Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА

сосчитанных фотонов, доходящих

от

источника

до

детектора

опыте, ког-

да между ними

не

находится исследуемый объект, деленное

на

количество

фотонов, сосчитанных эталонным детектором) равен

Пусть

— результат рабочего измерения

(т.е.

количество фотонов, которые

доходят

от

источника

до

детектора

опыте, когда между ними находится

исследуемый объект, деленное

на

количество фотонов, сосчитанных эта-

лонным детектором). Определим монохроматическую лучевую сумму

для этого пучка рентгеновского излучения:

т=

-HAjCJ, (2-2)

и назовем множество

т для

всех положений пары источник — детектор

монохроматическими проекционными данными. Основываясь

на

физиче-

ских

математических фактах, которые были рассмотрены выше, можно

утверждать, что относительное линейное ослабление

слое при определен-

ной энергии рентгеновского излучения

можно точно оценить по монохро-

матическим проекционным данным.

В реальных условиях пучок рентгеновского излучения полихроматичен.

Пусть

и А —

результаты калибровочного

рабочего измерений соот-

ветственно

для

определенного положения пары источник — детектор

при

полихроматическом пучке рентгеновского излучения. Определим полихро-

матическую лучевую сумму

для

данного пучка рентгеновского излучения

следующим образом:

р=

-\п(А

/С

и назовем набор всех возможных

р для

всех возможных положений пары

источник — детектор полихроматичными проекционными данными.

Нашу проблему можно сформулировать

так. Для

любого положения

пары источник — детектор можно измерить полихроматическую лучевую

сумму р,

для процесса реконструкции требуется монохроматическая луче-

вая сумма

т.

Естественно встает вопрос: определяет ли величина

величи-

ну

ml К

сожалению,

за

исключением частных случаев, не имеющих практи-

ческого интереса, ответ

на

этот вопрос отрицательный.

Более прагматичным является вопрос: можно

ли по

данному значению

р достаточно хорошо аппроксимировать

т,

так, чтобы получить необходи-

мые для диагностики числа Хаунсфилда? По-видимому, ответ на этот во-

прос должен быть утвердительным, как

это

иллюстрирует материал, при-

веденный ниже.

2.6. АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ

Теперь рассмотрим кратко основную тему этой книги

—

метод получе-

ния чисел Хаунсфилда

по

монохроматическим проекционным данным.

На

практике этот метод применяют, используя скорректированные полихро-

ПРИНЦИП РЕКОНСТРУкГИВНОЙ ТОМОГРАФИИ

матические проекционные данные вместо, как правило, отсутствующих мо-

нохроматических проекционных данных.

Предполагая использовать этот метод для ЭВМ, следует выработать

точные инструкции того, как получить из монохроматических проекцион-

ных данных числа Хаунсфилда. Свод точно сформулированных инструк-

ций,

которые задают шаг за шагом, как по определенным входным дан-

ным прийти к желанным выходным, называется алгоритмом. Инструк-

ции,

которые доктор предписывает имеющемуся в его распоряжении млад-

шему персоналу о выполнении анализов и их последовательности и кото-

рые основаны на предварительно проведенных анализах, образуют алго-

ритм.

Инструкции, даваемые Internal Revenue Service, о том, как надо запо-

лнять налоговые декларации, также должны иметь вид алгоритма.

По существу, одну и ту же процедуру необходимо описывать по-

разному в зависимости от того, кому она предназначена. Очень подробная

программа требуется для ЭВМ, чтобы она выполнила те вычисления, ко-

торые выполняет математик, если ему дадут несколько формул.

Чтобы построить алгоритм получения чисел Хаунсфилда по монохро-

матическим проекционным данным, сначала заменим эту задачу на мате-

матически идеализированную. Это в некоторой степени соответствует

классическому приближению, которое обычно делают при вычислении ор-

биты Земли, а именно считают, что вся масса Земли сосредоточена в од-

ной точке (в ее центре). Хотя такое предположение явно неверно, до сих

пор оно приводило к правильным результатам, и в этом состоит веское ос-

нование для его использования: оно делает теорию и вычисления легко

контролируемыми. Вряд ли мы смогли бы вычислить орбиту Земли, если

бы должны были знать положение каждой мухи перед выполнением таких

вычислений.

