Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 5

0,24

0,23 ]

0,22

§ 0.21

0,20

Witt~ss~^

Рис. 5.11

15 30 45 60 75 90 105 120

Координата

Рис. 5.12

Рис. 5.11. Реконструкция фантома головы, полученная по данным с помощью детек-

тора конечной ширины.

Рис. 5.12. Кривая зависимости плотности вдоль 63-го столбца для реконструкции,

приведенной на рис. 5.11.

геометрии, предполагая, что имелся точечный источник, а детектор имел

конечные размеры. Ширина каждого из используемых детекторов

принималась равной 0,21336 см; предполагалось, что между соседними

детекторами, находящимися на полоске детекторов, нет зазора (рис. 5.2).

Это соответствует случаю, когда ширина детекторов является наибольшей

из тех значений ширин, которые данные детекторы могут иметь в

конкретном предполагаемом методе сбора данных.

Как говорилось выше (гл. 4), в системе программ SNARK77 такая

ситуация моделируется тем, что А

рассчитывается как взвешенное среднее

выражение (5.13) для некоторого числа прямых между точечным

источником и данным детектором. При таком моделировании мы

рассмотрели пять точек, находящихся на детекторе (на расстоянии 1/5

ширины детектора друг от друга), и приписали одинаковые веса прямым,

которые соединяют каждую из точек с источником излучения. При этом

предполагалось, что отсутствуют эффекты статистики фотонов и

рассеяния фотонов, а пучок рентгеновского излучения является

монохроматическим.

Реконструкция, полученная по таким данным, показана на рис. 5.11, а

соответствующая кривая плотности вдоль 63-го столбца — на рис. 5.12.

Значения меры различия изображений для этой реконструкции следующие:

d = 0,0987, г = 0,0341,

0,0596.

(5.21)

ПОЛУЧЕНИЕ ДАННЫХ И РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Для непосвященного может показаться весьма удивительным тот факт,

что данная реконструкция очень сходна с реконструкцией, полученной по

«идеальным» данным [выражения (5.6) и

(5.12)].

То, что это очевидно,

становится ясным из анализа данного алгоритма реконструкции. Здесь

должно быть достаточно следующее краткое пояснение. Оценка частной

производной m

(/, в) в обратном преобразовании Радона [выражение

(2.5)] затруднена тем, что выборки т(В

в) являются дискретными, если

данные существенно меняются от одного отсчета к другому. Конечная

ширина детектора «сглаживает» дискретные значения данных и тем самым

улучшает условия для получения оценки т

{

(е, в). Это до некоторой

степени компенсирует эффект частично заполненного объема.

Те же рассуждения можно использовать при учете слабого эффекта

рассеяния рентгеновского излучения. Для иллюстрации этого рассмотрим

два разных случая: один, когда имеется сильный эффект рассеянного

излучения, и второй, когда имеется слабое рассеяние. В случае сильного

рассеяния принимаем, что 50% фотонов, сосчитанных детектором,

испытали процесс рассеяния, а в случае слабого рассеяния

соответствующая цифра равна 5%. В обоих случаях мы считаем, что из

зарегистрированных рассеянных фотонов 44% двигались (до рассеяния) в

направлении данного детектора, который в конце концов их и

зарегистрировал, 48% фотонов двигались в направлении одного из двух

ближайших соседей этого детектора, а 8% — в направлении одного из двух

детекторов на противоположных сторонах ближайших соседних

детекторов. Такое предположение основано на том, что рассеянные

фотоны с наибольшей вероятностью движутся в направлении своего

первоначального движения. Приведенные относительные соотношения

являются усредненными величинами. Реально наблюдаемые величины для

каждого из детекторов определяются объектом, реконструкцию которого

производят, а характер зависимости указан в разд. 4.4.

Случай, когда 50% сосчитанных фотонов являются рассеянными,

является, конечно, крайним, но не невозможным для рассматриваемой

нами схемы сканирования (третья схема сканирования). Однако в хорошо

продуманной конструкции при использовании математической коррекции

(направленной на устранение этого эффекта) цифра 5% становится более

реалистичной. (Во время написания данной книги по этому вопросу в

открытой литературе было опубликовано мало экспериментальных

данных.)

