Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование при помощи ЭВМ данных

в реконструктивной томографии

Построению алгоритмов восстановления изображений объектов по ре-

ально измеренным проекциям предшествовали теоретические разработки

алгоритмов реконструирования математических моделей объектов (так на-

зываемых фантомов) по проекционным данным, полученным путем моде-

лирования на ЭВМ. Это позволяло моделировать на ЭВМ отдельно раз-

личные явления, которые нельзя разделить в реальных условиях. Например,

данные, получаемые при измерении рентгеновского излучения, всегда содер-

жат шумы, обусловленные статистической природой процессов излучения

и рассеянием фотонов, в то время как при моделировании можно оценить

отдельно вклад в шумы, обусловленный каждым из этих факторов.

Как видно из предыдущей главы, программа, пригодная для адекватно-

го моделирования процесса получения данных с использованием различных

видов сканирования, оказывается довольно сложной. Однако за последние

годы ряд таких программ был разработан. Многие иллюстрации данной

книги были получены повторным использованием одной из них. Эта про-

грамма является частью системы SNARK77. (Название взято из книги

Льюиса Кэрролла «Охота на Снарка».) Система программ SNARK77 имеет

однородную структуру и позволяет построить алгоритм реконструкции и

оценить его качество. Все алгоритмы реконструирования, которые рас-

смотрены в данной книге, и ряд других входят в указанную систему про-

грамм. В этой главе будет показано, каким образом система SNARK77 соз-

дает экспериментальные данные, используемые в последующем в алгорит-

мах реконструкции.

4.1.

ИЗОБРАЖЕНИЯ И ИХ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

(МАТРИЦЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ)

Теперь полезно уточнить ряд понятий, которые потребуются в данной

главе, а также в других главах книги.

Когда мы говорим об изображении, то предполагаем, что оно имеет

две характеристики:

а) кадр изображения в виде квадрата с центром в начале системы коор-

динат;

б) функцию изображения как функцию двух переменных, равную нулю

за пределами кадра.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ЭВМ

Иногда, если это не приводит к путанице, функцию «б» называют изо-

бражением. Однако тождественные функции могут давать различные изо-

бражения, если кадры изображений различны. Значение функции изображе-

ния в точке (дг, у) часто называют плотностью в этой точке (дг, у).

Сетка из п элементов делит кадр изображения на л

равных квадрати-

ков,

каждый из которых называют элементом изображения (элизом).

Дискретизированное изображение, или матрица изображения п х л,

представляет собой изображение, значение которого постоянно внутри эли-

за л-элементной сетки.

Матрица изображения размером п х п есть п х л-дискретизированное

изображение, такое, что интеграл от исходной функции изображения по

любому элизу, образованному сеткой из л-элементов, равен интегралу от

дискретизации по тому же элизу (рис. 1.1).

В реконструктивной томографии кадр изображения равен области ре-

конструкции, а плотность изображения в любой произвольной точке (дг, у)

равна относительному линейному ослаблению рентгеновского излучения

определенной энергии в ткани в данной точке (дг, у).

4.2.

ПОЛУЧЕНИЕ ФАНТОМА

Опишем теперь, каким образом в системе программ SNARK77 получа-

ют тест-фантом, т.е. изображение, на котором мы проводим испытания

алгоритмов реконструкции или методов съема экспериментальных данных.

Фантом состоит из нескольких элементарных объектов, которые поме-

щают в определенные места кадра и которые имеют соответствующие

ориентацию, размеры и плотность. Плотность элементарных объектов

может быть и отрицательной. Плотность изображения в определенной

точке равна сумме плотностей всех элементарных объектов, которые на-

кладываются на данную рассматриваемую точку.

Чтобы оценить плотность внутри элиза, пользователь задает число К,

равное усредненному значению плотности внутри данного элиза, причем

усреднения по данному элизу ведут по формуле

к 1 j 1

где J — число элементарных объектов в данном фантоме; dj — плoтнocYь

7-го элементарного объекта; Ь

к у

= 1, если к-я из К х К точек в элизе име-

ется в 7-м элементарном объекте, и Ь

= 0 в противном случае. Следует

отметить, что дискретизованное изображение, которое получается таким

способом, представляет собой всего лишь аппроксимацию дискретизован-

ного фантома.

