Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

118

ГЛАВА

вектору-столбцу

х, т.е.

вектор-строке,

/-й

элемент которой равен Xj.

Эти

интегралы вычисляют покомпонентно. Например, если

(х

—

)

обозначает

/-ю компоненту вектора

—

\к

х%

то (/, у)-я

компонента матрицы

равна

/•ОС

{Ух\.,= \ {x-»

Ux-»

)

jPx

(x)dx.

(6.30)

Наиболее часто используемой случайной переменной

векторами

в ка-

честве возможных исходов является многопараметрическое распределение

Гаусса,

для

которого функция плотности вероятности однозначно опреде-

ляется средним вектором

и ее

матрицей ковариации следующим образом:

РхМ

(2я7

(с1еГ|/

)

1/2 ехр[

»х?

ttr)]-

631)

Отметим,

что для

того, чтобы

р^х)

имело смысл, детерминант матрицы

ковариации

det

должен быть положительным. Нетрудно проверить,

что

соотношения (6.28), (6.29)

(6.31) являются совместимыми. Функция плот-

ности вероятности многопараметрического распределения Гаусса достигает

максимума

при

среднем значении.

Важность многопараметрического распределения Гаусса определяется

двумя фактами. Во-первых, многие распределения, встречающиеся

на

прак-

тике, аппроксимируются многопараметрическим распределением Гаусса.

Во-вторых, предположение

том, что

неизвестное распределение является

многопараметрическим распределением Гаусса, делает задачу

математи-

ческой точки зрения гораздо проще,

чем в

остальных случаях.

Вернемся

случайным переменным

и Е,

связанным

с х

соотноше-

нием (6.24).

этом случае

называется функцией плотности априорной

вероятности,

так как

р%(х) указывает правдоподобие случайно встретить

вектор изображения, близкий

к х. В

реконструктивной томографии имеет

смысл связывать

той

областью тела пациента, которую

мы

отобра-

жаем; вероятности того,

что то же

самое изображение представляет сече-

ние головы

или

грудной клетки пациента, будут различными. Наше рас-

смотрение

и Е

раздельно само

по

себе является упрощающим предполо-

жением,

так

как

на

практике

Е не

является независимым

от X,

как

это

сле-

дует

из

обсуждения, приведенного

разд.

3.1.

Теория, которую

мы

здесь

излагаем, может быть развита

без

этого предположения, однако

при

этом

она становится более сложной.

Наконец,

мы

можем сформулировать критерий оптимизации

предпо-

ложении, что

известны:

по

заданным значениям

выбрать вектор

изображения

х,

такой, чтобы величина

РЕ(У~

RX)

(X)

(6.32)

имела

по

возможности большее значение. Заметим,

что

второй сомножи-

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ АЛГОРИТМАХ РЕКОНСТРУКЦИИ 119

тель в этом произведении становится большим при значениях х, которые

имеют большую априорную вероятность, тогда как первый сомножитель

становится большим при тех значениях х, которые совместимы с исходны-

ми данными, по крайней мере если р

имеет пик при векторе нуль. Относи-

тельное значение каждого из этих множителей зависит от природы р

Если р

имеет плоское распределение и поэтому многие векторы изо-

бражения имеют равную вероятность и если р

имеет большее значение

вблизи вектора нуль, то с помощью нашего критерия можно получить век-

тор изображения х*, который соответствует измеренным данным в том

смысле, что Rx* будет иметь почти такие же значения, что и у. С другой

стороны, если р

имеет плоское распределение и поэтому большие значе-

ния ошибок имеют почти такую же вероятность, что и малые, однако если

при этом р

имеет явно выраженный максимум, выполненные наши изме-

рения будут иметь лишь небольшое влияние на наши предварительные

представления о том, какой вектор изображения должен быть выбран.

Те значения х*

которые максимизируют (6.32), называются оценкой

Байеса (байесовской оценкой).

Трудность, связанная с нахождением байесовской оценки, связана с тем,

что должны быть заранее известны величины р

и Е

. Полная информа-

ция об истинном априорном распределении векторов изображения и ошиб-

ки,

как правило, отсутствует. Вторая трудность состоит в том, что для

многихр

ир

нахождение значений, которые максимизируют (6.32), мо-

жет быть не столь простой задачей.