При построении теории алгоритма реконструкции надо сделать следую-

щие упрощающие предположения: 1) слои являются бесконечно тонкими;

2) для любого определенного положения пары источник — детектор все

фотоны рентгеновского излучения идут по одной и той же прямой линии,

которая лежит внутри бесконечного тонкого слоя. Следствием первого

приближения является то, что исчезает разница между злобами и элизами.

В самом деле, слой бесконечно тонок, и его можно рассматривать как пло-

скую картину, градации которой в любой точке (л\ у) пропорциональны

относительному коэффициенту линейного ослабления /х-(дг, у) в этой точке.

Вот почему теорию, лежащую в основе подобных алгоритмов реконструк-

ции,

часто называют реконструкцией изображения по проекциям.

Пусть L — прямая линия, вдоль которой идут фотоны, т.е. это траек-

тория всех фотонов рентгеновского излучения для определенного положе-

ния пары источник — детектор. Пусть т — множество соответствующих

монохроматических лучевых сумм. При использовании определения коэф-

фициента ослабления в разд. 16.2 доказывается, что

'"^ /Ц.х, .v)«fc.

(24)

ГЛАВА 2

Здесь = означает «приближенно равно», a z — расстояние от точки (х, у)

на прямой L (рис. 2.8).

Так как ц$(х, у) = 0 для точек (х, у) вне области реконструкции, то ин-

тегрирование формулы (2.4) идет вдоль прямой L. Задача состоит в том,

чтобы вычислить величины д-(дг, у) по оценкам их интегралов вдоль мно-

жества прямых, т.е. по монохроматическим проекционным данным.

В обшем виде эта задача была решена Радоном [131] в 1917 г. Пусть

( — удаление прямой L от начала координат, В — угол, который составля-

ет с осью х перпендикуляр, опушенный из начала координат на прямую L

(рис. 2.8), a m(t,0) — интеграл от /х-(дг, у) по линии L. Радон показал, что

(разд.

16.3)

1 г

2п

А*Дх, У) = -

^—2

lim

cos 0 + у sin 0 + </, 0) d()

i^o J, 4 Jo yo

(2.5)

где /nj(f,0) обозначает частную производную от т(1,в) nof. Хотя все де-

тали этой формулы для не специалиста в области математики, вероятно,

не ясны, ее суть должна быть следующей: распределение относительного

линейного ослабления в бесконечно тонком слое однозначно определяется

множеством всех линейных интегралов.

Это не означает, то все проблемы реконструкции изображений по про-

екциям были решены еще в 1917 г. Существует много практических трудно-

стей в использовании для РТ этого математического решения идеализиро-

ванной задачи:

Формула Радона определяет изображение по всем его линейным ин-

тегралам. Даже если те являлись точными проекциями по множеству пря-

калибролшые]

измерены*

I 1

\ Работе 7

измерения

Вычисление

лоло-

хроматигеских

про-

\екционных данных

Поправка на

из-

менение

спектра

Алгоритм

реконструкции

. J

\числа7

Хаинс-

фЗлда

Рис. 2.9. Схема математических и вычислительных операций, используемых в рекон-

структивной томографии.

(Воспроизводится из работы [в5] с разрешения автора. Авторское право Institute of Physics )

ПРИНЦИП РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ

мых, конечное число этих интегралов достаточно для однозначного и точ-

ного определения изображения. Опираясь только на конечное множество

данных, легко восстановить объект, получив, однако, очень неточные ре-

конструкции (разд. 16.4).

Измерения, проводимые в реконструктивной томографии, можно ис-

пользовать только для оценки линейных интегралов. В 1аких оценках при-

сутствуют погрешности, связанные с шириной пучка рентгеновского излу-

чения, рассеянием, изменением энергетического спектра излучения по мере

прохождения через объект, статистикой фотонов, просчетами детектора и

т.п.

Обратная формула Радона весьма чувствительна к подобным погреш-

ностям.

Радон вывел математическую формулу, а нам же нужен эффектив-

ный алгоритм счета, который не всегда просто получить.

За последнее время было проведено много исследований по построению

алгоритмов, которые были бы достаточно быстрыми при реализации на

ЭВМ и которые давали бы хорошие изображения, несмотря на конечность

и неточность экспериментальных данных. Большая часть этой книги посвя-

щается данной проблеме.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Математические и вычислительные процедуры, лежащие в основе РТ и рассмот-

ренные в этой главе, даны на рис. 2.9. Большая часть материала основана на рабо-

тах [64, 65]. Обзор традиционной томографии дан по работе [51]. Имеется более по-

здняя работа

[149],

в которой даны ссылки на другие работы. Более подробное рас-

смотрение сущности алгоритмов можно найти, например, в сборнике

[133].

