Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 3

сывают основные ак кггва полихроматических лучевых сумм, а также ме-

тоды,

используемые для оценивания соответствующих монохроматических

лучевых сумм.

В частности, в разд. 16.6 утверждается, что полихроматическая лучевая

сумма р аппроксимируется интегралом вида

р - -In Г х

ехр - Г (цЛг) - Ю dz de. (3.10)

Приведем теперь более подробное объяснение использованных обозна-

чений в выражении (3.10).

Пусть источник испускает полихроматический пучок рентгеновского из-

лучения с энергией фотонов в пределах 0 — £. Обозначим через

вероят-

ность того, что какой-то фотон, зарегистрированный во время проведения

калибровочных измерений, имеет энергию е. Здесь мы используем отчасти

нестандартное обозначение, используя

для обозначения функции энергии

при значении е. Эту функцию назовем детектируемым спектром в кали-

бровочных измерениях.

Символы D HZ имеют тот же смысл, что и в гл. 2 (рис. 2.8). Величина

(z)

является функцией двух переменных — энергии и расстояния г, — и

ее значения равны линейному коэффициенту ослабления излучения с энерги-

ей б в точке z на прямой L при проведении рабочих измерений. С другой

стороны, величина ц° является функцией только одной

переменной — энергии е, — и ее значение равно линейному ослаблению

эталонного материала а при энергии е. Таким образом, выражение

\ h*

(z)

—

tig]dz является интегралом относительно линейного ослабления

при энергии е вдоль прямой L.

Отметим, в частности, что полихроматическая лучевая сумма зависит

только от относительных линейных ослаблений при всех значениях знергии

в пределах 0 — £ и от регистрируемого спектра излучения при калибровоч-

ных измерениях.

Тогда выражение (2.4) в этих обозначениях имеет вид

in ^ f (fj^z) - fji) dz. (3.11)

Напомним теперь, что числа Хаунсфилда кратны относительным ли-

нейным ослаблениям при определенной энергии е\ их получают по оценкам

монохроматических проекционных данных, которые сами вычисляются из

полихроматических проекционных данных, получаемых экспериментально.

Способ оценки монохроматических проекционных данных из полихромати-

ческих описан в остальной части этого раздела.

Начнем с теоретического рассмотрения одного частного случая. Пусть в

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 59

течение рабочих измерений в области реконструкции имеется только два

вида вещества а и b

причем а — эталонный материал. Рассмотрим какое-

то определенное положение пары источник — детектор и предположим,

что полная длина прямой L, которая проходит через материал

равна В

Из выражений (3.10) и (3.11) имеем

Р - In Г т,ехр[- BUt - ,С)\ de (3.12)

т -

B(JIJ

- ,,«).

(3.13)

Комбинируя выражения (3.12) и (3.13), получим

р ±

— In

ехр

Важным свойством выражения (3.14) является следующее: для всех значе-

ний энергии в пределах 0 — Е выполняется неравенство /i* > р° либо

м£ < м^»

ИЧСМ

правая часть выражения (3.14) является монотонно возрас-

тающей функцией от 0 — Е, а

положительно для всех значений е. Отсю-

да следует, что для любого данного значения р имеется только одно значе-

ние ш, при котором правая часть выражения (3.14) равна его левой части.

На практике при корректировке по спектру используют табулированное

значение левой части формулы (3.14) и находят то значение /я, для которо-

го правая часть совпадает с экспериментально измеренной полихроматичес-

кой лучевой суммой р.

Выражение (3.14) получено при весьма существенных ограничениях, ког-

да имелись только два вида материала в области реконструкции. В тех слу-

чаях, когда проводится исследование области головы пациента, окружен-

ной водяной баней, это предположение до некоторой степени оправданно.

Голова состоит из костной ткани и из веществ, которые по своим свойст-

вам ослабления рентгеновского излучения не слишком отличаются от

свойств водяной бани. Поэтому в данном случае выражение (3.14) можно

использовать для введения поправки на изменение спектра рентгеновского

излучения, однако в общем случае оно хуже подходит для данных целей,

чем другие способы, которые будут рассмотрены ниже.