Если считать, что X и Е подчиняются многопараметрическим распреде-

лениям Гаусса, то задача оптимизации существенно упрощается. В таком

случае из выражения (6.31) легко видеть, что в предположении, что \L

яв-

ляется нулевым вектором, значения х, которые соответствуют максимуму

(6.32),

равны тем же значениям х

которые минимизируют

(у -

Rx)

(y - Rx) + (v - iijtfVx Чх - /i

). (6.3Я)

Менее изящный подход состоит в использовании метода наименьших

квадратов для получения решения (6.24), т.е. для нахождения х, которые

минимизируют

IMI

= IIV - Kv||

= X L - Zr

x\ • (6.34)

Такой критерий не обязательно должен определять х однозначно; возмож-.

но,

что имеется более чем один вектор х, который минимизирует (6.34). В

подобном случае для определения значения х следует использовать второй

критерий, ^выборы которого описаны ниже.

Другая причина, по которой решение, полученное методом наименьших

квадратов, не обязательно будет достаточно хорошим, состоит в том, что

критерий, выраженный (6.34), не содержит никакой информации относи-

тельно природы «желаемого» решения х. При использовании байесовского

120

ГЛАВА 6

подхода при помощи выражения (6.33) такая информация содержится в

априорно заданной матрице ковариации У

Разумно считать, что желаемым свойством решения (6.24) является то,

что дисперсия

где

v= £>yJ (6.36)

j i

должна быть малой. [Если базисные изображения выбраны согласно (6.17),

то х соответствует средней плотности в дискретизированном

изображении.] Можно показать, что если х считать фиксированным для

всех приемлемых решений (6.24), то значение х, которое минимизирует

(6.35),

равно тому значению х, которое минимизирует норму 11x1 от х,

где

= 1-х*. (6.37)

>- 1

Иными словами, в таком случае решения, соответствующие

минимуму

дис-

персии

минимуму

нормы, совпадают.

Критерии, которые выражены формулами (6.35) и (6.37), не следует ис-

пользовать как «первичные» для реконструкции изображений, т.е., если

пользоваться терминологией, введенной в начале этого раздела, не естест-

венно определять ф

}

(х) выражением (6.35). Это, как правило, приводит к

«решению», в котором все компоненты х имеют одно и то же значение, а

именно х. Выражение (6.35) следует использовать либо в качестве вторич-

ного критерия, либо в качестве составляющей части первичного критерия,

в котором другие компоненты заставляют какое-то определенное «реше-

ние» соответствовать данным измерениям или выражать другие качества

желаемого решения (6.24).

Например, в том случае, когда базисные изображения выбраны в соот-

ветствии с (6.17), «желательными» могут быть те значениях , относящиеся

к соседним элементам изображения, которые были близки друг к другу в

среднем. Такой критерий может быть выражен (разд. 12.3) утверждением:

мы хотим минимизировать х

Вх, где В

—

соответствующим образом вы-

бранная матрица. Это в сочетании с желанием минимизировать (6.34) и

(6.37) одновременно приводит нас к утверждению, что искомое решение х

уравнения (6.24) минимизирует выражение

<i|,v - Я\||

+ х

(ЬВ + L')x,

(6.38)

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ АЛГОРИТМАХ РЕКОНСТРУКЦИИ 121

где

а и b —

соответствующим образом выбранные положительные числа,

указывающие относительный

вес,

который

мы

приписываем различным

выражениям, рассмотренным выше,

при

минимизации,

at/

— единичная

матрица.

Все рассмотренные выше условия минимизации [(6.33)

—

(6.35), (6.37)

(6.38)1 являются частными случаями задачи квадратичной оптимизации,

которую можно сформулировать следующим образом:

ищут

х,

которое минимизирует выражение

а(у

Rx)

A(y

- Rx) + (х -

)

(ЬВ

+ сС

){х - х

(6.39)

где

А —

симметричная

/ х

/-матрица,

В и С

—

J х

/-матрицы,

а, Ъ

—

неотрицательные вещественные числа,

а х

есть 7-мерный вектор.