Используя модель рассеяния в системе программ SNARK77, мы

промоделировали проекционные данные для обоих случаев низкого и

высокого значений рассеянного излучения без учета погрешностей другого

происхождения. Соответствующие реконструкции приведены на рис. 5.13, а

кривые плотности вдоль 63-го столбца — на рис. 5.14.

Меры различия между изображениями для этих случаев приведены в

табл.

5.5.

Как видно из этих данных, реконструкция, полученная по данным со

слабым рассеянием, достаточно хорошо сравнивается с реконструкцией по

100

ГЛАВА

v\lW""v—

—■'^-v

30 45 60 75 90 105 120

Координата

30 45 60 75 90 105 120

Координата

Рис.

5.13.

Рис.

5.14.

Рис.

5 13.

Реконструкция фантома, полученная

по

данным

учетом только погреш-

ностей, связанных

рассеянием рентгеновского излучения.

—

5^0 всех зарегистрированных фотонов испытали рассеяние;

—

50%

всех зарегистрирован-

ных фотонов испытали рассеяние.

Рис.

5.14.

Кривые зависимости плотности вдоль 63-го столбца

для

реконструкций,

приведенных

на рис. 5.13.

«идеальным» данным, тогда как реконструкция, полученная по данным с

сильным рассеянием, имеет значительное размытие.

Мы не приводим примеры, которые показывают влияние других

погрешностей. Последние обсуждались в разд. 3.3.

ПОЛУЧЬНИЕ ДАННЫХ И РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

101

Таблица 5.5

Влияние эффектов рассеяния фотонов на меру различия

между изображениями

Доля зарегистрированных

рассеянных фотонов, %

0,0900

0,0942

0,1404

0,0379

0,0390

0,0526

0,0517

0,0548

0,0873

5.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СХЕМ СКАНИРОВАНИЯ

Когда производят съем данных в реальных сканерах реконструктивной

томографии, все виды погрешностей, рассмотренных в этом разделе,

присутствуют в показаниях одновременно. При испытании алгоритмов

реконструкции нам нужны реальные проекционные данные. Теперь

определим стандартные проекционные данные, которые будут

использованы в большинстве экспериментов, рассмотренных ниже.

Эти данные получены для фантома головы при использовании

стандартной геометрии, которая была описана в разд. 5.2. С учетом

статистики фотонов мы выбрали значения X = 10

и Х

= 288-10^ (разд.

5.3). Спектр полихроматического пучка рентгеновского излучения задан в

табл.

5.3. Предполагаем, что фокальное пятно источника рентгеновского

излучения является точкой, а детекторы имеют ширину 0,21336 см (т.е.

между детекторами зазор отсутствует). Предполагаем, что 5% всех

фотонов, зарегистрированных в рабочих измерениях, были рассеяны и что

характер учета рассеяния таков, как описано в разд. 5.4. Данные,

полученные таким образом, скорректированы согласно выражению (5.17)

дважды, чтобы иметь данные, близкие к тем, которые можно получить

при моиохроматическом излучении. То, что достигли после таких

коррекций, будем называть стандартными проекционными данными.

На рис. 5.15,а приведена реконструкция, полученная по стандартным

проекционным данным при помощи сверточного алгоритма для веерного

пучка, который принят во всех рассмотренных ранее в данной главе

экспериментах. Кривая распределения плотности вдоль 63-го столбца

приведена на рис. 5.16,а,

В двух основных схемах съема данных, которые используют для

создания изображений поперечных срезов, применяют параллельный (рис.

3.3,а и б) и веерный пучки (рис. 3.3,в и г). Хотя большинство алгоритмов

можно использовать для обоих этих основных схем получения

информации, применение некоторых из них ограничено либо первой, либо

второй схемой снятия данных. Поэтому необходимо определить

102

ГЛАВА 5

15 ЗО «5 60 75 90 105 120

Координата

15 30 45 60 75 90 105 120

Координата

Рис. 5.16.

Рис. 5.15.

Рис. 5.15. Реконструкции по реальным данным.