Несмотря на то что метод, основанный на выражении (3.14), не являет-

ся достаточно точным и надежным из-за существенных ограничений, лежа-

щих в его основе, общий подход, который используют здесь, является до-

статочно привлекательным, так как позволяет задать такую фукцию/(/?)

полихроматической лучевой суммы р, что если ее использовать для оценки

монохроматической лучевой суммы /л, то получим достаточно хорошие ре-

конструкции относительных линейных ослаблений при фиксированном зна-

чении энергии е.

Естественными кандидатами для такой функции являются полиномы,

л-л 1.

\- Ъ и

(3.14)

ГЛАВА 3

т.е. функции вида

Др) = а

+ а

п х

• -

■

+ а

хР

+ а

, (3-15)

где п — порядок полинома — фиксированное целое число, а а

в,, . . .,

п - 1»

п — фиксированные коэффициенты, которые требуется определить

так, чтобы /(/?) давала приемлемую для наших целей оценку т. С точки

зрения вычислений аппроксимация с помощью полиномов имеет два досто-

инства по сравнению, например, с аппроксимацией системой экспонент.

Коэффициенты полинома достаточно легко вычислить, и, как только они

получены, легко оценить также/(р) (см. (3.15)). При этом обычно доста-

точно использовать небольшое число л, например л < 5 (разд. 5.4).

В некоторых случаях не существует единственной функции/(р), такой,

чтобы замена т на/(р) в выражении (2.5) приводила к приемлемому вос-

становлению. В таких случаях приходится либо использовать несколько

корректирующих функций, заданных для определенных положений пар ис-

точник — детектор, либо коррекции проводить итерационно, беря в качест-

ве скорректированной функции данной итерации ту, которая соответствует

восстановленным данным предыдущей итерации (разд. 5.4).

3.3.

ДРУГИЕ ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Когда строят алгоритм реконструкции на базе выражения (2.5), то не-

обходимо знать величины /я(/, в) или линейный интеграл м*(*» >) вдоль L

(рис. 2.8) для определенных / и 0, т.е. для определенных прямых L. Стати-

стика фотонов и изменение энергетического спектра рентгеновского излуче-

ния при прохождении через вещество являются причинами того, что физи-

ческие измерения дают нам возможность только приближенно оценить зна-

чения т(1, в). В этом разделе кратко обсуждаются источники других по-

грешностей.

Одна из погрешностей связана с тем, что источник (фокальное пятно)

рентгеновского излучения и детектор излучения имеют конечные размеры.

Поэтому не все фотоны, которые регистрируются детектором, идут по од-

ной и той же прямой от источника до детектора и фактически проходят по

прямым, образующим пучок довольно сложной формы.

Так как фокальное пятно источника излучения н детектор имеют конеч-

ные размеры и этими размерами нельзя пренебречь, то возникает так на-

зываемый эффект частично заполненного объема, который поясним, рас-

смотрев упрощенный двумерный случай. Пусть имеется точечный источник

монохроматического рентгеновского излучения Р и детектор D в виде отре-

зка линии (рис. 3.2), и пусть линейный коэффициент ослабления (разд. 2.4)

равен нулю во всей области, кроме части области А

которая заштрихова-

на на рис. 3.2, где он равен 2. Примем, что длина заключенного между ad

и be отрезка любой из прямых, идущих от Р к D, равна 1. Допустим, кро-

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 61

Рис. 3.2. Иллюстрация, поясняющая эффект частично заполненного объема.

ме того, что эталонный материал имеет линейный коэффициент ослабле-

ния,

равный нулю (вакуум), и что число фотонов, регистрируемых эталон-

ным детектором за время как калибровочного, так и рабочего измерения,

равно 1000. Следовательно, число фотонов, вылетающих из источника в

направлении детектора за время проведения калибровки, и соответствую-

щее число фотонов за время проведения рабочего измерения приблизитель-

но равны. Пусть это число составляет 1000000. Таким образом, в резуль-

тате калибровочного измерения получим С

= 1000. Если разбить пучок

рентгеновского излучения на две равные половины, как показано на рис.