(Другие подробности

свойствах этих матриц, постоянных чисел

векто-

ров приводятся

разд.

12.1, в

котором объяснено, почему второе слагае-

мое ЬВ

+ сС~

{

имеет такую сложную форму.)

Имеются другие пути введения априорной информации

об

интересую-

щем

нас

изображении

процесс выбора выражения для решения (6.24).

Од-

ним

из

примеров является использование того факта, что Xj должны нахо-

диться внутри определенного диапазона значений.

Во

многих применениях

все возможные изображения/(г,

ф),

которые могут встречаться, характе-

ризуются только неотрицательными значениями. Поэтому разумно потре-

бовать, чтобы вектор изображения

х,

основанный

на

процессе дискретиза-

ции (6.17), удовлетворял

как

решение (6.24) только тогда, когда

для

< /' < /.

Фактически можно пойти дальше

и,

кроме этого, потребовать,

чтобы

для

любого решения (6.24) погрешность находилась

определенных

пределах,

т.е.

указать положительные числа

... , е

такие, чтобы прини-

мать

качестве решения только

те

компоненты дг

для

которых

-b<yi- Хг,

<,. (6.40)

для

1 < I < /.

Могут быть введены

другие ограничивающие условия

виде неравенств.

Используя подобные рассуждения,

мы

может заменить систему уравне-

ний (6.24), содержащих неопределенное

«е», на

неравенство, ограничиваю-

щее

одной стороны, вида

£Х,х

;

<</„ (6.41)

которое мсгжно переписать, используя матричное обозначение,

как

Nx < q,

(6.42)

а затем переформулировать задачу реконструкции

задачу нахождения век-

122

ГЛАВА 6

тора изображения х, который удовлетворяет выражению (6.42). При этом

следует иметь в виду, что может возникнуть следующая ситуация: когда

может не существовать х, который бы удовлетворял всем неравенствам

(6.42),

или когда имеется одно соответствующее значение

дг,

то, как прави-

ло,

имеется и много других значений. Точно так же, как и в случае, когда

имеется более чем один вектор, минимизирующий вектор выражения

(6.39),

требуется ввести дополнительный критерий минимизации, для того

чтобы отобрать один из этих векторов в качестве нужного решения.

В литературе по реконструктивной томографии предложены два вида

таких дополнительных критериев оптимизации.

Один из них основан на минимизации нормы 11x11, который был рас-

смотрен выше. В более общей формулировке единственное решение су-

ществует, если из этих всех векторов изображения, которые удовлетворя

ют основным условиям, выбираем такой, который минимизирует выраже

ние

||D Ч||,

43)

. де D — положительно определенная, симметричная / х /-матрица. Напо-

мним, что матрица D называется положительно определенной, если

> 0 для всех отличных от нуля векторов. Как будет показано ниже,

некоторые алгоритмы реконструкции используют минимизацию вида (6.43)

при других матрицах.

Если известно среднее значение компонент х,, равное х, то можно ис-

пользовать следующий дополнительный критерий. В таком случае имеется

по крайней мере один вектор, для которого

= 0 при 1 ^ j < /, который

имеет среднее значение х и который максимизирует выражение

Х(Х„/Х)1П(А,//Х).

(6.44)

j i

Этот критерий называется критерием максимума энтропии. Использова-

ние подобного критерия оправдывают доводами, которые слишком длин-

ны,

чтобы их здесь приводить; их цель состоит в том, что из всех изобра-

жений, удовлетворяющих основному критерию, решение, соответствующее

максимуму энтропии, имеет наименьшее количество информации и поэто-

му с наименьшей вероятностью вводит в заблуждение наличием артефак-

тов.

