Хлыбов А.А., Хлыбова О.Н. MathCAD и MATLAB Начальный курс Учебно-методическое пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 2. MATLAB
ГЛАВА 2. MATLAB
2.1. Основы работы в MATLAB
MATLAB – интерактивная диалоговая система, поэтому большая часть
ее главного окна предназначена для ввода команд и вывода результатов.
Главное окно MATLAB
MATLAB может работать как очень большой и мощный калькулятор,
при этом математические выражения записываются традиционно.
Переменные в MATLAB могут быть числовыми, символьными,
векторными или матричными. Имя переменной начинается с латинской
буквы, далее могут быть буквы и цифры и символ подчеркивания
(идентифицируются не более 19 символов). Недопустимо включать в имена
переменных пробелы и специальные знаки. Строчные и прописные буквы
здесь различаются. В системе MATLAB можно задавать переменным
определенные значения. Для этого используется операция присваивания,
вводимая знаком равенства =:
Имя_переменной = выражение.
Типы переменных заранее не декларируются, они определяются
выражением, значение которого присваивается переменной.
41
Глава 2. MATLAB
2.1.1. Числовые переменные
Это числа, векторы, матрицы и многомерные массивы. Число –
простейший объект языка MATLAB, оно может быть любого типа. В
компьютере все числа представлены примерно с 16 десятичными знаками,
под каждое вещественное число отводится 8 байтов, под комплексное – 16.
При записи чисел надо помнить:
• целая часть от дробной отделяется точкой,
• для отделения порядка числа используется символ е,
• знак «плюс» не проставляется, а знак «минус» у числа называется
унарным минусом,
• пробелы между символами в числах не допускаются.
Для простого вычисления достаточно ввести выражение и нажать Enter.
Иногда вводимое математическое выражение может оказаться настолько
длинным, что для него не хватит одной строки. В этом случае часть
выражения можно перенести на другую строку с помощью знака многоточия
«…» (3 или более точки). Для предотвращения вывода на экран любой
операции в конце ввода ставится знак (
;) точка с запятой.
>> 4+exp(3)/5
ans =
8.0171
Так как мы не присвоили переменной никакого имени, то MATLAB
автоматически создал переменную с именем ans.
При работе с комплексными числами используются функции:
• abs – модуль комплексного числа,
• real – действительная часть,
• imag – мнимая часть,
• angle – фаза
42
Глава 2. MATLAB
2.1.2. Форматы чисел
По умолчанию MATLAB выдает числовые результаты в
нормализованной форме с четырьмя цифрами после десятичной точки и
одной до нее.
Для установки формата представления чисел используется команда
format name, где name – имя формата. Для числовых данных name может
быть следующим:
• short – короткое представление в фиксированном формате (5 знаков),
• shorte – короткое представление в экспоненциальном формате (5 знаков
мантиссы и 3 знака порядка),
• long – длинное представление в фиксированном формате (15 знаков),
• longe – длинное представление в экспоненциальном формате (15 знаков
мантиссы и 3 знака порядка),
• hex – представление чисел в шестнадцатеричной форме,
• bank – представление для денежных единиц.
Задание формата сказывается только на форме вывода числа.
Вычисления все равно происходят в формате двойной точности, а ввод чисел
возможен в любом удобном для пользователя виде.
2.1.3. Задание векторов и матриц
Для формирования упорядоченных числовых последовательностей
используют оператор двоеточие (:):
Начальное_значение: Шаг: Конечное_значение
Создается возрастающая последовательность чисел, которая
начинается с начального значения, идет с заданным шагом и заканчивается
конечным значением. Если шаг не задан, то он принимает значение равное 1.
Если конечное значение меньше начального, то выдается сообщение об
ошибке.