3.2,

то, очевидно, в каждую из половин А войдут примерно по 500000 фо-

тонов. Из левой части, где линейный коэффициент ослабления равен 0 и,

следовательно, пропускание равно 1, все 500000 фотонов дойдут до детек-

тора. Из правой же части, где линейный коэффициент ослабления равен 2

н, следовательно, пропускание составит е~

= 0,135, число фотонов, кото-

рые дойдут до детектора, будет равно примерно 68000. Следовательно,

общее число зарегистрированных фотонов составит около 568000, и в ре-

зультате рабочих измерений получим А

- 568. Используя выражение

(2.2),

имеем т =* 0,566. Это служит оценкой [выражение (2.4)] среднего

значения линейного интеграла относительного линейного ослабления меж-

ду источником и точками на детекторе. Однако легко видеть, что истинная

величина этого среднего значения равна 1,0. Причина достаточно большой

ГЛАВА 3

погрешности (43,49b) в оценке среднего значения в том, что лишь часть

пучка рентгеновского излучения проходит через ослабляющую среду, а по-

следующая математическая обработка результатов измерения, процедуры

вычисления экспонент и логарифмов приводит к непропорционально боль-

шому весу измерений, обусловленных той частью пучка, которая проходит

через пустую область.

В принципе можно уменьшить размеры источника и детектора, экрани-

руя их фильтрами из свинца, и оставить очень узкие отверстия непосредст-

венно перед ними, но это приводит к двум нежелательным последствиям.

Во-первых, погрешность, связанная со статистикой, будет существенно уве-

личена, так как доля фотонов

<$>

в выражении (3.9) очень мала. Во-вторых,

нежелательный факт будет иметь место в тех случаях, когда методом то-

мографии необходимо получить информацию о небольших по размерам де-

талях при исследовании больших по размерам органов, например опухолей

в легких. Если слои очень тонкие, то для уверенности, что мы не пропу-

стим то, ради чего ведем исследования, требуется большое число слоев.

Это увеличивает машинное время обработки и, вероятно, загруженность

специалиста по радиологии, который должен изучать томограммы каждо-

го из этих слоев.

Здесь упомянуто лишь одно явление, которое типично для РТ. Спосо-

бы,

которые используют для подавления погрешностей, определяемых

только физическими явлениями, приводят к увеличению погрешностей, свя-

занных с другими явлениями.

Еше одним примером является способ подавления артефактов, обус-

ловленных движением.

Важным предположением, лежащим в основе РТ, является то, что вели-

чины т(1

6), которые требуется измерить, представляют собой интегралы

вдоль различных прямых одной и той же функции

(*>

У)- Однако это

предположение нарушается, если различные прямые L проходят через дви-

жущиеся органы, например сердце или легкие, и если рабочие измерения

проводят в различные моменты времени для разных L. Поэтому функция

M*(*i У) претерпевает изменения по мере движения органов. Один из мето-

дов борьбы с этим заключается в использовании нескольких детекторов и,

если можно, даже нескольких источников (разд. 3.4) так, чтобы все измере-

ния провести за такой малый промежуток времени, в течение которого ор-

ган сместится незначительно. Однако это приводит к увеличению погреш-

ности, связанной с детектированием рассеянных фотонов, — явления, кото-

рое мы сейчас рассмотрим.