Элементарными объектами в системе SNARK77 являются эллипсы, пря-

моугольники, равнобедренные треугольники, сегменты и секторы круга.

Рис. 4.1. Элементарные объекты.

В системе программ SNARK77 в качестве элементарных объектов используют прямоугольник

(в);

эллипс (б); треугольник BDAB, сегмент BCDEB или сектор круга BCDAB, причем границу

объекта считают его частью (в).

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ЭВМ

Местонахождение элементарного объекта описывается пятью переменны-

ми:

СХ, CY, (У, К и углом а. На рис. 4.1 эти переменные расшифровыва-

ются для каждого из указанных типов элементарных объектов. При этом

считают, что границы объектов являются частью самого объекта.

Отметим, что часто на практике вводят «эффективную» энергию поли-

хроматического рентгеновского излучения (разд. 16.6). В таких случаях

обычно сравнивают реконструированное изображение, полученное по поли-

хроматическим проекциям, с фантомом при монохроматическом излучении

с энергией, равной эффективной энергии рентгеновского излучения.

4.3.

ФАНТОМ ГОЛОВЫ

В настоящее время наиболее важное применение метода реконструкции

изображения по проекциям лежит в области диагностической радиологии.

Наиболее широко и успешно эти методы используют для проведения иссле-

дования области головы пациента. По этой причине все основные положе-

ния и методы, с которыми знакомит читателя данная книга, проиллюстри-

рованы на примере стандартного изображения поперечного сечения головы

человека, которое содержит опухоли, тромбы, «желудочки» мозга и, разу-

меется, черепную коробку.

Цель данной книги — ознакомить читателя с методами реконструкции

изображения по проециям и проиллюстрировать применения этих методов

в ряде случаев. Чтобы достаточно точно контролировать условия в каж-

дом случае и сравнивать результаты реконструирования с известным ори-

гиналом, минуя получения реальных изображений сечений головы, вводят

математически заданный фантом головы. Ниже в этом разделе приведены

Рис. 4.2. Центральная часть изображения, полученного методом реконструктивной

томографии сечения головы человека.

Это изображение используется далее в качестве стандартного фантома головы.

72 ГЛАВА 4

жидкость

Серое

и белое

вещество

люьга

Хронигеская

гематома

Рис. 4.3. Контуры разных частей стандартного фантома головы с указанием типа

ткани.

причины, почему мы пришли к данному фантому головы, который неодно-

кратно будем использовать в данной книге.

Чтобы уловить общие закономерности в форме и размерах, рассмотрим

изображение сечения головы, которое было получено с помощью рекон-

структивной томографии (рис. 4.2). Исходя из изображения этого сечения,

мы смоделировали черепную коробку с желудочками мозга, двумя опухоля-

ми и гематомой (сгустком крови) при помощи пяти эллипсов, восьми сег-

ментов и двух треугольников. На этом снимке опухоли расположены свер-

ху над сгустком крови. Это облегчит нам описание результатов, как будет

видно ниже. Расположение эллипсов, сегментов и треугольников показано

на рис. 4.3.

Мы предполагаем, что эталонным материалом является воздух, линей-

ный коэффициент ослабления которого можно считать равным 0 для рент-

геновского излучения любой энергии. Поэтому плотность фантома в точке

(х, у) равна линейному коэффициенту ослабления рентгеновского излучения

в ткани, находящейся в данной точке (х, у)

при некотором фиксированном

значении энергии излучения. В табл. 4.1 приведены значения коэффициен-

тов ослабления рентгеновского излучения при разных энергиях в некоторых

тканях, которые учитываются в данном фантоме головы.

