −=−=
.05,0)11(5,0)11()(
22
=−+−=
n
XD
n – непарне:
Х
n
1
(– 1)
2k+1
= – 1
Х
n
1 – 1
Р
0,5
0,5
Р
0,5 0,5
Тоді
(
)
,05,015,01)( =⋅−+⋅==
∑
ii
pxXM
15,05,05,0)01(5,0)01()(
22
=+=−−+−=
n
XD .
4.11.3.
Випадкова величина X має розподіл:
Знайти:
а) розподіл випадкової величини Y = |X|;
б) M(Y), D(Y).
Розв’язок.
а)
X
Y
=
XY =
XY =
1 0 1
XY =
0 1
Р
3
1
3
1
3
1
Р
3
1
3
2
б) ;
3
2
3
2
1
3
1
0)( =⋅−⋅=YM
Х
n
1 1
Х
n
1
Р
0,5 0,5
Р
1
X
–1 0 1
P
1/3 1/3 1/3
Х
– 1 0 1
Р
3
1
3
1
3
1
409
9
2
9
46
9
4
3
2
3
2
3
2
1
3
1
0)(
2
22
=
−
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅=
YD .
4.11.4. Ребро куба х виміряно наближено, причому
bxa ≤≤ . Розглядаючи ребро куба як випадкову величину Х,
розподілену рівномірно в інтервалі (a; b), знайти математичне
сподівання і дисперсію об’єму куба.
Розв’язок.
Об’єм куба рівний випадковій величині
)(
3
X
ϕζ
= .
Отже, математичне сподівання об’єму куба рівне:
=⋅
−
=
−
=⋅=
∫∫
b
a
b
a
b
a
x
ab
dx
ab
xdxxfxM
4
11
)()(
4
333
ζ
=
−
++−
=
−
+−
=
−
−
=
)(4
))()((
)(4
))((
)(4
22222244
ab
ababab
ab
abab
ab
ab
.
4
))((
22
abab ++
=
Дисперсія об’єму куба рівна:
−
−
=−⋅=
∫∫
b
a
b
a
dx
ab
xxMdxxfxD
1
)()()()()(
232233
ζ
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−
⋅−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−
2
227
2
22
4
))((
7)(4
))(( abab
ab
xabab
b
a
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−
−
−
=
2
2277
4
))((
)(7
abab
ab
ab
−
++++++
=
7
6542332456
abaababababb
=
++++++
−
16
)23432(7
6542332456
abaababababb
410
.
112
92512529
6542332456
abaababababb ++−−−+
=
4.11.5. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу
f(x) = cosx в інтервалі
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
;0
π
; поза цим інтервалом f(x) = 0.
Знайти математичне сподівання функції
=
=
)(xy
ϕ
2
X
= , не знаходячи попередньо щільності розподілу Y.
Знайти дисперсію функції
2
)( Xxy ==
ϕ
, не знаходячи
попередньо щільності розподілу Y.
Розв’язок.
І спосіб.
Використаємо формулу:
dxxfxXMYM
b
a
)()()]([)( ⋅==
∫
ϕϕ
.
=
===
==
==
∫
∫
xxdxvdvxdx
xdxduux
xdxxXM
sincos,cos
;2,
cos)(
2
2
0
22
π
=
−===
==
=−=
∫
∫
xxdxvdvxdx
dxduux
xdxxxx
cossin,sin
;,
sin2sin
2
0
2
0
2
π
π
−⋅=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−⋅−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∫∫
1
4
coscos20
2
sin
2
2
2
0
2
0
2
πππ
ππ
xdxxx
.
4
8
2
4
sin
2
cos0
2
cos
2
2
22
2
0
−
=−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅+⋅−−
πππππ
π
x
Для знаходження дисперсії скористуємось формулою:
)]([)()()]([
22
XMdxxfxXD
b
a
ϕϕϕ
−=
∫
.