Хлыбов А.А., Хлыбова О.Н. MathCAD и MATLAB Начальный курс Учебно-методическое пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 2. MATLAB

2.3.5. Одномерная табличная интерполяция

В ряде случаев очень удобна сплайновая интерполяция и

аппроксимация таблично заданных функций. При ней промежуточные точки

ищутся по отрезкам полиномов третьей степени — это кубическая

сплайновая интерполяция. При этом обычно такие полиномы вычисляются

так, чтобы не только их значения совпадали с координатами узловых точек,

но также, чтобы в узловых точках были непрерывны производные первого и

второго порядков. Такое поведение характерно для гибкой линейки,

закрепленной в узловых точках, откуда и происходит название spline

(сплайн) для этого вида интерполяции (аппроксимации). Для одномерной

табличной интерполяции используется функция interpl:

• yi = Interpl(x,Y,xi) — возвращает вектор yi, содержащий

элементы, соответствующие элементам xi и полученные интерполяцией

векторов х и Y. Вектор х определяет точки, в которых задано значение Y.

Если Y — матрица, то интерполяция выполняется для каждого столбца Y и

у1 имеет длину length (xi) - by- size (Y. 2);

• yi = interpl (x.Y.xi .method) — позволяет с помощью параметра method

задать метод интерполяции:

• 'nearest' — ступенчатая интерполяция;

• 'linear' — линейная интерполяция (принята по умолчанию);

• 'spline' — кубическая сплайн-интерполяция;

• 'cubic' или 'pchip' — интерполяция многочленами Эрмита;

• yi = interpl (x,Y,xi ,method, значение величин вне пределов изменения

х) — позволяет отобразить особенные точки на графике;

• yi = i nterpl(х, Y, xi, method,' сообщение') — позволяет изменить

сообщение об особенных точках на графике.

Все методы интерполяции требуют, чтобы значения х изменялись

монотонно. Когда х — вектор равномерно распределенных точек, для более

быстрой интерполяции лучше использовать методы '*1inear', '*cubic',

Глава 2. MATLAB

'*nearest' или '*spline'. Обратите внимание, что в данном случае

наименованию метода предшествует знак звездочки.

Пример. Интерполяция функции косинуса:

x=0:10;y=cos(x); xi=0:0.1:10; yi=interpl(x,y,xi); plot(x,y,'x',xi,yi,'g'),

hold on yi=interpl(x,y,xi.'spline'); plot(x,y,'o ' ,xi,yi,'m'), grid,hold off

2.4. Основы программирования в MATLAB

До сих пор мы в основном использовали систему MATLAB в режиме

непосредственного счета — в командном режиме. Однако при решении

серьезных задач возникает необходимость сохранения используемых

последовательностей вычислений, а также их дальнейшей модификации.

Иными словами, существует необходимость программирования решения

задач.

В основе объектно-ориентированного программирования лежат три

основных положения.

• Инкапсуляция — объединение данных и программ и передача

данных через входные и выходные параметры функций. В результате

появляется новый элемент программирования — объект.

• Наследование — возможность создания родительских объектов

и новых дочерних объектов, наследующих свойства родительских объектов.

Возможно также множественное наследование, при котором класс наследует

свойства нескольких родительских объектов. На наследовании основаны

система задания типов данных, дескрипторная графика и многие другие

приемы программирования. Примеры наследования мы уже неоднократно

отмечали.

• Полиморфизм — присвоение некоторому действию одного

имени, которое в дальнейшем используется по всей цепочке создаваемых

объектов сверху донизу, причем каждый объект выполняет это действие

присущим ему способом.

Глава 2. MATLAB

В дополнение к этим положениям объектно-ориентированное

программирование в MATLAB допускает агрегирование объектов, т. е.,

объединение частей объектов или ряда объектов в одно целое.

Объект можно определить как некоторую структуру, принадлежащую к

определенному классу. В MATLAB определены следующие семь основных

классов объектов:

• double — числовые массивы с элементами-числами двойной

точности;

• sparse — двумерные числовые или комплексные разреженные

матрицы;

• char — массивы символов;

• struct — массивы структур (записей);

• cell — массивы ячеек;

• javaarray — массивы Ява;

• functionjnandle — дескрипторы функций.

Для MATLAB характерно, что никакие классы объектов (в том числе

заново создаваемые) не требуют объявления. Например, создавая

переменную nаmе='Иван', мы автоматически получаем объект в виде

переменной name класса char. Таким образом, для переменных

принадлежность к тому или иному классу определяется их значением.

Является ли переменная объектом, можно определить при помощи функции

isobject (HMfl переменной). Аналогичная функция isjava определяет,

является ли переменная объектом Java.

Для создания новых классов объектов служат конструкторы классов.

