Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

ПРЕДИСЛОВИЕ

главе, и обычно указаны только непосредственные источники, на которых

базируется изложение материала данной главы. Иногда там приведены

ссылки на первые и последние работы по данному вопросу и, как правило,

опущены все промежуточные ссылки. Список литературы, помещенный в

конце книги, также не преследует цель в какой-то степени охватить всю ли-

тературу по обсуждаемому вопросу.

Автор начал свою деятельность в области реконструкции изображений

по проекциям свыше десяти лет назад. Количество работ по данной теме в

научных журналах разного профиля того времени можно было пересчитать

по пальцам, причем во многих случаях авторы этих работ не знали о су-

ществовании работ других групп по той же теме. Еще три года назад, ког-

да работа над этой книгой .только начиналась, казалось возможным напи-

сать исчерпывающий обзор по данной теме на 400 страницах. Исследова-

ния развивались быстрее, чем работа над книгой, и поэтому она приходит

к читателю только в виде вводного курса в область знания, которая воз-

никла на стыке различных отраслей науки, техники и медицины и которая,

безусловно, является самой быстро развивающейся в истории науки.

ПРОГРАММА ВВОДНОГО ДВУХСЕМЕСТРОВОГО КУРСА

«РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ПРОЕКЦИЯМ»

I. Получение данных

Способы получения экспериментальных данных в разных областях науки и меди-

цины, например в электронной микроскопии, радиоастрономии, ядерной медицине, с

акцентом на получение данных о прохождении рентгеновского излучения. Интер-

претация результатов этих измерений как оценок интегралов вдоль линий или вдоль

полосок. Природа шума в таких измерениях: фотонный шум, рассеяние, изменение

спектрального состава рентгеновского излучения при его прохождении через веще-

ство и т.п. Обработка результатов измерения с целью уменьшения шума, фитирова-

ние (обработка) результатов измерений, интерполяция, сглаживание данных.

II.

Алгоритмы реконструкции

Прямое и обратное преобразования Радона, регуляризация сингулярного интегра-

ла в обратном преобразовании Радона, численная оценка регуляриэованных интегра-

лов.

Преобразования Фурье, проекционная теорема, свертка, отсчеты, дискретное

преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье. Сверточные алгоритмы ре-

конструирования, Фурье-алгоритм с интерполяцией в частотном пространстве, влия-

ние интерполяции и фильтрации в этих алгоритмах.

Базисные функции, разложение изображений в ряды по векторам конечной раз-

мерности. Проблема реконструкции как задача оптимизации в пространстве векто-

ров с конечной размерностью, функции, используемые для оптимизации. Нормы,

обобщенные обратные операторы, решения по методу наименьших квадратов, реше-

ния по максимуму энтропии, наиболее вероятные оценки. Алгоритм Ричардсона и

его варианты в реконструкции изображений. Итерационные алгоритмы с релакса-

цией.

Сравнительная оценка различных алгоритмов реконструкции, точность в «идеаль-

ных» условиях, шум усиления, затраты на вычисления на ЭВМ и общие вопросы

применимости.

III.

Вычислительная техника

Проектирование и техническое обслуживание больших программирующих систем

(SNARK) и банк данных для реконструкции изображений. Использование систем

SNARK для построения, реализации и вычисления реконструкционных алгоритмов.

Представление и анализ результатов реконструкции: сопоставление двумерного

представления с трехмерным, цветного с черно-белым, динамического со статиче-

ским.

Интерполяция при отображении. Выявление границ и поверхностей, представ-

ление трехмерных поверхностей.

IV. Применения

Реконструктивная томография, рентгеновские сканеры, поэитронные сканеры,

метод лунных покрытий, структура симметричных вирусов, динамический анализ,

исследование функций сердца, легких и т.п.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор данной книги был руководителем группы по обработке изображений на

факультете вычислительной техники Университета шт. Нью-Йорк в Буффало со вре-

мени ее основания в 1976 г. Постоянное взаимодействие с высококвалифицированны-

ми специалистами, входящими в состав данной группы, оказало весьма существен-

ное влияние (при написании и переработке) на текст книги. Совместно написанные

статьи, ссылки на которые приведены в списке литературы, помещенном в конце

книги, дают представление о личном вкладе некоторых сотрудников нашей группы в

тот или иной раздел. Каждый из работавших прежде и работающих в настоящее

время в группе причастен к выходу ее в свет: М. Д. Альтшулер, И. Арци,

Б.