Причина, по которой мы можем считать, что величина х известна, со-

стоит в следующем. Рассмотрим рис. 2.8. Для любой пары

источник — детектор лучевая сумма, деленная на длину отрезка луча, пере-

секающего кадр изображения (или поле реконструкции), представляет со-

бой оценку среднего относительного линейного коэффициента ослабления

данного луча. Если рассмотреть большое число лучей, которые достаточно

равномерно и плотно покрывают кадр реконструкции, то сумма всех луче-

вых сумм, деленная на сумму длин пересечений, является вполне разумной

оценкой величины х. Например, для рассмотренного нами выше стандарт-

ного фантома головы х = 0,1468. Оценка х, полученная по стандартным

проекционным данным (разд. 5.6) методом, описанным выше, равна

0,1461.

И это несмотря на то, что стандартные проекционные данные

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ АЛГОРИТМАХ РЕКОНСТРУКЦИИ 123

содержат погрешности, связанные со статистикой фотонов, изменением

спектрального состава рентгеновского излучения по мере его прохождения

через вещество, с его рассеянием и т.д. Подобным же образом можно по-

лучить и оценку х по стандартным проекционным данным для параллель-

ного пучка, и тогда мы приходим к значению х = 0,1462. Эти данные ука-

зывают, что имеются основания для использования методов, описанных

выше, для оценки х при использовании критериев оптимизации, таких, как

максимум энтропии или минимум дисперсии.

6.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В предыдущих главах были показаны реконструкционные изображения

фантома головы, полученные по стандартным проекционным данным для

веерного пучка или по стандартным проекционным данным для параллель-

ного пучка с использованием различных алгоритмов. В каждом случае мы

также приводили кривые распределения плотности вдоль 63-го столбца и

значения меры различия между изображениями, которые были введены в

разд.

5.1.

В добавлении к этому приведем данные о стоимости реконструкций,

определяемой временем, затраченным на ЭВМ. Все Эти алгоритмы входят

в систему программ SNARK77 и время, которое будет указано в секундах,

затрачиваемых центральным процессором ЭВМ Cyber 173.

Хотя эти времена приведены для полноты картины, их не следует при-

нимать слишком серьезно. Общая система программ, в которую входит

большое число алгоритмов, каковой и является SNARK77, по необходимо-

сти не столь эффективна для какого-то определенного алгоритма по срав-

нению с программой, специально написанной для этой цели. Поэтому абсо-

лютные и даже относительные значения времени счета на ЭВМ, приведен-

ные ниже, могут ввести в заблуждение. Алгоритмы, которые используют-

ся в сочетании с реальными сканерами реконструктивной томографии, как

правило, включают в себя прямое программирование и даже используют

спецпроцессоры, тем самым снижая время, затрачиваемое на выполнение

реконструкции, на порядки величин по сравнению с тем, которое характер-

но при использовании программ SNARK77. (Причина использования систе-

мы программ SNARK77 заключена в относительной легкости реализации

алгоритмов. Однако нет необходимости рассматривать каждый алгоритм

индивидуально, приведенный в этой книге, на уровне прямого программи-

рования для данной ЭВМ.)

Эта особенность данных о времени счета на ЭВМ отражает тот факт,

что электронное оборудование, используемое для проведения вычислений,

очень быстро становится все дешевле и дешевле. Маловероятно, чтобы эф-

фективные алгоритмы реконструкции оставались долгое время неиспользо-

ванными исключительно из-за соображений, связанных с временем счета на

ЭВМ.

124

ГЛАВА 6

В разд. 10.6 показано, что время счета на ЭВМ не имеет значения, когда

дело касается подлинной реконструктивной томографии очень высокого ка-

чества.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Значительная часть материала, рассмотренного в данной главе, основана на об-

зорной статье по итерационным алгоритмам реконструкции [71J. В этой статье рас-

смотрены ссылки на более ранние работы по реконструктивным алгоритмам, осно-

ванным на методах разложения функции в ряд и дано обсуждение критериев опти-

мизации.

Вопросы, связанные с интегралом Лебега и квадратично интегрируемыми функ-

циями, операторами и линейными функционалами, достаточно хорошо и полно рас-

сматриваются в книге [96].

В нашем изложении обратного преобразования Радона использовались подход и

терминология из [140). Достаточно полное обсуждение математического аспекта

преобразований Гильберта можно найти в работе [26]. Ссылки на литературу отно-

сительно взятия производных от формулы обрашеиия Радона без предположения

таких свойств у функций, как дифференцируемость, даются в конце гл. 16.