—

стандартные проекционные данные для веерного пучка; б

—

стандартные проекционные

данные для параллельного пучка.

Рис. 5.16. Кривые зависимости плотности вдоль 63-го столбца для реконструкций,

приведенных на рис. 5.15.

стандартные проекционные данные для параллельного пучка. Попытаемся

определить их так, чтобы по своим характеристикам они были схожи со

стандартными проекционными данными для веерного пучка и чтобы

реконструкции, которые получают по тем и другим данным, можно было

сопоставлять.

В этих стандартных проекционных данных было принято, что источник

при снятии показаний занимает 288 рабочих положений, расположенных на

ПОЛУЧЕНИЕ ДАННЫХ И РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

103

Таблица

5.6

Значения меры различия для реконструкций, получаемых при

использовании для сбора данных веерного и параллельного пучков

Схема получения d г е

реконструкции

Стандартные проекционные

данные с веерным пучком 0,1159 0,0465 0,0674

Стандартные проекционные

данные с параллельным пучком 0,1175 0,0470 0,0657

одинаковых расстояниях друг от друга по окружности (рис. 5.2), т.е.

аппаратура выполняет полный оборот на 360° с шагом 1,25

(рис. З.З.в).

Из рис. 3.3,0 видно, что, по крайней мере в принципе, нет необходимости

поворачивать сканирующее устройство более чем на 180° относительно

пациента, так как при дополнительном вращении собирают данные о тех же

лучевых суммах. Поэтому в стандартных данных для параллельного пучка

используют 144 дифференциальных поворота с шагом 1,25

. Расстояние

между параллельными лучами в одном ряду параллельных лучей выбрано

равным 0,1504 см, что примерно равно расстоянию между точками на двух

соседних расходящихся лучах около центра вращения в стандартной (для

веерного пучка) геометрии. Кроме того, оказалось, что это расстояние

равно длине стороны элемента изображения (элиэа) для фантома головы.

В любом одном наборе параллельных лучей имеется 165 лучей,

покрывающих поле реконструкции. Таким образом, общее число лучей

равно половине того числа, которое используют в стандартной геометрии.

Данные собирают для фантома головы. Чтобы общая экспозиционная

доза излучения у пациента была такой же, как и в стандартной геометрии,

для статистики фотонов выбираем X = 2-10

и А

= 288* 10

(разд. 5.3).

Таким образом, число фотонов, которые используют для получения

стандартных данных в случае веерного и параллельного пучков, одинаково.

Спектральный состав используемого рентгеновского излучения задается в

табл.

5.3. Предполагаем, что фокусное пятно источника и ширина

детекторов равны 0,1504 см (т.е. полосы между последовательными

рабочими положениями источника и детектора примыкают друг к другу)»

Считаем, что 5% фотонов, которые регистрируются во время рабочих

измерений, являются фотонами, претерпевшими рассеяние, и что природа

рассеяния является такой, как она описана в разд. 5.4. [Это означает, что

наши параллельные данные соответствуют второй схеме сканирования в

большей степени, чем первой, где не рассматривается рассеяние от

соседних положений детектора (рис. 3.3,д и б). Мы делаем так потому, что

вторую схему сканирования в настоящее время шире используют в

104

ГЛАВА 5

основном из-за того, что ее осуществление занимает меньшее время.

Кроме того, это приводит к тому, что наши два набора данных становятся

более близкими друг к другу. Как видно из разд. 5.4, такой низкий уровень

рассеяния приводит к незначительной разнице в реконструкциях.] Данные,

полученные таким образом, дважды корректируются с использованием

выражения (5.17), и получают новые данные, близкие к данным для

монохроматического излучения. В результате после этих коррекций

получают данные, которые называются стандартными проекционными

данными для параллельного пучка.

На рис. 5.15,6 приведена реконструкция, полученная по стандартным

проекционным данным для параллельного пучка при использовании

сверточного алгоритма реконструкции для параллельного пучка (гл. 8). На

рис. 5.16,6 представлена кривая плотности вдоль 63-го столбца этой

реконструкции. Заметим, что несмотря на то, что в некоторых деталях эти

две реконструкции отличаются друг от друга, в обшем их качество, по-

видимому, одинаково, что подтверждают данные табл. 5.6.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Использование кривых плотности для сравнения реконструкций фантома было

введено в

[142].