1). >> 1:5 – шаг не указан
43
Глава 2. MATLAB
ans = 1 2 3 4 5
2). >> 1:2:6 шаг равен 2
ans = 1 3 5
Задание вектора
Для задания вектора надо:
• перечислить его элементы в квадратных скобках, разделяя их
пробелами или запятыми;
вектор-строка: >>v=[1 2 3]
>>v = 1 2 3
вектор-столбец: >> v=[1 2 3]'
v =
1
2
3
• воспользоваться функцией linspace для задания вектор-строки или
linspase’ для задания вектора-столбца (эти команды применимы только
для задания вещественных векторов)
>> a=linspace(1,6,5)
a = 1.0000 2.2500 3.5000 4.7500 6.0000
Задание матриц
Строки матрицы при вводе отделяются точкой с запятой:
>>M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
>>M = 1 2 3
4 5 6
7 8 9
Возможен ввод векторов и матриц в виде арифметических выражений,
содержащих любые, доступные системе функции, например:
format short
>>v=[6/2 sqrt(16) 2^3]
>>v = 3 4 8
44
Глава 2. MATLAB
Для указания отдельного элемента вектора или матрицы используются
выражения вида v(I) или M(I,J).
>>v(1)
>>ans = 3
Возможно задание векторов и матриц с комплексными элементами:
>>M=[2+3*i 4+2*i; 1-3*i 5+i]
или
i=sqrt(-1);
>>M=[2 4; 1 5] +i*[3 2; -3 1]
это создает матрицу:
>>M =
2.0000 + 3.0000i 4.0000 + 2.0000i
1.0000 - 3.0000i 5.0000 + 1.0000i
Имеется также ряд особых функций для задания векторов и матриц.
Например, функция magic(n) задает магическую матрицу размерности n*n, в
которой сумма всех столбцов, всех строк и всех диагоналей равна одному и
тому же числу.
2.1.4. Операции над векторами и матрицами
Оператор – это специальное обозначение для определенной операции
над данными – операндами.
Большинство операторов относится к матричным операциям, поэтому
следует помнить о правилах операций над матрицами. Например, различать
умножение слева и справа, знак (/) означает деление слева направо, а знак (\)
– деление справа налево.
Произведение. Умножим матрицу на 2, т.е. получим матрицу, каждый
элемент которой в два раза больше элемента исходной матрицы. Для
умножения матрицы на скаляр допустимы оба оператора.
format short
M=[1 2 3; 4 5 6];
45
Глава 2. MATLAB
>>D=M*2
>>D = 2 4 6
8 10 12
При умножении матрицы на матрицу или вектор следует различать
умножение справа и слева:
>> format short
>> M=[1 2; 3 4];
>> N=[4 5; 6 7];
>> C=M*N
C = 16 19
36 43
>> D=N*M
D = 19 28
27 40
Сумма. Найдем сумму двух матриц.
format short
>> M=[1 2; 3 4];
>> N=[3 4; 1 2];
>> C=M+N
C = 4 6
4 6
Аналогично ищется разность и частное.
Если надо провести операции сразу над всем массивом, то перед
знаком операции ставится точка. Например, оператор (*) означает
умножение для векторов и матриц, а оператор (.*) – поэлементное
умножение всех элементов массива.
Применим к векторам v и u операцию деления (/):
>> v=[2 6 10];
>> u=[1 3 5];
>> v/u
ans = 2 – скаляр, выражающий отношение векторов.
Применим к векторам v и u операцию почленного деления (./):
>> v./u
46
Глава 2. MATLAB
ans = 2 2 2 - вектор
Удаление отдельных столбцов или строк
Для удаления отдельных столбцов или строк матрицы используются
пустые квадратные скобки [].
Рассмотрим матрицу M=[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9].