Отметим, что в разд. 3.1 было сделано предположение, что определен-

ный детектор регистрирует только те фотоны, которые покидают источ-

ник в направлении этого детектора и достигают его, не участвуя в процес-

сах поглощения или рассеяния. Если рассматривается только одна пара

источник — детектор, то такое предположение верно, так как рассеянный

фотон может прийти в данный детектор только в том случае, если он был

рассеян на очень малый yio.i относительно своею первоначального направ-

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 63

ления или если он был многократно рассеян таким образом, что в конце

концов попал в данный детектор. Последние случаи маловероятны, поэто-

му погрешность, связанная с рассеянием в случае одной-единственной пары

источник — детектор, крайне мала. Однако, когда имеется несколько де-

текторов, фотон, первоначально шедший в направлении определенного де-

тектора, может сравнительно легко рассеяться так, что попадает в другой

детектор и будет сосчитан последним. Так как отношение рассеянных фо-

тонов к нерассеянным, которые попадают в данный детектор, зависит от

типа объекта, изображение которого реконструируется достаточно слож-

ным образом, погрешность, вносимую рассеянием, нельзя полностью уст-

ранить из измерений до стадии реконструкции. Коллиматор, который по-

глощает фотоны, идущие в детектор с направлений, отличных от направ-

ления на источник, может уменьшить число рассеянных фотонов, зарегист-

рированных данным детектором.

Наконец, рассмотрим погрешности, которые возникает из-за аппарату-

ры,

используемой при регистрации экспериментальных данных для РТ.

Важно, чтобы источник и детектор не изменяли своих характеристик во

время проведения калибровочных и рабочих измерений. Например, в выво-

дах разд. 3.1 мы предполагали, что эффективность o

не изменяется во вре-

мя проведения калибровочных и рабочих измерений. Изменение эффектив-

ности детектора приведет к тому, что выражение (3.4) станет неверным.

Эффективность детектора предполагается не зависящей от количества

фотонов, которые требуется сосчитать данным детектором. Однако на

практике этого часто бывает трудно достигнуть, так как детектор может

выйти в состояние насыщения, если на него поступает слишком много фо-

тонов. Один из способов борьбы с таким явлением заключается в исполь-

зовании компенсатора (рис. 2.8), благодаря которому полное ослабление

оказывается большим, и насыщение детектора исчезает для фотонов, кото-

рые либо проходят мимо объекта, либо его слегка касаются. Иначе этого

можно достигнуть, если в качестве эталонной среды взять воду, окружая

ею объект исследований во время проведения рабочих измерений. Первый

метод предпочтителен, потому что он требует меньшую дозу облучения

для набора одинаковой статистики фотонов, так как фотоны поглощаются

водой, которая находится между телом пациента и детектором.

Важной также является механическая стабильность; направления, по ко-

торым проводятся измерения, должны быть теми же самыми прямыми,

принятыми в алгоритме реконструкции как направления сбора эксперимен-

тальных данных.

Имеются также и другие источники возможных ошибок при снятии из-

мерений, однако их рассмотрение выходит за рамки данной книги.

3.4.

СХЕМЫ СКАНИРОВАНИЯ

На рис. 3.3 представлены пять основных схем сканирования, которые в

настоящее время используют для измерений в РТ. Хотя существуют раз-

lJABA3

Рис. 3.3. Схемы сканирования, используемые в реконструктивной томографии.

а — один источник и один детектор, совершающие поступательно-вращательные движения (ка-

рандашный пучок, «дифференциальный» сканер); б — один источник и несколько детекторов, со-

вершающие поступательно-вращательные движения (веерный пучок, «дифференциальный» ска-

нер);

в — один источник и несколько детекторов, совершающие лишь вращательные движения

(см.

также рис. 1.10) (веерный пучок, «вращающийся» сканер); г — один врашаюшийся источник.

неподвижное кольцо детекторов (веерный пучок, «врашаюшийся» сканер); д — несколько источ-

ников. несколько детекторов на плоскости (конусный пучок, «барабанный» сканер отпичаются

от карандашного и веерного пучков); * — электронный сигнал на один ракурсный угол.

а б в г д

Время сканирования для одного

ракурса, с 1 I -0,001 >0.25 < 0,0004

Полное время сканирования, с -200 18 5 ^1 0.01

(Иллюстрации представлены д-рами И. Л. Ритманом и И. X. Вулом. воспроизведено из рабо-

ты [1571 с разрешения автора.)

ные варианты этих схем сканирования, мы ограничимся рассмотрением

только этих основных пяти схем. Обсудим достоинства и недостатки каж-

дой из них с точки зрения устойчивости к погрешностям, которые были

рассмотрены в предыдущем разделе.