Разные варианты трех мер различия изображений, описанных в

разд.

5.1, были использованы большим числом исследователей, однако первое

применение в таком виде было проведено в работе [61], в которой рассмотрены эти

и другие меры различия н приведены ссылки на более ранние работы по сравнению

изображений. Описание операционных характеристик приемника (ОХП-кривых)

приведено в

[118].

Основная геометрия сбора данных, которая использована в данной книге, сходна

с той, которая была использована в [30].

Метод, с помощью которого было получено «решение» в виде полинома (5.10)

для уравнения (5.9), описан в [65]. Большая часть материала разд. 5.4 близка к

материалу из работы [80]. Описание технических подробностей можно найти в

работе [66].

Основные представления

об алгоритмах реконструкции

В данной главе мы начинаем систематическое изучение алгоритмов ре-

конструкции. Мы познакомимся с обозначениями, которые используются в

остальной части книги, разобьем алгоритмы на две основные

группы — алгоритмы с использованием преобразований и с использовани-

ем разложения в ряд. Мы разъясним сущность алгоритмов каждой из этих

групп и укажем, какими, по нашему мнению, характеристиками должны

обладать алгоритмы реконструкции.

6.1.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

До сих пор во всех рассматриваемых случаях при задании функций двух

переменных использовалась прямоугольная система координат. Для обо-

значения относительной ослабляющей способности в точке (дт, у) мы зада-

вали функцию ц(х, у\ где (х, у) относилось к прямоугольной системе коор-

динат (рис. 2.8). Однако в большинстве математических работ, посвящен-

ных указанной проблеме, удобнее использовать полярную систему коорди-

нат (г, ф), которая связана с прямоугольной системой координат (дг, у)

следующими выражениями: г = (дг

+ у

ф = arctgO'/jt), х = rcos<£,

у = г sin0. Мы будем использовать выражение функция двух полярных пе-

ременных, подразумевая при этом функцию /, значение которой /(г, ф)

представляет значение определенной физической величины (например, ко-

эффициента линейного ослабления рентгеновского излучения) в геометри-

ческой точке с полярными координатами (г, ф). Характерной особенностью

с математической точки зрения функции / от двух полярных переменных

является то, что /(О, ф

) = /(О, <£

) для всех значений ф

и ф

. Это соот-

ветствует тому, что физическая величина в начале координат может иметь

только одно значение. Далее мы не ограничиваем область возможных зна-

чений полярных переменных, т.е. разрешаем принимать для г и Ф любые

вещественные значения; следствием этого является то, что функция / двух

полярных переменных должна удовлетворять условию/(г, ф) = f(—г, ф +

IT).

В разд. 4.1 мы определили изображение как функцию двух переменных,

значения которой вне области изображения равны нулю, а кадр изображе-

ния представляет собой квадрат (например, размером \2Е х V2E), центр

которого находится в начале координат. В соответствии с этим мы исполь-

зуем обозначение /, чтобы задать функцию двух полярных переменных г и

106

ГЛАВА 6

ф и тем самым определить изображение, подлежащее реконструированию.

Известно, что

/(г,

ф) = 0, если \r cos ф\ > E/

'2 или \r sin ф\ >

Ejyjl.

(6.1)

(Ixl обозначает абсолютное значение х, равное х, если х ^ 0, и — х, если

х < 0.) В частности, /(г, ф) = 0, если г ^ £".

Возможной физической интерпретацией функции изображения / являет-

ся то, что, если поле изображения равно полю реконструкции, изображен-

ному на рис. 2.8, f(r, ф) соответствует значению линейного коэффициента

ослабления в точке (г, ф). Однако последующее обсуждение алгоритмов не

зависит от приведенной интерпретации /(г, ф). Алгоритмы реконструкции

применимы для любой другой физической интерпретации функции /(г, ф)

(разд.

1.1).

