Хлыбов А.А., Хлыбова О.Н. MathCAD и MATLAB Начальный курс Учебно-методическое пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 1. MathCAD
каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно числу
аргументов Find.
Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:
• Ограничения со знаком ≠.
• Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный
аргумент в любой форме.
• Неравенства вида a < b < c.
Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга,
каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции
Find. Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть
использована аналогично любой другой функции.
Системы линейных алгебраических уравнений
Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является
решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
В матричной форме СЛАУ записывается в виде: А*х=b, где А –
матрица коэффициентов СЛАУ, х-вектор неизвестных, b-вектор правых
частей уравнений.
СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является
невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю.
В MathCAD СЛАУ можно решить двумя способами.
Для первого способа следует использовать вычислительный блок
Given/Find.
21
Глава 1. MathCAD
Для второго способа используют встроенную функцию lsolve.
Аргументами этой функции являются А – матрица коэффициентов СЛАУ и
b- вектор-столбец свободных членов.
При этом определяют матрицу любым способом.
Сообщение об ошибке No solution was found. Try changing the guess
value or the value of TOL or CTOL. (Решение не найдено) при решении
уравнений появляется, когда:
• Поставленная задача может не иметь решения.
• Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в
качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.
• В процессе поиска решения последовательность приближений
попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения
нужно задать различные начальные приближения.
• Возможно, поставленная задача не может быть решена с
заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.
Приближенные решения
Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же
алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее
уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это
приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об
ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции
Find.
Minerr(x
1
,x
2
,...) возвращает приближенное решение системы
уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
22
Глава 1. MathCAD
Замечание: Если Minerr используется в блоке решения уравнений,
необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности
результатов.
1.3.4. Решение уравнений в символьном виде
Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или
приближенные корни уравнения:
• Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном
виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр.
Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения
параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном
решении.
• Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью
меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном
векторе или в аналитическом или цифровом виде.
Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо
выполнить следующее:
• Напечатать ключевое слово Given.
• Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given.
• Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.
• Ввести оператор символьного вывода →.
• Щелкнуть мышью на функции Find.
1.4. Символьные вычисления
Наряду с численным вводом, в MathCAD имеется возможность
символьного, или аналитического, вычисления значения выражения.
Символьные вычисления в MathCAD можно осуществить в двух
различных вариантах:
• с помощью команд меню,
23
Глава 1. MathCAD
• с помощью оператора символьного вывода →, ключевых слов
символьного процессора и обычных формул (в справочной системе
MathCAD этот способ называется символьными вычислениями в реальном
времени – live symbolic evaluation).
Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-
либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя
сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т.к. позволяет
записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять
символьные вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические
преобразования, проводимые через меню, касаются только одного,
выделенного в данный момент выражения. Соответственно, на них не влияют
формулы, находящиеся в документе выше этого выделенного выражения
(например, операторы присваивания значений каким-либо переменным).
Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее
содержимое документа и выдает результат с его учетом.
Для символьных вычислений при помощи команд предназначено
главное меню Символика, объединяющее математические операции, которые
MathCAD умеет выполнять аналитически. Для реализации второго способа
применяется специальная панель инструментов (рис.3.1), на которой
находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных
преобразований.
Символьные операции можно выполнять двумя способами:
- непосредственно в командном режиме (используя операции меню
Символы);
24
Глава 1. MathCAD
- с помощью операторов символьного преобразования (используя
палитру инструментов Символы
).
Разложение на множители (expand)
Sin(2*x)
Первый способ (с помощью меню).
• Ввести выражение sin(2*x)
• Выделить его целиком
• Выбрать в главном меню Символика⇒Разложить (расширить)
После этого ниже появится результат.
Второй способ (с помощью оператора →).
• Ввести выражение sin(2*x)
• Нажать кнопку Expand
• Ввести в местозаполнитель после появившегося ключевого слова
expand имя переменной,
• Ввести оператор символьного вывода →
• Нажать Enter либо щелкнуть мышью за пределами выражения.
sin 2 x⋅( ) expand x, 2 sin x()
⋅
cos x()
⋅
→
Оператор символьного вывода можно ввести несколькими способами:
• нажатием кнопки на панелях Вычисления или Символьный
• сочетанием клавиш Ctrl+<.>.
Не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. Если
задача не имеет аналитического решения или оказывается слишком сложной
для символьного процессора MathCAD, то в качестве результата выводится
само выражение.
Упрощение выражений (Simplify)
При упрощении используются различные арифметические формулы,
приведение подобных, тригонометрические тождества и т.д.
x2y⋅+()z⋅ z
2
x5y⋅+()⋅− z+ simplify z x⋅ 2z⋅ y⋅ z
2
x⋅− 5z
2
⋅ y⋅−+
z
+→
25
Глава 1. MathCAD
Упрощение выражения с подстановкой значения переменных:
x10:= y1:=
x2y⋅+()z⋅ z
2
x5y⋅+()⋅− z+ simplify 13 z⋅ 15 z
2
⋅−→
Упрощение выражений, содержащих числа, производится по-разному,
в зависимости от наличия в числах десятичной точки. Если она есть, то
выполняется непосредственное вычисление выражения:
5 simplify 5
1
2
→
5.001
simplify 2.2362915731183176
8
→
Разложение на множители (Factor)
Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение более
простых полиномов, а целые числа – на простые сомножители. Применяя
команду меню, не забывайте перед ее вызовом выделить все выражение или
его часть, которую планируете разложить на множители. При применении
операторов удалите местозаполнитель, нажав клавишу Delete.
x
4
16− factor x 2−()x2+()⋅ x
2
4+
(
)
⋅→
28 factor 2
2
7⋅→
Приведение подобных слагаемых (Collect)
После ключевого слова Collect надо ввести имя переменной,
относительно которой требуется привести подобные. Допускается задание
нескольких переменных через запятую. В этом случае приведение подобных
осуществляется последовательно по всем переменным.