В первой схеме сканирования (рис. З.З.а), содержащей один-

единственный источник рентгеновского излучения и один-единственный де-

тектор излучения, используют два вида движения. В первом источник и де-

тектор движутся параллельно друг другу и перпендикулярно прямой, сое-

диняющей источник и детектор. За это время проекционные данные снима-

ют для одного множества параллельных лучей. Во втором аппаратуру по-

ворачивают на небольшой угол — обычно на 1

. Повторяя эти два движе-

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 65

ния,

собирают данные для большого числа (обычно 180) параллельных лу-

чей.

Эти схемы имеют целый ряд привлекательных особенностей.

Очень мал шум рассеяния, и калибровку детектора можно проводить в

начале каждого из параллельных сканирований. Есть уверенность в том,

что первый луч не пересекает область реконструкции. Систему из источни-

ка и детектора можно перемещать с малым шагом и иметь уверенность в

том,

что будет получено достаточно информации для реконструкции. О по-

следнем аспекте будет дополнительно сказано в последующих главах. Не-

желательной чертой такой схемы является то, что затрачиваемое время,

как правило, составляет несколько минут, т.е. достаточно велико. Поэтому

эту схему нецелесообразно использовать для получения томограмм орга-

нов,

которые не могут оставаться в стационарном состоянии больше не-

скольких секунд, например легкого.

Вторая схема сканирования (рис. 3.3,6) была разработана для ускорения

процесса сбора информации, сохраняя при этом основные положительные

факторы первой схемы сканирования. Вместо одного здесь используют

большое число детекторов — обычно 30. Во время параллельного переме-

щения источника и массива детекторов сбор данных ведут для нескольких

систем параллельных лучей. Угол одного поворота аппаратуры, как прави-

ло,

равен 10°, т.е. значительно больше, чем при первой схеме, однако пол-

ное число параллельных лучей обычно увеличивается. Разработанные ска-

неры такого вида позволяют снять все измерения за время немного больше

10 с, т.е. за время, которое соответствует времени задержки дыхания у

большинства пациентов. Опуская вопрос о высокой цене таких сканеров,

единственным недостатком этой схемы сканирования по сравнению с пер-

вой является повышенный эффект рассеяния.

В третьей схеме сканирования (рис. 3.3,в) используют только один тип

движения. Один-единственный источник рентгеновского излучения и доста-

точно большое число детекторов располагают так, что угол, стягиваемый

детекторами относительно источника рентгеновского излучения, захваты-

вает всю область реконструкции. Система источник — детекторы вращает-

ся вокруг пациента. Данные снимаются для большого числа положений —

обычно 500 — с примерно таким же числом лучей в наборе; в каждом по-

ложении лучи расходятся от источника ко всем детекторам. Данные для

одного положения снимаются одновременно, а процедура получения всех

данных занимает, как правило, не более 5 с. В такой схеме имеется лишь

одна проблема: калибровочные измерения должны проводиться перед тем,

как пациент будет помещен в устройство для проведения всего цикла ска-

нирования, так как прямая между источником и детекторами в центре про-

ходит через пациента при любом положении аппаратуры. Использование

детекторов с большой стабильностью, по-видимому, позволит решить эту

проблему. Детекторы должны быть довольно узкими, чтобы число проек-

ционных данных было достаточным для получения качественной томо-

граммы.

Еще более быстрая схема сбора данных, содержащая только одно дви-

жение, использует четвертый вид сканирования (рис. 3.3,^). Детекторы раз-

ГЛАВА 3

мешены жестко на окружности, внутри которой находится единственный

источник, способный перемешаться по окружности меньшего радиуса. При

движении источника прямая, идущая от каждого детектора к источнику,

образует пучок расходящихся лучей. Калибровку определенного детектора

для данного пучка лучей проводят в момент времени, когда прямая от ис-

точника к детектору не пересекает области реконструкции. По сравнению с

предыдущей схемой сканирования число детекторов должно быть боль-

шим.