С. Дейн, А. Коган, П. А. Контио, Дж. Косто, Ю. Куо, А. В. Лакшминараянан,

Х.-Р.

Ланг, С. Лейбович, А. Лент, А. Луис, X. К. Лью, Р. М. Льюитт, М. Р. Мак-

кэй,

У. А. Пэддок, П, С. У. Роуланд, Р. Г. Симмонс, Р. Слоцум, X. Туи,

Дж. И. Тэрнер, мл., Дж. К. Удупа, Г. Фридер, У. Фэлк, Ю. Ценсор, Т Чанг,

П. П. Б. Эггермонт, М.-М. Юау, Г. Ювел, С. Юссуфф. Особую признательность за

основную часть многочисленных иллюстраций хочу выразить Рэдду Симмонсу (ко-

торый обеспечил выполнение иллюстративного материала с ЭВМ) и Барба-

ре С. Дейн (которая взяла на себя ответственность за выполнение рисунков, фото-

графий, а также за перепечатку текста). Другие коллеги по Университету шт. Нью-

Йорк в Буффало (как с факультета вычислительной техники, так и с других факуль-

тетов) оказывали автору большую помощь с 1969 г., когда д-р Ричард Гордон (ныне

член Центра по теоретической биологии в Буффало) пригласил автора работать в

область реконструирования изображений по проекциям.

Большое влияние при написании книги оказало сотрудничество автора со специ-

алистами из Отделения по биодинамическим исследованиям клиники Майо (Роче-

стер,

шт. Миннесота). Сотрудничество с этой группой, начатое в 1972 г. (и в особен-

ности во время девятимесячного визита автора в 1975 — 1976 гг.), способствовало

выполнению'автором собственных исследований.

Сотрудничество автора с исследовательскими группами других медицинских уч-

реждений, университетов и промышленных предприятий также дало свой эффект.

Наиболее значительным среди таких совместных действий была серия исследова-

тельских проектов, которую автор выполнял вместе со специалистами General

Electric Company.

Исследовательская работа автора при написании данной книги поддерживалась

следующими субсидиями и контрактами: NIH субсидии HL 4664, HL 18968 и RR-7;

NCI контракты СВ 53860 и СВ 84235; NSF субсидия MCS 7522347

Введение

В данной главе рассмотрим некоторые из многочисленных областей

науки, в которых можно использовать методы, описываемые в книге, а так-

же познакомим читателей с рядом понятий статистической теории, кото-

рые являются необходимыми для понимания большей части излагаемого

материала.

1.1. РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ПРОЕКЦИЯМ

Проблема восстановления изображений по их проекциям неоднократно

возникала за последние 25 лет в различных отраслях науки, техники и ме-

дицины. Диапазон применения необычайно широк и простирается от проб-

лемы получения изображений молекулярных структур бактериофагов по

данным электронной микроскопии до восстановления структур газовых ту-

манностей в рентгеновском излучении по экспериментальным данным, со-

бираемым исследовательскими ракетами за пределами земной атмосферы.

Эти,

казалось, совершенно различные применения, подобно многим дру-

гим,

о которых здесь следовало бы упомянуть, имеют одинаковые матема-

тические и вычислительные основы. Цель данной книги состоит в рассмотре-

нии этих основ.

Из всех этих применений, очевидно, наибольший эффект во всем мире

получила медицинская диагностика: реконструктивная томография (РТ)

вызвала революцию в радиологии. Изображения поперечных сечений чело-

веческого тела в настоящее время получают по данным об ослаблении

рентгеновского излучения вдоль большого числа направлений, лежащих в

плоскости данного сечения. В большинстве разделов данной книги РТ ис-

пользуют в качестве исходной схемы для объяснения постаовки проблем и

ее решения. Поэтому в данном разделе о РТ будет сказано очень мало. Ос-

новное внимание уделено обзору многочисленных случаев использования

реконструкции изображения по проекциям в других областях- науки и тех-

ники.

Чтобы изложить идеи, лежащие в основе этого метода, рассмотрим

упрощенную искусственную задачу. Решение этой задачи пока не имеет

какого-либо практического значения, хотя она очень похожа на задачу,

встречающуюся в астрофизике (и излагаемую ниже): она объединяет в себе

основную структуру всех других применений методов восстановления изо-

бражений по проекциям.