По существу, это m-файлы, имена которых совпадают с именами классов

@Имя_класса, но без символа @. Этим символом помечаются подпапки

системы MATLAB, в которых имеются конструкторы классов. Множество

таких папок с примерами конструкторов классов вы найдете в подпапках

MATLAB\TOOLBOX.

Глава 2. MATLAB

2.4.1. Создание класса или объекта

Для создания класса объектов или объектов, а также для их

идентификации служит функция class. Формы ее применения представлены

ниже.

• class (OBJ) — возвращает класс указанного объекта OBJ. Типы

стандартных классов double, sparse, char, cell, struct, functionjiandle были

перечислены выше. int8 — 8-разрядный массив целых чисел со знаком; uintS

— 8-разрядный массив целых чисел без знака; intlG — 16-разрядный массив

целых чисел со знаком; uint!6 — 16-разрядный массив целых чисел без знака;

int32 — 32-разрядный массив целых чисел со знаком; uint32 — 32-разрядный

массив целых чисел без знака; <class_name> — класс, определенный

пользователем; <java_class> — имя класса Ява;

• OBJ=class(S, 'classjiame' ,PARENT1,PARENT2....) — создает

объект класса 'classname' на базе структуры S и родительских объектов

PARENT1, PARENT2,... При этом создаваемый объект наследует структуру

и поля родительских объектов. Объекту OBJ в данном случае присуще

множественное наследование;

• OBJ=class(struct[ ], 'classjiame' , PARENT1, PARENT2,...) — не

может иметь никаких полей, кроме унаследованных от родительских

объектов.

Обратите внимание на то, что эта функция обычно используется в

составе m-файлов конструкторов классов объектов.

2.4.2. Проверка принадлежности объекта к заданному классу

Для контроля принадлежности заданного объекта к некоторому классу

служит функция isa:

• isa (OBJ, 'Имя_класса') — возвращает логическую 1, если OBJ

принадлежит классу с указанным именем. Дополнительно к вышеописанным

выделяет классы numeric и single. Но не обнаруживает класс logical. Нужно

использовать функцию islogical, чтобы проверить принадлежность к этому

классу.

Глава 2. MATLAB

Примеры применения этой функции:

Х=[1 2 3]; isa(X,'char')

ans =

isa(X,'double')

ans =

2.4.3. Программы и функции

Сессии в командном режиме работы не сохраняются в памяти

компьютера (ведение дневника не в счет). Хранятся только определения

созданных в ходе их выполнения переменных и функций. А вот программы

на языке программирования MATLAB сохраняются в виде текстовых m-

файлов. При этом могут сохраняться как целые программы в виде файлов-

сценариев, так и отдельные программные модули — функции. Кроме того,

важно, что программа может менять структуру алгоритмов вычислений в

зависимости от входных данных и данных, создаваемых в ходе вычислений.

Текстовые файлы, содержащие операторы MATLAB могут быть двух

типов: программы (script; иногда используют дословный перевод –

«сценарий») и функции (function). Между ними имеются следующие

различия:

• функции имеют заголовок function, а программы – script или вовсе не

имеют заголовка;

• функции могут принимать входные параметры и возвращать

результаты вычислений, а программы – нет;

• программы используют рабочую область памяти среды MATLAB, а

каждая функция при вызове создает свою собственную рабочую

область памяти и использует для внешних связей только параметры и

глобальные переменные.

Глава 2. MATLAB

Синтаксис

• для разделения операторов и строк используют точку с запятой (;) или

запятую (,);

• длинные строки можно делить на части используя троеточие (…);

• комментарий начинается символом процента (%).

Функции редактирования и работы с файлами обеспечиваются

редактором/отладчиком М-файлов. Для его запуска необходимо либо

создать новый М-файл (File→New→M-file), либо открыть уже

существующий (File→Open). Для запуска файла его надо сохранить,

используя команду File→Save as. После сохранения М-файла

редактор/отладчик можно закрыть, а сохраненный файл можно запустить из

командной строки.

Тело М-файла может содержать любые математические и логические

выражения, а также управляющие структуры (например, циклы и условные

выражения). Он реализует модульный и объектно-ориентированный подход к

подготовке программ и имеет средства для создания интерфейса

пользователя.

Логические операторы

В качестве логических условий в условных операторах и циклах while

(см. далее) могут использоваться числовые скалярные значения. При этом

нулевое значение трактуется как «ложь» (false), а любое ненулевое — как

«истина» (true). Кроме того, для формирования условий часто используются

операторы сравнения = (равно), ~= (не равно), < (меньше), > (больше), <=

(меньше или равно), >= (больше или равно). Следует иметь в виду, что для

массивов они производят поэлементное сравнение, возвращая массив такого

же размера, как сравниваемые аргументы. Результирующий массив содержит

единицы там, где сравнение элементов дало выполнение условия, и нули там,

где условие сравнения выполнено не было.

