Хлыбов А.А., Хлыбова О.Н. MathCAD и MATLAB Начальный курс Учебно-методическое пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 1. MathCAD

1.5.2. Решение ОДУ высшего порядка

В MathCAD с помощью вычислительного блока Given\ Odesolve

можно решать ОДУ высшего порядка. Для корректной постановки задачи

Коши требуется задать n начальных условий на саму функцию и ее

производные от первого до (n-1)-го порядка включительно.

Внутри вычислительного блока:

• ОДУ должно быть линейно относительно старшей производной,

• начальные условия должны иметь форму y(t)=b или y

(n)

(t)=b.

Рассмотрим осциллятор с затуханием:

Можно свести ОДУ высшего порядка к эквивалентной системе ОДУ

первого порядка и решить эту систему.

1.5.3. Решение системы ОДУ

Для решения системы ОДУ имеются три встроенные функции,

соответствующие трем численным методам:

rkfixed (y

,M,D) – метод Рунге – Кутты с фиксированным шагом,

Rkadapt (y

,M,D) – метод Рунге – Кутты с переменным шагом,

Bulstoer (y

,M,D) – метод Булирша-Штера.

Где y

– вектор начальных значений в точке t

размера Nx1, t

–

начальная точка расчета, t

- конечная точка расчета, М – число шагов, на

которых численный метод находит решение, D-векторная функция размера

Nx1 двух аргументов – скалярного t и векторного y. При этом у – искомая

функция аргумента t того же размера.

Глава 1. MathCAD

Каждая из приведенных функций выдает решение в виде матрицы

размера (M+1)x(N+1). В ее левом столбце находятся значения аргумента t,

делящие интервал на равномерные шаги, а в остальных N столбцах –

значения искомых функций y

(t), y

(t),..,y

N-1

(t), рассчитанные для этих

значений аргумента. Так как всего точек (помимо начальной) М, то строк в

матрице решения будет М+1.

Сведем уравнение второго порядка к системе уравнений

Решение будет выведено в виде матрицы размера (M+1)x(N+1), т.е.

101х3. Посмотреть все компоненты матрицы, которые не помещаются на

экране, можно с помощью полосы прокрутки.

Определяя матрицу D, помните, что она должна быть обязательно

функцией двух аргументов, второй ее аргумент должен быть вектором того

же размера, что и сама функция D. Точно такой же размер должен быть и у

вектора начальных значений.

Чтобы построить график решения, надо отложить соответствующие

компоненты матрицы решения по координатным осям: значения аргумента

<0>

- вдоль оси Х, а u

<1>

и u

<2>

- вдоль оси У. Все операции выполняются с

помощью панели Матрица.

Глава 1. MathCAD

0204060

0.1

0.1−

〈〉

Фазовый портрет системы более нагляден. Он имеет одну

стационарную точку (аттрактор), на которую «накручивается» решение. В

теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом

. Для

его построения надо по оси Х поставить u

<1> ,

а по оси У -

<2>

0.1 0 0.1

0.1

0.078

0.093−

〈〉

0.1

0.084−

〈〉

Замечание: В общем случае, если система состоит из n ОДУ, то фазовое

пространство является n-мерным и наглядность теряется. Для визуализации

фазового портрета приходится строить его различные проекции.

При решении системы ОДУ может возникнуть ошибка «Found a number

with a magnitude greater than 10^307» (Найдено число, превышающее

значение 10

307

). Данная ошибка может означать не то, что решение

действительно расходится, а просто не хватает шагов для корректной работы

численного алгоритма. Подобные проблемы могут быть устранены при

помощи увеличения числа шагов численного метода.

Мы рассмотрели решения только линейных уравнений и систем, т.е.

содержащих только первую степень неизвестных функций и их производных.

Нелинейные системы уравнений, например, известные модели динамики

Глава 1. MathCAD

популяций (модель Вольтерра), генератора автоколебаний (Ван дер Поля),

турбулентной конвекции (Лоренца) и другие, решаются аналогично.

1.6. Программирование в MathCAD

Для вставки программного кода в документы MathCAD имеется

специальная панель инструментов Программирование. Большинство кнопок

этой панели выполнено в виде текстового представления операторов

программирования, поэтому их смысл легко понятен.

Программирование имеет ряд преимуществ:

• возможность применения циклов и условных операторов;

• простота создания функций и переменных, требующих нескольких

простых шагов;

• возможность создания функций, содержащих закрытый для

остального документа код, включая преимущества использования

локальных переменных и обработку ошибок.

Программный модуль обозначается в MathCAD вертикальной чертой,

справа от которой последовательно записываются операторы языка

программирования.

Чтобы создать программный модуль, надо:

1. ввести часть выражения, которая будет находиться слева от знака

присваивания и сам знак присваивания, например, f(x).

2. нажать на панели Программирование кнопку Add Line

(добавить строку программирования), если приблизительно

известно, сколько строк будет содержать программа, можно

многократным нажатием на эту кнопку ввести соответствующее

Глава 1. MathCAD

количество строк. Вставить строку программного кода можно в

любой момент с помощью той же кнопки Add Line.

3. в появившиеся местозаполнители ввести желаемый программный

код, используя программные операторы.

После того как программный модуль полностью определен и ни один

местозаполнитель не остался пустым, функция может использоваться

обычным образом, как в численных, так и в символьных расчетах.

Имена программных операторов нельзя вводить с клавиатуры. Для их

вставки можно применять панель инструментов или сочетания клавиш,

которые приведены в тексте всплывающей подсказки.

Таким образом, программа MathCAD есть выражение, состоящее из

последовательности операторов, каждый из которых является, в свою

очередь, выражением.