ГЛАВА 1

Пусть кадр в форме прямоугольника содержит внутри себя некоторые

источники света. Простейшим примером является экран телевизора с нахо-

дящимся на нем неподвижным изображением. Пусть имеется «детектор»,

при помощи которого можно измерять суммарную интенсивность света от

этого изображения. Этот детектор, конечно, не позволяет определить

структурные детали картины. Один из путей получить информацию о де-

талях картины — сделать «коллиматор», вырезав небольшое квадратное

отверстие в непрозрачном экране, и поместить этот коллиматор перед кар-

тиной. Тогда детектор измерит свет, исходящий только от небольшой об-

ласти картины, находящейся за отверстием коллиматора. Передвигая дан-

ное отверстие дискретно по всей плоскости картины и каждый раз измеряя

интенсивность, можно построить изображение этой картины. Такое изо-

бражение будет составлено из небольшого числа областей квадратной фор-

мы,

яркость которых пропорциональна средней интенсивности в соот-

ветствующей области на исходной картине. Коллиматор перемещают та-

ким образом, что небольшие квадратные области примыкают друг к другу

и покрывают всю картину. В таком случае результирующее изображение,

называемое ниже картиной дискретизации или матрицей изображения, схо-

же с исходной картиной, если коллиматор достаточно мал. Это показано

на рис. 1.1.

Допустим теперь, что такое квадратное отверстие в непрозрачном экра-

не вырезать невозможно. Может показаться, что и получить изображение

картины невозможно. Однако на помощь нам приходит метод реконструк-

ции изображения по проекциям. На этой простой задаче проиллюстрируем

процессы «получения проекционных данных» и «реконструкцию» изобра-

жения.

Процесс получения проекций в этом случае состоит в передвижении не-

прозрачного экрана по картине на малые дискретные интервалы в задан-

ном направлении. После каждого передвижения измеряется полная интен-

сивность света, идущего в детектор ото всей незакрытой поверхности кар-

тины. Если из величины измеренной полной интенсивности в какой-то мо-

Рис. 1.1. Три разные дискретизации (ма!рицы изображения) одной и той же

картины.

а — матрица изображения размером 243 х 243; б — матрица изображения размером 81 х 81;

в — матрица изображения размером 27 х 27.

ВВЕДЕНИЕ

Край непрозрачного жрана

е момент времени t

Рис. 1.2. Процесс получения проекции.

Линейный интеграл яркости вдоль центральной линии полосы (показанной на рисунке полуосве-

щенной) оценивается как отношение полной яркости этой полосы к ее ширине.

мент вычесть величину полной интенсивности в предыдущем измерении, то

получим полную интенсивность света для каждой из взаимно параллель-

ных и примыкающих друг к другу узких полос с известной координатой

(рис. 1.2). Теперь повторим процесс передвижения непрозрачного экрана в

каком-либо другом направлении. Таким путем получим полную интенсив-

ность света для множества параллельных, примыкающих друг к другу уз-

ких полос с известными координатами. Оценим линейный интеграл яр-

кости изображения вдоль центральных линий этих полос как отношение

полной яркости к ширине полосы. Выполняя эту процедуру многократно,

например 90 раз, меняя каждый раз направление движения непрозрачного

экрана на 2°, получим серию из достаточно большого числа таких измере-

ний.

Каждую такую серию оценок линейных интегралов называют проек-

цией (по причине, которая станет ясной ниже), а совокупность всех оценок

линейных интегралов дальше называют проекционными данными.

Изображение картины получают в процессе реконструкции по ее проек-

ционным данным. О том, как это делают, сказано в данной книге ниже.

На рис. 1.3 приведена для сравнения матрица изображения размером

81 х 81 и матрица реконструкции размером 81 х 81, полученная по 90

ГЛАВА 1

Рис. 1.3. Сравнение матрицы исходного изображения размером 81 х 81 (а) и матри-

цы изображения размером 81 х 81, реконструированной по 90 проекциям со 121 от-

счетом в каждой проекции (б).

проекциям и по 121 оценке линейного интеграла в каждой из этих проек-

ций.

Этот пример иллюстрирует упрощенное определение, приведенное ни-

же.

Хотя выражение «реконструкция изображения по проекциям» охваты-

вает не все ситуации (например, в гл. 14 обсуждается трехмерная рекон-

струкция), оно вполне достаточно для изложения нашего подхода к восста-

новлению изображений на всем протяжении книги.

Реконструкция изображений по проекциям есть процесс получения изо-

бражения двумерного распределения (как правило, некоторой физической

величины) по оценкам его линейных интегралов вдоль конечного числа ли-

ний с известным положением.