Удалим второй столбец, используя оператор двоеточие (:)
>> M(:,2)=[]
M = 1 7
2 8
3 9
Удалим вторую строку:
>> M(2,:)=[]
M = 1 7
3 9
Преобразование вектора в диагональную матрицу
>> v=1:3
v = 1 2 3
>> diag(v) = 1 0 0
0 2 0
0 0 3
Сведение матрицы к треугольному виду
>> A=[1 2 3; 6 5 4; 7 8 9];
>> triu(A) = 1 2 3
0 5 4
0 0 9
Конкатенация
Операция конкатенации – объединение малых матриц в большую
A=[1 2; 3 4];
B=[2 4; 5 6];
C=[A A+B;A-B B]
C = 1 2 3 6
3 4 8 10
-1 -2 2 4
47
Глава 2. MATLAB
-2 -2 5 6
Вычисление суммы столбцов матрицы
>> sum(C)
ans = 1 2 18 26
Вычисление суммы строк матрицы
>> sum(C.')
ans = 12 25 3 7
Вычисление суммы диагоналей матрицы
>> sum(diag(C))
ans = 13
Размерность матрицы (функция size)
>> A=[1 2; 5 6]
>> size(A)
ans = 2 2
Обратная матрица (функция inv)
>> A=[1 2; 3 4];
>> B=inv(A)
B = -2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000
Определитель (функция det)
>> det(A)
ans = -2
Транспонирование
>> A'
ans = 1 3
2 4
2.1.5. Константы и системные переменные
Константа – это предварительно определенное числовое или
символьное значение, представленное уникальным именем. Числа являются
безымянными числовыми константами. Другие виды констант в MATLAB
принято называть системными переменными, поскольку они, с одной
48
Глава 2. MATLAB
стороны, задаются системой, а с другой, могут переопределяться
(см. приложение).
Символьная константа – это цепочка символов, заключенных в
апострофы, например, ‘Привет’ или ‘2+3’. Если в апострофы помещено
математическое выражение, то оно не вычисляется, однако с помощью
специальных функций преобразования символьные выражения могут быть
преобразованы в вычисляемые.
Текстовые комментарии используются для наглядности описания, и
вводятся с помощью символа
%. Комментарии можно вводить как на
русском, так и на английском языках. Но не рекомендуется вводить
русскоязычные комментарии в тесты m-файлов при подготовке их в
редакторе/отладчике, это нередко делает программы неработоспособными.
2.2. Графика системы MATLAB
В режиме прямых вычислений доступны почти все возможности
системы, в том числе построение графиков. При этом графики строятся в
отдельных масштабируемых и перемещаемых окнах.
2.2.1. Двумерная графика
Для построения графика надо:
• задать интервал изменения аргумента
• использовать команду построения графиков plot
Пример:
>> x=0:0.1:10;
>> plot(sin(x))
В главном меню окна графика есть кнопка Tools, опции которой
позволяют легко управлять параметрами графика. Также можно вызвать окно
свойств выполнив Edit→Figure Properties/
49
Глава 2. MATLAB
Построение в одном окне графиков нескольких функций.
Функции могут быть обозначены переменными, не имеющими явного
указания аргумента: y1=sin(x); y2=cos(x); y3=x*sin(x);
Это обусловлено тем, что переменные y1, y2, y3…являются векторами,
как и переменная x. Используем одну из форм команды
plot(a1,f1,a2,f2,a3,f3,…), где a1, a2, a3 –векторы аргументов функций (в
нашем случае они все - x), а f1, f2, f3 – векторы значений функций, графики
которых строятся в одном окне.
Для построения в одном окне графиков нескольких функций надо:
• задать эти функции;
• использовать одну из команд plot, например plot(a1,f1,a2,f2,a3,f3,…);
Пример:
>> x=-5:0.5:5;
>> y1=sin(x); y2=cos(x); y3=sin(x)./х;
>> plot(x,y1,x,y2,x,y3)
Обратите внимание на задание третьей функции. Если х представляет
собой массив (вектор), то нельзя использовать оператор матричного деления
(/) (или умножения (*)). При вычислении функции, в нашем случае - sin(x)/x,
надо использовать оператор почленного деления (./). При таком задании
функции построение графика возможно, но возникает предупреждение о
делении на ноль, в момент, когда х=0:
50