Глава 2. MATLAB

Для формирования логических условий полезны также следующие

функции:

• all(х) — возвращает 1, если все элементы х отличны от нуля;

• any(х) — возвращает 1, если хотя бы один элемент х отличен от нуля;

• isequal(x, у) — возвращает 1, если значения х и у совпадают. В отличие

от конструкции all(х==у), использование данной функции не приведет

к ошибке, если размеры х и у не совпадают;

• isempty(x) — возвращает 1, если х является пустой матрицей (то есть

имеет размер 0x0).

Имеется еще довольно много функций проверки разнообразных

условий, имена которых имеют вид is.... За более подробной информацией

обратитесь к справочной системе.

2.4.3.1. Условный оператор

Условный оператор в MATLAB реализуется с помощью ключевых слов

if, else и end:

if cond

% ветвь, выполняемая, если cond истинно

else

% ветвь, выполняемая, если cond ложно

end

Здесь cond — проверяемое значение.

Для оператора if, вложенного в ветвь else другого (внешнего)

оператора if, есть сокращенная форма записи с использованием ключевого

слова elseif:

if condl

% ветвь, выполняемая, если cond1 истинно

elseif cond2

% ветвь, выполняемая, если condl ложно, a cond2 истинно

else

Глава 2. MATLAB

% ветвь, выполняемая, если condl и cond2 ложны

end

Аналогичным образом можно использовать elseif несколько раз.

2.4.3.2. Оператор выбора

Если в условном операторе выбирается одна из двух возможных

альтернатив, то оператор выбора реализует разветвление программы на

несколько путей. Выбор конкретного пути зависит от значения заданной

переменной. Запись оператора выбора в MATLAB производится с помощью

ключевых слов switch, case, otherwise и end:

switch x

case xl

% ветвь, выполняемая, если х равно xl

case x2

% ветвь, выполняемая, если х равно х2

otherwise

% ветвь, выполняемая, если все условия case не соблюдаются

end

При выполнении оператора switch значение х поочередно сравнивается

с xl, х2 и т. д. При обнаружении первого совпадения выполняются операторы

соответствующей ветви, после чего производится выход из оператора

выбора. Таким образом, в отличие от аналогичного оператора языка С

«проваливания» на следующую ветвь не происходит и операторы break в

конце каждой ветви в MATLAB не нужны.

2.4.3.3. Циклы

Для реализации циклов в MATLAB имеется два оператора — for и

while.

Оператор for

В операторе for переменная-счетчик цикла поочередно принимает

значения элементов некоторого вектора:

Глава 2. MATLAB

for k = х

% тело цикла

end

Операторы, входящие в тело цикла, будут выполняться при значении

переменной к, равном х(1), затем х(2) и т. д. до x(end). После завершения

цикла значение к остается равным x(end).

Разумеется, чаще всего в цикле for используется последовательный

перебор целочисленных значений счетчика цикла:

for k = 1:N

Однако при необходимости можно использовать дробное значение

шага for k = -1:0.01:1 или перебор произвольных значений for к = [1 10 pi 9

ln(3)].

Оператор while

Второй тип циклов реализуется с помощью оператора while. Тело

цикла выполняется, пока условие cond остается истинным (то есть значение

cond отлично от нуля):

while cond

% тело цикла

end

Если cond изначально имеет нулевое значение, тело цикла не будет

выполнено ни разу.

Оператор break

Чтобы реализовать досрочное завершение цикла, используется

оператор break. Разумеется, он должен применяться в сочетании с условным

оператором, например так:

for k = 1:N

% первая половина тела цикла

% проверка дополнительного условия завершения

if cond

break

Глава 2. MATLAB

end

% вторая половина тела цикла

end

Оператор break можно использовать для реализации циклов с

проверкой условия завершения не в начале (как делает оператор while), а в

произвольном месте цикла. Для этого с помощью оператора while создается

«вечный» цикл, а его завершение производится оператором break:

while 1 % «вечный» цикл

% первая половина тела цикла

% проверка условия завершения

if cond

break

end

% вторая половина тела цикла

end

Кроме оператора break для управления выполнением программы

внутри цикла имеется оператор continue. Размещенный внутри цикла for или

while, этот оператор передает управление на проверку условия завершения

цикла, пропуская при этом оставшийся фрагмент тела цикла. Это позволяет

сделать код более наглядным, избежав использования длинного оператора if.

2.4.3.4. Примеры программ

1. Напишем программу вычисления корней квадратного

уравнения.

% решить квадратное уравнение ax^2+dx+c

%вводим значения параметров уравнения

a=input('a=');

b=input('b=');

c=input('c=');

% вычислим дискриминант