Преоб-

разование Радона было введено самим Радоном [131] в 1917 г.; он же вывел обрат-

ную формулу, на которой основано выражение (2.5).

Физические проблемы, связанные с получением

данных в реконструктивной томографии

Главной темой данной книги является рассмотрение алгоритмов, с по-

мощью которых проводятся вычисления /*?(•*» у) по оценкам линейных ин-

тегралов вдоль некоторого конечного числа прямых распределения относи-

тельного линейного ослабления рентгеновского излучения при фиксирован-

ной энергии ё. Для получения оценок этих линейных интегралов выполняют

измерения по схеме РТ. В данной главе мы обсудим характер физических

ограничений и вопросы, которые возникают при оценке таких линейных

интегралов по результатам калибровочных и рабочих измерений. За исклю-

чением проблем, связанных со статистической природой фотонов рентге-

новского излучения и изменением спектрального состава рентгеновского из-

лучения при его прохождении через вещество, наше рассмотрение будет

ограничено кратким суммированием других проблем и некоторыми указа-

ниями, каким образом их действие можно уменьшить. Кроме того, мы

рассмотрим различные конфигурации сканеров, используемых в рекон-

структивной томографии. В гл. 5 будут приведены иллюстрации воздейст-

вия на качество реконструированных изображений, которые оказывают

ошибки разного происхождения на стадии сбора данных.

3.1.

СТАТИСТИКА ФОТОНОВ

Принципиальные ограничения точности измерений, которые проводятся

в РТ, определяются статистической природой процессов излучения фото-

нов рентгеновского излучения, взаимодействия их с веществом и детекти-

рования. Обсудим последовательно каждый из этих процессов.

Рассмотрим эксперимент, в котором регистрируют все фотоны, кото-

рые испускает стабильный источник рентгеновского излучения в направле-

нии детектора за единицу времени. Подобный эксперимент приводит нас к

дискретной случайной переменной, которая была обозначена Y (разд. 1.2).

Возможные исходы такого эксперимента представляют собой неотрица-

тельные целые числа, равные числу фотонов. Без каких-либо физических

доказательств примем, что существует определенное вещественное число X,

такое, что

/\(v) = exp(-AU7>>!.

(ЗЛ)

Символ ехр означает экспоненциальную функцию; и ноэтому

ю.

16 20 25 30 35 40

25 30 35 40

Рис. 3.1. Распределение Пуассона.

—

для

= 5; б

—

для Л = 25.

ГЛАВА J

ехр[1п(дг)] = ln{exp(x)] = x. На рис. 3.1 приведены графики P

(y) для

у = 0 45 при X = 5 и

= 25.

Выражение (3.1) называют законом распределения вероятности Пуассо-

на, а случайную переменную У, которая удовлетворяет этому закону, назы-

вают случайной переменной Пуассона с параметром л. Отметим здесь три

важных свойства такой случайной переменной:

а) ее среднее значение (математическое ожидание) равно X;

б) ее стандартное отклонение равно Х

>/г

;

в) при значениях X > 100 случайная переменная дает нормальное рас-

пределение.

Эти свойства имеют важное практическое значение. Пусть, например,

нас интересует оценка среднего числа фотонов X, испущенных за единицу

времени стабильным источником рентгеновского излучения в направлении

детектора. Если имеется система счета всех фотонов, достигающих детек-

тора, то можно оценить X, сосчитав количество фотонов за определенный

отрезок времени, т.е. получив выборку случайной величины. Если

X = 10 000, то тогда имеется приблизительно один шанс из 20, что ошибка

равна двум стандартным отклонениям (200) или больше. Другой способ со-

стоит в том, что мы считаем число фотонов за 100 таких единиц времени и

делим полученное количество на 100, чтобы получить оценку X. Общее чис-

ло фотонов за этот более длительный период времени равно в среднем для

нашего примера 1 000 000, и в 19 случаях из 20 полученные значения сосчи-

танных фотонов в одной какой-либо выборке, будут находиться в пределах

998 000 — 1 002 000. Поэтому в 19 случаях из 20 оценка л будет находиться

в пределах 9980 — 10 020, т.е. погрешность равна 20 или меньше. Увеличив

время измерения фотонов в 100 раз, мы уменьшаем величину вероятной по-

грешности в наших оценках в 10 раз. Подобное же явление наблюдаем в

других случаях всегда, когда рассматриваем вопрос о том, каким образом

точность калибровочных и рабочих измерений зависит от общего числа за-

регистрированных фотонов.