Наше изложение многопараметрических случайных переменных основано на ра-

боте

[141],

где также дано обсуждение теоремы Байеса, которая является математи-

ческой основой использования байесовской оценки.

Эквивалентность критериев, основанных иа минимальной норме и минимальной

дисперсии, показана, например, в [85].

Метод, основанный на использовании формализма максимума энтропии, широко

используется в различных областях науки; есть целые книги, посвященные этому во-

просу; см., например,

[107].

Предложение об использовании этого метода для рекон-

струкций изображений впервые было дано в [52]. Метод максимума энтропии доста-

точно широко используют в других областях, где применяют методы восстановле-

ния изображений на ЭВМ; см., например, [7]. Из последних работ по методу макси-

мума энтропии см. [43. 119], а также работы, которые приведены в библиографиях

в указанных работах.

В ряде работ рассмотрены и другие критерии оптимизации: [151]

—

максимум

отношения сигиал/шум, [139]

—

максимум правдоподобия и [158] — фильтр Калма-

на. В работе [92] были определены критерии оптимизации, основанные на использо-

вании функции импульсного отклика и выполнено сравнение таких критериев с кри-

териями Байеса. (Рассмотрение функции импульсного отклика дано в разд. 10.3.)

Сведения о значительном увеличении быстродействия и уменьшении стоимости

электронного оборудования за последние годы можно найти в специальном номере

Scientific American, September 1977, посвященном проблемам микроэлектроники.

Алгоритмы обратного проецирования

Алгоритмы реконструкции с использованием только обратного проеци-

рования в общем случае не позволяют получать такие же хорошие изобра-

жения, как и те, которые получают другими, более сложными алгоритма-

ми реконструкции, рассматриваемыми в последующих главах. Алгоритмы

обратного проецирования изложены главным образом потому, что они по-

зволяют понять сущность других алгоритмов реконструкции, в которые

алгоритм обратного проецирования входит как необходимая часть более

сложного алгоритма, как, например, алгоритмы с использованием преоб-

разований и некоторые алгоритмы, основанные на разложении функции в

ряд,

а также потому, что через алгоритм обратного проецирования стано-

вятся ясными другие шаги в алгоритмах реконструкции.

7.1.

НЕПРЕРЫВНОЕ ОБРАТНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Наипростейший алгоритм реконструкции состоит в том, что оценку

плотности в любой точке находят путем сложения лучевых сумм для всех

лучей, проходящих через данную точку. Это — алгоритм суммирования

или обратного проецирования,

Отметим, что традиционная томография (разд. 2.2), по существу, явля

ется методом обратного проецирования. На рис. 2.4 линейное ослабление в

точке А оценивают путем сложения (интегрирования) суммарной плотно-

сти вдоль пути от X

до A

в течение времени г. Напомним, что

(

— всегда одна и та же точка на передвигающейся фотографической пла-

стинке Р, и поэтому А является единственной общей точкой для любых

двух путей от X

до A

в различные моменты времени /. Все виды традици-

онной томографии, включая систему, в которой перемещение источника

рентгеновского излучения и фотопластинки ведут вдоль осей координат,

представляют собой трехмерную версию алгоритма обратного проецирова-

ния.

Как подробно было объяснено в разд. 6.2, по заданной функции двух

переменных оператор обратного проецирования йй производит другую

функцию &

двух полярных переменных таким образом, что [гё ] (г,ф)

равно интегралу по в величин р( с, 0), где f = rcos(0 - ф). Для

определенных г, в и ф величина t = rcos{6

—

ф) равна расстоянию от на-

чала координат до прямой L, проходящей через точку (г, ф) и

126

ГЛАВА 7

перпендикулярной прямой К, которая образует угол в с осью х (рис. 6.1).

Если р{ i, 0) — лучевая сумма, связанная с прямой L, то ясно, что

математическая идеализация алгоритма суммирования, о котором было

сказано в самом начале данного раздела, заключается в том, чтобы соп-

оставить проекционным данным р оценку реконструкции &'

Сначала рассмотрим основные возражения против использования такой

процедуры в качестве алгоритма реконструкции, а затем (разд. 7.2) рас-

смотрим реализацию такой процедуры по конечным данным, с которыми

приходится иметь дело на практике.