В табл. 4.2 приведено точное математическое описание расположения и

плотности элементарных объектов, указанных на рис. 4.3, для энергии

рентгеновского излучения, равной 60 кэВ.

Для получения плотности в каждом из 115 х 115 элизов размером

0,1504 см была использована система программ SNARK77 с К = 7. Полу-

ченный массив чисел представлен на рис. 4.4, а изображение будет подроб-

но рассмотрено ниже.

Плотности, приписанные элементарным объектам, были такими, что

результирующие значения равны линейным коэффициентам ослабления

(см

) рентгеновского излучения при энергии, равной 60 кэВ, для соот-

ость

Менингома

Метастаз

карциномы

груди

Таблица 4.1

Линейные коэффициенты ослабления (см ~

) рентгеновского излучения

в зависимости от энергии для тканей, которые имитируются

в данном фантоме головы

Энергия,

Кости Мозг

Метастаз

Менингома Хрони- Спинно-

кэВ черепа (серое

карциномы

ческая

мозговая

и белое

груди

гематома жидкость

вещество)

0,999

0,265

0,288 0,269 0,266

0,260

0,595 0,226

0,241

0,227

0,228

0.222

60 0,416

0,210

0,220

0,213

0,212

0,207

0,265

0,183

0,190

0,187

0,184

0,181

100

0,208

0,174

0,179 0,176

0,175

0.171

Таблица

4.2

Характеристики элементарных объектов, использованных

при получении изображения на рис. 4.4

№ Тип СХ

и V

Угол а,

град

Плотность

Эллипс

0.000

0,00

8,625

6,4687

90,00 0,416

*»

0,000

0.00

7,875

5,7187

90,00 -0,206

0,000

1,50

0,375

0,3000 90,00 -0,003

»•

0,675

-0,75

0,225

0,1500 140,00 0,010

••

0.750

1,50

0,375

0,2250 50,00

0,003

Сегмент

1,375 -7,50

1,100

0,6250

19,20

-0,204

»»

1,375 -7,50

1,100 4,3200 19,21

0,204

»*

0,000

-2,25

1,125

0,3750 0,00 -0,003

0,000

-2,25

1,125

3,0000 0,00

0,003

-1,000 3,75

1,000 0,5000 135,00 -0,003

>»

-1.000 3,75

1,000 3,0000 135,00

0,003

»»

1,000

3,75

1,000 0,5000 225,00

-0,003

1,000

3,75

1,000

3,0000

225,00

0,003

14 Треугольник

5,025

3,75

1,125

0,5000

110,75

0,206

-5,025

3,75

1,125 0,9000 -110,75

0,206

Виды ткани: кость в воздухе (1), мозговое вещество в кости (2), спинномозговая жидкость в

мозге (3, 8, 10, 12), карцинома в мозге (4), менингома в мозге (5), гематома в костной области

(6),

костная ткань в области гематомы (7), мозг в области спинномозговой жидкости (9, 11, 13),

костная ткань в области мозга (14, 15).

74 ГЛАВА 4

Рис.

4.4.

Стандартный фантом головы.

ветствующего вида ткани. Диапазон значений простирается

от 0

(фон,

ка-

честве которого может быть воздух)

до 0,416

(кости черепа). Однако

та

часть снимка, которая представляет наибольший интерес, находится внут-

ри черепной коробки. Соответствующие значения линейного коэффициента

поглощения рентгеновского излучения заключены

диапазоне 0,207 (спин*

номозговая жидкость) — 0,220 (метастаз карциномы). Небольшие различия

между тканями внутри черепной коробки

на

снимке

не

будут заметны, если

использовать черный цвет для нулевого значения, белый

для

значения

0,5 и

различные промежуточные градации между этими значениями. Чтобы луч-

ше видеть характерные особенности тканей, находящихся внутри черепной

коробки, интенсивность

(черный цвет) соответствовала значению 0,1945

(и менее),

интенсивность 255 (белый цвет)

—

значению

0,22 (и

более).