Теперь рассмотрим вопросы, связанные со статистической природой

взаимодействия фотонов рентгеновского излучения с веществом. Пусть фо-

тоны вылетают из источника в направлении детектора по прямой L (рис.

2.8). Тогда имеется определенная вероятность р того, что какой-то опреде-

ленный фотон долетит до детектора и не будет ни рассеян, ни поглощен.

Эта вероятность зависит от энергии данного фотона и характеристик ве-

щества, находящегося между источником и детектором, которое пересека-

ет фотон по прямой L. Назовем величину р пропусканием данного вещест-

ва вдоль прямой L рентгеновского излучения с определенной энергией. Ес-

ли все остается без изменений в пространстве между источником и детек-

тором в течение определенного периода времени и в течение этого периода

10 000 фотонов одной и той же энергии вылетают в направлении детектора

по прямой L, то число фотонов, достигающих детектора, приблизительно

равно 10 000р. Остальные фотоны либо рассеятся, либо поглотятся.

Какой-то фотон, достигший детектора, не обязательно будет им заре-

гистрирован. Для каждого определенного фотона имеется определенная ве-

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 55

роятность а того, что этот фотон, достигнув детектор, будет сосчитан по-

следним. Назовем эту величину а эффективностью детектора для фотонов

рентгеновского излучения с данной энергией. Обобщая случай, рассмотрен-

ный выше, мы находим, что число фотонов из 10 000 вылетевших из ис-

точника в указанном направлении, которые не поглотятся, не рассеятся и

будут сосчитаны детектором, равно примерно 10 000ра.

Следующее весьма важное утверждение доказывается в разд. 16.5.

Пусть X — среднее число фотонов с энергией ё, которые испускает за еди-

ницу времени стабильный источник рентгеновского излучения по прямой L

в направлении детектора. В этом случае р — пропускание вдоль прямой L

для данного вещества рентгеновского излучения с энергией ё, а

а — эффективность детектора для рентгеновского излучения с данной энер-

гией ё. Тогда количество фотонов, которые имеют энергию ё, достигают

детектора без поглощения или рассеяния и регистрируются детектором за

единицу времени, представляет собой отсчет случайной переменной Пуас-

сона с параметром Хра.

Теперь* мы можем обсудить вопрос о том, что же измеряют на стадии

сбора данных в РТ, как об этом написано в разд. 2.3. Для этого предполо-

жим,

что используемое рентгеновское излучение монохроматично и можно

пренебречь собственными размерами источника и детектора рентгеновско-

го излучения. Из последнего предположения следует, что все фотоны про-

ходят от источника до детектора по одной и той же прямой и что, если

какой-то фотон испытывает на этом пути рассеяние, он не попадает в де-

тектор. В следующих разделах мы обсудим ошибки, которые вносятся

вследствие того, что такие условия не выполняются на практике.

Пусть монохроматический пучок рентгеновского излучения с энергией ё

обладает тем свойством, что доля фотонов, которые испускаются в на-

правлении эталонного детектора, равна ф

а доля фотонов, которые испу-

скаются в направлении рабочего детектора, равна ф

(рис. 2.8). Допустим,

что средние значения числа фотонов, испускаемых за время калибровки и

рабочих измерений, равны \

и \

соответственно. Пусть р

равно коэффи-

циенту пропускания материала для фотонов с энергией ё, когда материал

находится между источником и эталонным детектором, а р

— коэффициентам пропускания для той же энергии рентгеновского излу-

чения вещества, которое находится между источником и рабочим детекто-

ром (рис. 2.8) при калибровке и в рабочих измерениях соответственно.