Язык программирования не был бы эффективным, если бы не позволял

создавать внутри программных модулей локальные переменные.

Присваивание в пределах программ, в отличие от документов MathCAD,

производится с помощью оператора Локальное присваивание (Local

Definition), который вставляется с помощью кнопки с изображением

стрелки«←». Ни оператор присваивания :=, ни оператор ввода = в пределах

программы не применяются.

Пример 1. вычислить значение f(x), заданное выражением f(x):=z+5

fx() z 5←

zx+

f6() 11=

Условные операторы (if, otherwise)

Действие условного оператора if состоит из двух частей. Сначала

проверяется логическое выражение (условие) справа от него. Если оно

истинно, выполняется выражение слева от оператора if. Если ложно,

Глава 1. MathCAD

выполнение программы продолжается переходом к ее следующей строке.

Вставить условный оператор можно следующим образом:

• создайте новую строку программного кода, нажав кнопку Add Line,

• нажмите кнопку if и справа от него введите условие (панель

Булевы),

• выражение, которое должно выполняться, если условие истинно,

введите слева от оператора if,

Оператор otherwise используется совместно с одним или несколькими

условными операторами if и указывает на выражение, которое будет

выполнено, если ни одно из условий не оказалось истинным.

Пример 2.

fx( ) "negative" x 0<if

"positiv"

"big positive" x 1000>if

x0>if

"zero" otherwise

f1() "positiv"=

f10

()

"big posit ive"=

Рассмотрим использование оператора if для задания кусочно-гладкой

функции.

Пример 3.

Глава 1. MathCAD

Можно определить функцию непосредственно, при помощи

встроенной функции if:

gx() if x 2> 0, 4x

−,

()

но это определение хотя и более краткое, но менее наглядное.

Пример 4.

Эквивалентное, но намного более сложное, определение этой же

функции:

Hx() if 2− x≤ 1.3−≤ Fx(), if 1.3− x≤ 0≤ Fx()−, if 0 x≤ 1.4≤ Fx()

, x,

(

)

(

)

(

)

Операторы цикла (for, while, break, continue)

В языке программирования MathCAD имеются два оператора цикла:

for и while. Первый из них дает возможность организовать цикл по

некоторой переменной, заставляя ее пробегать некоторый диапазон значений.

Второй создает цикл с выходом из него по некоторому логическому условию.

Если выбран оператор for, то в соответствующие местозаполнители надо

вставить имя переменной и диапазон ее значений, если while – то логическое

выражение, при нарушении которого должен осуществляться выход из

цикла. В нижний местозаполнитель вводится тело цикла, т.е. выражение,

которое должно выполняться циклически. Важно, чтобы в программе

присутствовал оператор, делающий условие цикла ложным. В противном

случае, цикл будет выполняться бесконечно. Если выполняемая программа

зациклилась, то ее можно остановить, нажатием клавиши Esc.

Глава 1. MathCAD

Пример 5.

xz0←

zz2i⋅+←

i06..∈for

Пример 6. Поиск первого элемента вектора, превосходящего заданное

значение.

Соз дани е вект ора

m 0 2500..:= v

1sinm()+:=

tvthres,()j0←

jj1+←

thres≤wh i le

инициализация счетчика

возв рат значения

t v 1.98,()8=

Вели чина 1,98 впервые прев осходится

восьмым элемент ом в ект ора.

Иногда необходимо досрочно завершить цикл, т.е. не по условию в его

заголовке, а в некоторой строке тела цикла. Например, для предыдущей

программы существует вероятность зацикливания. Если каждый элемент

вектора меньше, чем заданное число, то условие никогда не станет ложным и

поиск выйдет за пределы вектора, что приведет к сообщению об ошибке

«индекс вне границ». Чтобы этого не случилось, предназначен оператор

break.

Пример 7. Поиск первого элемента вектора, превосходящего заданное

значение, с использованием оператора break.

Глава 1. MathCAD

Например, как только значение переменной цикла i достигнет 2, цикл,

благодаря оператору break в последней строке программного модуля,

прерывается. Соответственно, значение переменной Х остается равным

х=0+1+2=3.

Пример 8.

xz0←

zzi+←

break()i2

i05..∈for

x3=

xz1←

zz1+←

break()z5>if

z10<wh i le

x6=

Чтобы четче обозначить границы завершения тела цикла, в его конце

может использоваться дополнительная строка с оператором continue.

xz1←

zz1+←

continue

z10<wh i le

x10=

xz0←

zzi+←

continue

i05..∈for

x15=

Рекурсия является одним из методов программирования и заключается

в определении функции через саму себя. Рекурсивное определение функции

должно состоять, по меньшей мере, из двух частей:

Глава 1. MathCAD

• начального определения, предотвращающего бесконечную

рекурсию,

• определения функции в терминах предыдущего значения

функции.

Основная идея подобна идее математической индукции: если можно

получить значение f(n+1) из f(n) и известно f(0), то известна и вся функция f.

Пример 9. Нахождение факториала.

fn() 1 n 1if

nfn 1−()⋅()otherwi

f3() 6=

f5() 120=

Но рекурсивные определения функции, несмотря на их краткость и

элегантность, не всегда являются самыми эффективными в вычислительном

отношении. Часто определения, использующие операторы цикла, вычисляют

нужные значения быстрее.

Возврат значения (return)

Можно прервать выполнение программы в любой ее точке (например с

помощью условного оператора) и выдать некоторое значение, применив

оператор return. В этом случае при выполнении указанного условия значение,

выведенное в местозаполнитель после return, возвращается в качестве

результата, а никакой другой код больше не выводится.

Пример 10.