26
Глава 1. MathCAD
x2y⋅+()z⋅ z
2
y⋅ x5y⋅+()⋅− z+ collect x, zz
2
y⋅−
(
)
x⋅ 2z⋅ y⋅ 5z
2
⋅ y
2
⋅−+ z+→
x2y⋅+()z⋅ z
2
y⋅ x5y⋅+()⋅− z+ collect y, 5− z
2
⋅ y
2
⋅ 2z⋅ z
2
x⋅−
()
y⋅+ zx⋅+ z+→
x2y⋅+()z⋅ z
2
y⋅ x5y⋅+()⋅− z+ collect z, z
2
− y⋅ x5y⋅+()⋅ x2y⋅+ 1+()z⋅+→
x2y⋅+()z⋅ z
2
y⋅ x5y⋅+()⋅− z+ collect x, y, z, zz
2
y⋅−
()
x⋅ 2z⋅ y⋅ 5z
2
⋅ y
2
⋅−+ z+→
Коэффициенты полинома (Polynomial Coefficients)
Если выражение является полиномом относительно некоторой
переменной, заданным не в обычном виде, а как произведение других, более
простых полиномов, то коэффициенты легко определяются с помощью
оператора Coeffs.
x4−()x7−()⋅ x⋅ 50+ coeffs x,
50
28
11−
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
→
Разложение на элементарные дроби (Сonvert to Fractions)
Чтобы разложить сложную дробь на более простые дроби, следует
либо выполнить команду Символика ⇒Переменная ⇒Преобразовать в
элементарную дробь, либо указать ключевое слово parfrac. Применяя меню
(первый способ) не забывайте перед выбором его команды выделить
переменную, по которой будет производиться разложение, а если
используется второй способ (с оператором символьного вывода), то имя
переменной следует указать после ключевого слова.
11 x
2
⋅ 9x⋅+ 1+
x
2
3x⋅− 2+
convert parfrac, x, 11
21
x1−
−
63
x2−
+→
Подстановка переменной (Substitute)
При помощи меню подстановка производится следующим образом:
• выделить значение переменной, которое необходимо подставить;
• скопировать значение переменной в буфер обмена;
27
Глава 1. MathCAD
• выделить в выражении, в которое требуется подставить значение,
переменную, которая будет заменяться;
• выполните команду Символика ⇒Переменная ⇒Заменить.
Для осуществления той же операции с помощью оператора
символьного вывода используйте ключевое слово Substitute. После него
необходимо ввести логическое выражение, показывающее, какую именно
переменную, какой формулой следует заменить.
sin k x
2
⋅ bx⋅+
(
)
substitute k a x
2
⋅, sin a x
4
⋅ bx⋅+
(
)
→
Ряды и произведения
Чтобы вычислить символьно конечную или бесконечную сумму или
произведение:
• введите выражение. Символ ∞ вводится с помощью клавиш
Ctrl+Shift+Z;
• в зависимости от желаемого стиля символьных вычислений
выберите команду Символика ⇒Упростить или введите оператор
символьного вывода →.
0
∞
n
1
n
2
n
n!
∑
=
simplify exp
1
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
→
Матричная алгебра
Так как большинство операций и встроенных функций осуществляются
над матрицами точно так же, как и над обычными числами, к матричным
28
Глава 1. MathCAD
вычислениям можно применять команду упрощения Simplify. Кроме того,
имеется несколько кнопок на панели Символика, относящихся к матрицам.
Это Транспонирование, Обратная матрица и Определитель. Выполняются
действия с матрицами в той же последовательности, что и операции со
скалярными переменными.
Стиль представления результатов вычислений
На наглядность вычислений влияет стиль представления их
результатов. Следующая команда позволяет задать тот или иной стиль:
Стиль Вычислений... — задать вывод результата символьной
операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него.
1.5. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых
неизвестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или
нескольких переменных. Если в уравнение входят производные только по
одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными
уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных
производных. Таким образом, решить дифференциальное уравнение – значит
определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее
переменных.
ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения заданы
начальные или граничные условия.
Имеются два типа задач, которые возможно решить с помощью
MathCAD:
- задачи Коши – для которых определены начальные условия на
искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке
интервала интегрирования уравнения;
- краевые задачи – для которых заданы определенные соотношения
сразу на обеих границах интервала.
29
Глава 1. MathCAD
Дифференциальное уравнение первого порядка может по определению
содержать, помимо самой искомой функции, только ее первую производную.
В большинстве случаев ДУ можно записать в стандартной форме (форме
Коши):
y
1
t() fyt() t,()
Внимание: MathCAD умеет работать только с такой формой записи.
1.5.1. Решение ОДУ первого порядка
Вычислительный блок для решения одного ОДУ, реализующий
численный метод Рунге-Кутта, состоит из трех частей:
Given – ключевое слово;
ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических
операторов, причем начальное условие должно быть в форме y(t
0
)=b;
Odesolve(t,t1) – встроенная функция для решения ОДУ относительно
переменной t на интервале (t
0
,t
1
). Допустимо задание функции Odesolve
(t,t
1
,step) с тремя параметрами, где step – внутренний параметр численного
метода, определяющий количество шагов.
MathCAD требует, чтобы конечная точка интегрирования ОДУ лежала
правее начальной, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Результатом
применения блока Given\ Odesolve является функция у(t), определенная на
промежутке (t
0
,t
1
). Можно построить ее график или получить значение
внутри интервала.
30