В противном случае излучение, проходящее через тело или голову па-

циента, в конце концов может пройти мимо детекторов, т.е. не будет ис-

пользовано для реконструкции; это крайне нежелательно, так как пациент

подвергается вредному облучению, а это излучение не дает никакого вклада

в диагностическую информацию. По сравнению с предыдущей схемой ска-

нирования в данной схеме очень трудно уменьшить рассеяние при помощи

коллиматоров, потому что направление источник — детектор изменяется

по мере движения источника рентгеновского излучения.

Ни одна из этих схем сканирования не является подходящей для получе-

ния точного изображения органов, таких, как сердце, которые быстро ме-

няют свое положение в пространстве. Причина в том, что скорость снятия

информации настолько мала, что сердце успевает пройти весь цикл движе-

ния за это время. Кроме того, трудно последовательно переходить от слоя

к слою, так как данные для каждого слоя поперечного сечения снимаются в

различные моменты времени. Для преодоления этих трудностей была раз-

работана пятая схема сканирования (рис. 3.3,d). Источники расположены

на полукольце. Число их, как правило, равно 28. Их можно включать и вы-

ключать с помощью электронной схемы. Они проецируют тело пациента

на вогнутый флюоресцирующий экран так, что при включенном источнике

большая часть тела пациента, например целиком туловище, изображается

на экране одновременно, позволяя получать проекционные данные для ко-

нусного пучка лучей, расходящихся от источника. При этом все измерения

по сбору данных можно провести за время, меньшее 0,01 с, и тем самым

исключить влияние на реконструкцию смещения органа. Следует отметить,

что данная схема сбора информации существенно отличается от описанных

выше четырех других схем, так как в этом случае снимают множество дву-

мерных проекций трехмерного объекта, а не множество одномерных проек-

ций двумерных объектов. Несмотря на то что подобная схема решает

проблемы, поставленные перед ней при разработке, она имеет свои соб-

ственные, присущие только ей недостатки. В частности, число проекций,

которые можно получить, жестко ограничено как стоимостью установки,

так и размерами рентгеновских трубок. При этом погрешность, связанная с

рассеянием рентгеновского излучения в этой схеме, неизбежно более су-

щественна, чем в рассмотренных выше других схемах сканирования.

Имеется много как реализованных, так и возможных вариантов этих

схем сканирования, и еще больше имеется достоинств и недостатков, кро-

ме отмеченных выше. Однако конфигурации, рассмотренные выше, содер-

жатся во всех остальных системах, которые встретятся нам при обсужде-

нии алгоритмов реконструкции.

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ 67

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Доказательство того, что распределение Пуассона можно использовать для опи-

сания процесса генерации фотонов рентгеновского излучения, можно найти в книгах

по общим вопросам, таких, как книга [44]. Более подробное обсуждение природы

случайных пуассоновских переменных также приведено во многих книгах, например

[126].

Описание процесса изменения спектра рентгеновского излучения при прохож-

дении последнего через вещество приведено в [65], в которой дано большое число

ссылок на оригинальные работы. В работе [93] приведен пример итерационной про-

цедуры введения поправки на изменение энергетического спектра излучения. Этот

вопрос будет подробно рассмотрен в разд. S.4. Помимо корректировки, описанной

выше, можно использовать информацию о спектре рентгеновского излучения. На-

пример, так поступили в работе

[114].

Форма пучка рентгеновского излучения в РТ и вопросы устранения ошибок, ко-

торые при этом возникают, рассмотрены в работе [14]. Обсуждение эффекта ча-

стично заполненного объема дано в работе [49]. Природа рассеяния и поправок на

этот эффект обсуждаются в работе

[148].

Погрешности в реконструкциях, связанные

с механическими дефектами аппаратуры, приведены в работе

[143].

Первый коммерческий сканер был разработан фирмой EMI Ltd. [89]. В приборе

использовалась схема, показанная на рис. 3.3.о. Об установке, в которой использова-

на схема сканирования, представленная на рис. 3.3,в, сообщается в pafoTe [41].

Установка с использованием схемы сканирования, которая приведена на рис. 3.3,д и

которая называется динамическим пространственным томографом, описана в ра-

боте

[137].

Таблица физических характеристик сканеров первых выпусков приведена

в работе [20].