Пусть а

и a

— значения эффективностей эталонного и рабочего детекто-

ров соответственно для рентгеновского излучения с энергией ё. Из только

что приведенных рассуждений следует, что число фотонов, сосчитанных

эталонным и рабочим детекторами во время проведения калибровочных

измерений, является отсчетом случайной переменной Пуассона со средними

значениями ф

и Ф^Х^а^ соответственно. Отсюда

Аналогично число фотонов, сосчитанных эталонным и рабочим детектора-

ГЛАВА 3

ми за время проведения рабочих измерений, является отсчетом случайной

переменной Пуассона со средними значениями ф

(

соот-

ветственно. Отсюда имеем

К ^ «Ma/'^dAMa/W

Комбинируя (3.2) и (3.3) с (2.2), получаем

т ^ -\n(f)Jp

). (3.4)

В разд. 16.2 покажем, что

-1п'

,д

= f >ф,у)1к. (3.5)

Рс Jo

Именно поэтому монохроматическую лучевую сумму т можно использо-

вать как оценку интеграла f м^С*» >№ в алгоритме вычисления ^{к, у) в

отдельных точках по значениям линейных интегралов от ц

(х, у) (разд.

2.6).

Важным является следующий вопрос: насколько точно величина т оце-

нивает

— In

(р

/р

)1 В разд. 16.5 показано, что в предположениях, сделан-

ных выше, т является выборкой случайной переменной величины Л/, та-

кой,

что

1/<м +

HpJf>J\

< S, (3.6)

^ S, (3.7)

где

s =

(ФЛРс^У

' + (ФГКРТ°ТУ

+ (ФЛР^У

+ (ФЛРГО*) '. (3.8)

Если эту величину 5 можно сделать очень малой, то тем самым т дает

точную оценку -In

(р

/р

Отметим, что один из способов сделать величину S малой заключается

в том, чтобы число фотонов, вылетающих из источника (Х

и Х

), было

большим. Если исключить проблему перегрузок детекторов, то нет ограни-

чений сделать \

достаточно большим и тем самым сделать пренебрежимо

малыми два первых члена в выражении для 5. В этом случае видно, что ве-

личина 5 обратно пропорциональна величине \

. К сожалению, число-фо-

тонов, покидающих источник во время проведения рабочих измерений,

нельзя сделать произвольно большим, так как это приводит к недопустимо

большой дозе облучения пациента и может замедлить процесс снятия про-

екций; поэтому погрешности, связанные с перемещениями, станут весьма

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 57

существенными (см. ниже). Однако отметим, что если пропускание р

ве-

щества, находящегося между источником и эталонным детектором, будет

относительно большим (около 1), то последний член в выражении (3.8) ста-

новится пренебрежимо малым. Это приводит к выражению

S^ \1ФлКР*°* (3.9)

которое, в частности, показывает, что погрешность в оценке —In (р

/р

) за-

висит от пропускания р

во время проведения рабочих измерений, а именно

уменьшение пропускания ведет к увеличению погрешностей.

Как видно из сказанного выше, погрешности измерения, обусловленные

статистической природой процессов излучения фотонов рентгеновского из-

лучения, их взаимодействия с веществом и их детектирования, являются

неизбежными. Особенность этих погрешностей связана со случайным ха-

рактером переменных. Как будет показано ниже, в некоторых алгоритмах

реконструкции делают попытки использовать данные особенности. Так как

эти погрешности влияют на конечные результаты, получаемые в процессе

реконструкции, то важно знать как природу этих погрешностей, так и ме-

ханизм влияния погрешностей на результаты, к которым приводит данный

алгоритм реконструкции.

3.2.

ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Пучок рентгеновского излучения, который используется для РТ, состо-

ит из фотонов различных энергий. Такое излучение называют полихрома-

тичным. Так как ослабление в определенной точке пространства обычно

больше у фотонов с меньшей энергией, спектр распределения энергии пучка

рентгеновского излучения изменяется и становится более жестким по мере

прохождения через объект. Пучки рентгеновского излучения, приходящие в

определенную точку внутри тела по разным направлениям, имеют, очевид-

но,

разный энергетический спектр излучения, так как они проходят через

различные ткани, прежде чем попадут в эту точку, и поэтому будут по-

разному ослаблены в данной точке. Этот факт создает трудность, когда

используют только одну величину для описания коэффициента ослабления

рентгеновского излучения в данной точке тела.

Возможный выход из положения состоит в том, чтобы приписать дан-

ной точке коэффициент ослабления фотонов для определенной энергии. Ес-

ли бы использовался пучок излучения, состоящего из фотонов только од-

ной энергии, т.е. излучение было монохроматическим, то пучки, приходя-

щие из разных направлений, были бы ослаблены в данной точке в одинако-

вой степени. Реконструкция по таким коэффициентам ослабления представ-

ляет собой достаточно хорошо определенную задачу реконструктивной то-

мографии.

В данном разделе обсудим математические соотношения, которые опи-