Из-

менение значения

на 0,001

соответствует изменению интенсивности

на 10

единиц,

что

заметно

на

глаз. Данный прием

был

использован

при

получе-

нии

рис. 4.4 и

всех реконструкций фантома головы, которые взяты

в ка-

честве иллюстраций

книге.

(В тех

случаях, когда диапазон имеет другие

значения, сведения

о нем

приводятся

тексте.)

4.4.

ПОЛУЧЕНИЕ ЛУЧЕВЫХ СУММ

Моделирование фазы сбора данных

системе программ SNARK77 осно-

вано

на

выражении (2.3):

р= -\п(А

/С

\ (4.2)

Прежде всего рассмотрим вопрос

о том,

как вычисляют калибровочные

измерения

которые определяются выражением

- С

С„ (4-3)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ЭВМ

где С

— число фотонов, сосчитанных определенным детектором, а

— число фотонов, сосчитанных за тот же интервал времени эталонным

детектором. Как было показано в разд. 3.1, обе величины С

и С

являют-

ся выборками случайной величины, распределенной по закону Пуассона. В

системе SNARK77 предполагают, что С

и С

являются выборками одной и

той же случайной переменной величины (со средним, задаваемым пользо-

вателем), и поэтому усредненное значение С

близко к единице. Фактиче-

ски,

если пользователь системы программ намерен промоделировать ре-

ально неосуществимый случай, когда нет погрешности, обусловленной ста-

тистикой фотонов, то значение С берется точно равным 1. В других слу-

чаях для нахождения величин С

и С

используют генератор случайных чи-

сел.

Трудно понять тот факт, что, за исключением пятой схемы сканирова-

ния (рис. 3.3,d), вычислять С отдельно для каждой пары

источник — детектор не требуется. Это связано со способом калибровки,

принятым в различных схемах сканирования (разд. 3.4). В первых двух схе-

мах сканирования (рис. 3.3,А

б) С одинаково при всех положениях пары

источник — детектор, которые используются для получения данных в од-

ном массиве параллельных пучков. Аналогично в четвертой схеме сканиро-

вания (рис. 3.3,г) С

одно и то же для лучей, которые расходятся от одно-

го и того же детектора по мере движения источника.. Иная ситуация возни-

кает в третьей схеме сканирования: С одно и то же для всех лучей, кото-

рые соединяют источник и определенный детектор по мере передвижения

аппаратуры. Все эти лучи касательны к некоторой окружности, и это мо-

жет служить причиной появления на реконструкции артефактов в виде

кольцеобразных полосок, которые возникают, если при калибровке допу-

щены ошибки.

Теперь вернемся к вопросу о том, каким образом вычисляют результа-

ты рабочих измерений А . При этом величина А задается выражением

/А

(4.4)

где А

— число фотонов, сосчитанных рассматриваемым детектором, а

— число фотонов, сосчитанных эталонным детектором. Также считают,

что А

является выборкой случайной переменной, распределенной по за-

кону Пуассона со средним, определяемым пользователем и равным для

определенности, например, X.

Подсчет А

наиболее сложен, так как в системе программ SNARK77

учитывают полихроматичность, форму рентгеновского пучка и эффекты

рассеяния.

Чтобы пояснить это, вернемся к описанию метода получения фантома

(разд.

4.2). Фантом состоит из большого числа элементарных объектов с

определенной плотностью. Так как такой фантом представляет распределе-

ние линейных коэффициентов ослабления рентгеновского излучения при

определенном значении энергии, то требуется только одно значение плот-

ности для каждого элемента. Если же необходимо представить относитель-

ГЛАВА 4

ное линейное ослабление при различных энергиях, то используют несколь-

ко значений плотности для одного и того же элементарного объекта фан-

тома. Для описания взаимодействия полихроматического пучка рентгенов-

ского излучения с фантомом необходимо задать плотности, соответствую-

щие всем энергиям излучения.

В системе программ SNARK77 эту проблему решают следующим обра-

зом.