Рассмотрим применения метода в реальной жизни. Порядок, которому

мы следуем, определяется размерами объектов, изображение которых

необходимо восстановить; читателя предупреждают, что нижеследующее

никоем образом не может рассматриваться как исчерпывающий обзор всех

возможных применений метода восстановления изображений по проекциям.

В действительности наша простая искусственная задача имеет близкий

аналог в астрофизике. Существующие приборы для измерения распределе-

ния яркости источников радиоизлучения в небе имеют настолько низкую

разрешающую способность, что не могут удовлетворить ученых той ин-

формацией, которую эти ученые ищут. Однако, когда луна движется по

той части небосвода, которая представляет для нас интерес, ее действие

аналогично действию непрозрачного экрана в рассмотренном выше приме-

ре.

Направление движения луны по небосводу меняется день ото дня, пред-

ставляя нам ряд проекций, которые в астрофизике называют профилями

линий, полученных при наблюдении лунного покрытия. По этим наблюде-

ниям можно восстановить двумерное распределение источников радиоизлу-

чения.

Рассмотрим более подробно еще одно применение в астрофизике. Пусть

нас интересует восстановление рентгеновской структуры астрономического

ВВЕДЕНИЕ

Рис. 1.4. Вид с трех сторон аппаратуры, установленной на ракете при проведении

измерений проекций остатка сверхновой в созвездии Парусов.

(Фотография предоставлена д-ром Г. П. Гармиром.)

объекта в виде остатка сверхновой. Один из путей сделать это — запус-

тить ракету за пределы атмосферы и при помощи нее получить проекции

яркости небесной сферы в рентгеновском диапазоне. На рис. 1.4 представ-

лены приборы, которые были использованы при проведении по-

добных измерений остатка сверхновой в созвездии Парусов. На рис. 1.5 по-

казаны траектории ракеты на небесном своде. Во время полета ракеты с ее

помошью получают данные одновременно по двум проекциям. Для оценки

линейных интегралов яркости в рентгеновском излучении в каждой точке,

указанной на рис. 1.5, собирают данные по двум направлениям, которые

составляют угол 45° с отрезком траектории ракеты и пересекаются с этим

отрезком траектории в указанной точке. Поэтому пять участков траекто-

рии ракеты дают сведения о десяти проекциях. Восстановленная по проек-

ГЛАВА 1

1»Г

4**50,3

К^П

299,3/

4г

'пгь

к-

к""-

4V4--h

Ы АГ- ц

"4*Z

ггьа-чч-ч-

-.—-*v>

215,5

40*40

Рис. 1.5. Участок неба, содержащий остаток сверхновой в созвездии Парусов, с на-

ложенной на него сеткой из 13S ячеек.

Цель измерения — восстановить интенсивность рентгеновского излучения в каждой ячейке. Дан-

ные получают с помощью ракеты, запущенной за пределы атмосферы. На разных участках тра-

ектории полета, указанных на рисунке, одновременно получают две проекции яркости поверхно-

сти в рентгеновском излучении. (Воспроизводится из работы [1221

разрешения авторов.)

циям карта яркости в рентгеновском диапазоне, приведенная на рис. 1.6,

наложена на фотографию остатков сверхновой в созвездии Парусов, полу-

ченную в ультрафиолетовом диапазоне.

Было найдено, что восстановление изображений по проекциям пред-

ставляет интерес для специалистов по физике Солнца. Корона Солнца яв-

ляется трехмерным объектом. Имеется аппаратура для измерения инте-

гральной плотности электронов вдоль прямой Солнце — Земля. Используя

подобную аппаратуру, можно получить двумерное изображение, в котором

ВВЕДЕНИЕ

^irr:-

»\\w

4V. . Щ

VTH-W

Л\

Рис. 1.6. Реконструированная по проекциям карта в рентгеновском излучении нало-

жена на фотографию неба с остатком сверхновой в созвездии Парусов, снятую в

ультрафиолетовом диапазоне.

Каждая полоска в ячейке соответствует 0,5 стандартного превышения над фоном. (Воспроизво-

дится нэ работы [122] с разрешения авторов.)

яркость каждой точки примерно пропорциональна полной плотности элек-

тронов вдоль одной из многих (для всех практических целей) параллельных

линий. Такое изображение является двумерной проекцией трехмерного рас-

пределения плотности электронов. Предыдущие примеры были существен-

но иными. Там измерялись одномерные проекции двумерных распределе-

ний.

Так как Солнце вращается вокруг своей оси, то мы получаем проекции

по различным направлениям, и по этим проекциям можно получить трех-