Важное различие между исследованием функции J как таковой и иссле-

дованием ее как распределения некоторой физической величины состоит в

способе использования математики. Алгоритмы реконструкции, как прави-

ло,

базируются на самых общих теоремах математики, которые формули-

руются обычно так: «Если функция/ обладает свойством, что... то из это-

го следует... » Мы будем последовательно использовать результаты этих

теорем, если только справедливость предпосылок разумна с физической

точки зрения.

В частности, мы будем всегда полагать, где это требуется, что изобра-

жение удовлетворяет определенным условиям интегрируемости. (Мы поль-

зуемся понятием интегралов без точного их определения. Хотя почти все

наши утверждения справедливы для любого обычно используемого опреде-

ления интеграла, однако те, кто хочет, чтобы наш подход был достаточно

обоснован математически, могут использовать понятие интеграла в смысле

Лебега.) Одним из наших предположений является то, что любая функция

изображения/ является

квадратично

интегрируемой,

т.е. что существует

интеграл

f ( (1(г.ф))

г{1п1ф (6.2.)

Jo Jo

(Существование

данном случае означает, что данный интеграл можно вы-

числить. Его значение есть вещественное число.) Такое предположение по-

зволяет определить расстояние d{f

,f$ между двумя функциями изображе-

ния^

и/

</(./,

) = \"\ Ш'*

Ф)

~ 1i(r. Ф))

г dr

йф

(6.3)

Jo Jo

так как можно доказать, что, если функции /,

таковы, что интеграл

(6.2) существует, когда/, или/

заменяют на/, тогда интеграл (6.3) также

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ АЛГОРИТМАХ РЕКОНСТРУКЦИИ 107

существует. Ясно, что (6.3) соответствует квадратичной мере различия

между изображениями, определенными выражением (5.1).

Теперь определим

преобразования

Радона для

функции

/ от двух поляр-

ных переменных. Сначала введем условные обозначения, которые исполь-

зуются по всей книге. Преобразование Радона представляет собой пример

операторах

когда такой оператор действует на какую-то функцию, то он

создает другую функцию. Для обозначения операторов используем пропис-

ные рукописные буквы; например, & обозначает оператор Радона. Функ-

ция,

которая получается в результате преобразования Радона, обозначается

через &f и называется радоновским образом. Значение &f в точке (/, в) в

области ее задания определяется как \&f\ (/, 0).

Радоновский образ

функции

/ определяется для пары любых веществен-

ных чисел (/, в) следующим образом:

/•ас

[д*П(/, 0) = IXj-e

+ z\ в + arctg (г/О) tlz, при / ф 0,

J - со

/•

ао

О#Л(О.0)= f(z,0 + n/2)dz. (6.4)

J - ао

Из рис. 2.8 видно, что [3f\( £, в) соответствует линейному интегралу от /

вдоль прямой L. [Отметим, что переменная z в (6.4) не совпадает точно с

той переменной z, которая показана на рис. 2.8. В выражении (6.4) z = 0

соответствует точке, где перпендикуляр, опущенный на прямую L из нача-

ла координат, пересекается с L.] Существование радоновского образа для

любого значения £ и в является вторым предположением об интегрируе-

мости.

Заметим, что

МП(Л 0) = [ */]< -

0 + я) = [ */ W* 0 + 2л) (6.5)

и что

[#Я(Л 0) = 0 . если |/1 > Е. (6.6)

Последнее уравнение следует из выражения (6.1). Из этих соотношений сле-

дует, что функция .#f полностью определена ее значением в точках (£ , в) с

областью задания

—

£ < £<£иО<0<7г.

Между областями определения функций / и

<%f

имеется существенное

различие. Функция изображения / определена для любой пары веществен-

ных чисел (г, ф), которые являются координатами точек на плоскости. Сле-

довательно, значение

/(г,

ф)

одинаково для любого значения

ф>

так как точ-

ка (0,

ф)

во всех случаях соответствует началу координат. В случае

.^Г

дело

обстоит иначе. Ее значение для пары чисел (0, 6) равно линейному интегра-

лу от /вдоль прямой, проходящей через начало координат и составляющей

угол в с положительным направлением оси у. Поэтому, если только / не

обладает круговой симметрией относительно начала координат,

.^"(0,

в)