Предполагают, что спектр рентгеновского излучения является дис-

кретным, т.е. фотоны имеют одно из ограниченного набора значений раз-

личных энергий. Для каждого значения энергии указывают относительное

число фотонов, обладающих данной энергией (основываясь на спектре, ко-

торый получают при проведении калибровки; см. разд. 3.2) и плотностью

при этой энергии всех элементарных объектов. (В общем случае необходи-

мо также указывать и поглощающие способности эталонного материала

при каждом из рассматриваемых значений энергии. Но поскольку в рас-

сматриваемом нами примере в качестве эталонного материала используют

воздух, то подробно останавливаться на этом вопросе не будем.)

Так как плотность (в нашем случае относительное линейное ослабление

рентгеновского излучения при определенном значении энергии) в данной

точке есть сумма плотностей всех элементарных объектов, внутри которых

данная точка находится, то соответствующий интеграл плотности по пря-

мой L равен сумме по всем элементарным объектам произведений из дли-

ны пересечения L с данным элементарным объектом на плотность в этом

элементарном объекте. Допустим теперь, что мы имеем источник, точеч-

ный детектор и прямую L, их соединяющую, и что рассеяние фотонов от-

сутствует. Тогда выражения (3.10), (4.2) и (4.4) приводят к формуле

А> * Я J"

ехр - J" faAz) - Ю dz de. (4.5)

где учтено предположение, что ожидаемые величины С и А

равны соот-

ветственно 1 и X. В системе программ SNARK77 выражение, стоящее в

правой части данного уравнения, определяется следующим образом.

Пусть / — число дискретных энергетических уровней и J — число эле-

ментарных объектов. Пусть d

— плотность у-го элементарного объекта

при энергии /, £

•

— длина пересечения прямой L

у-м элементарным объек-

том (tj может равняться 0) и t

— вероятность того, что фотон, сосчитан-

ный при калибровочных измерениях, имеет энергию / (эти вероятности за-

даются). Тогда А

рассматривают как выборку случайной переменной, рас-

пределенной по закону Пуассона со средним

Если пользователь моделирует неосуществимый на практике случай, когда

отсутствуют статистические флюктуации при счете фотонов, то в этом

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ЭВМ

случае наборы А

в системе программ SNARK77 соответствуют значению,

которое дает выражение (4.6).

При моделировании формы пучка рентгеновского излучения в системе

программ SNARK77 значение А

равно взвешенному среднему значению ве-

личин (4.6) для ряда различных прямых от данного источника к детектору.

При моделировании рассеяния рентгеновского излучения в этой системе

величину А

для определенного положения какого-то детектора заменяют

на взвешенное среднее значение величин А

для данного положения детек-

тора и соседних положений. Предполагают, что вклад в рассеяние в пока-

зания детектора, находящегося в каком-либо положении, и в показания де-

тектора в другом положении зависит только от расстояния между этими

положениями детектора. Математически это означает, что значения А

учетом рассеяния равно свертке значений А

без учета рассеяния с некото-

рой функцией рассеяния. (Понятие свертки, которое является весьма су-

щественным для некоторых алгоритмов реконструкции, объясняется в

разд.

8.1.) Подобная модель процесса рассеяния является крайним упроще-

нием того, что происходит на самом деле; моделирование рассеяния в си-

стеме программ SNARK77 напоминает реальный процесс рассеяния только

в самых общих чертах.

В следующей главе даны примеры того, каким образом в системе про-

грамм SNARK77 происходит моделирование только что описанных процес-

сов и влияния этих процессов на качество реконструкции.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Более подробно система программ SNARK77 описана в работе [79].

Коэффициенты линейного ослабления для ткани различных видов (кроме кост-

ной ткани) при разных значениях энергии рентгеновского излучения были рассчита-

ны по данным, опубликованным в

[129].

Величины для костной ткани были рассчи-

таны в предположении, что она представляет собой смесь кальция и жиров. Фанто-

мы головы, которые меньше соответствуют действительности, чем фантом, рас-

смотренный в разд. 4.2, были предложены в работах [78, 142].