В разд. 6.2. было указано, что обратное преобразование Радона можно

выполнить при помощи четырех последовательных операций: дифференци-

рования, преобразования Гильберта, обратного проецирования и норми-

ровки. Использование для реконструкции только обратного проецирования

мало обосновано и, по всей вероятности, должно приводить к размазыва-

нию изображения. Для того чтобы понять, как возникает подобное разма-

зывание, рассмотрим следующие наглядные рассуждения.

Допустим, что мы получили ряд проекций объекта, состоящего из

единственной точки. Результатом реконструкции по этим проекциям мето-

дом суммирования будет объект в форме звезды с центром в начале коор-

динат (рис. 7.1). Давайте получим равномерно распределенные в про-

странстве проекции точки по всем направлениям. По мере увеличения числа

проекций реконструкция по этим проекциям начнет все больше прибли-

жаться к распределению плотности, пропорциональной 1/г, где

г — расстояние от данной точки. Это связано с тем, что предельный слу-

чай суперпозиции ряда равномерно распределенных в пространстве пря-

мых, имеющих общую точку, является эквивалентом вращения прямой во-

круг этой точки. Статистический вес каждой точки равномерно распределя-

ется при вращении на окружности длиной

2тгг.

Эти наглядные соображения указывают на то, что при любой реализа-

ции алгоритма обратного проецирования, вероятно, будет происходить

размазывание четких деталей на реконструированном изображении. Одна-

ко,

кроме этого, имеется еще одна, более фундаментальная физическая

причина того, почему использование только одного этого алгоритма не

может быть принято в реконструктивной томографии.

Для того чтобы понять эту причину, вспомним элементарную физику.

Сущность данной причины состоит в том, что величина, получаемая при

помощи алгоритма обратного проецирования, имеет ошибочную размер-

ность.

Относительное линейное ослабление рентгеновского излучения, по-

лучаемое в реконструктивной томографии, имеет размерность обратной

длины. Это означает, что величина относительного линейного ослабления

рентгеновского излучения обратно пропорциональна принятой единице

длины, например либо 0,192 см

-1

, либо 19,2 м

-1

. В противоположность

этому лучевые суммы, имеющие смысл вероятностей, являются безразмер-

ными. Результат суммирования лучевых сумм [или даже интегрирования

по углу, см. выражение (6.14)] также будет безразмерной величиной. По-

АЛГОРИТМЫ ОБРАТНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

127

Рис. 7.1. Реконструкция отдельной точки, полученная при помощи алгоритма обрат-

ного проецирования. Каждая прямая соответствует проекции данной точки в опреде-

ленном направлении.

этому результаты, которые получаются при помощи алгоритма обратного

проецирования, не зависят от единицы длины, которые используются. Ес-

ли была получена приемлемая оценка распределения относительного линей-

ного ослабления, когда в качестве единиц длины был использован санти-

метр,

то возникнет ошибка в 100 раз, если в качестве единиц длины взять

метр.

В следующем разделе будет показано, что правильную размерность

получают путем введения соответствующей нормировки.

Для того чтобы понять, что подобное возражение не возникает при ис-

пользовании обратного преобразования Радона

&ё~

рассмотрим размер-

ность выходных величин после каждой из последовательности операций,

приведенных в выражении (6.16). Если р безразмерно, то Зур имеет

размерность обратной длины [см.

(6.11)].

Ни

у%

ни J#

ни нормировка не

изменяют этой размерности [см. (6.13) и

(6.14)].

Следовательно, &Р~

имеет ту же размерность, что и $ур, которая является правильной

размерностью относительного коэффициента линейного ослабления

рентгеновского излучения.

7.2.

РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРА ОБРАТНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Метод суммирования может быть реализован различными «аналоговы-

ми» устройствами. Например, можно использовать электронно-лучевую

трубку, на экране которой последовательно отображают линии; их поло-

жение соответствует тем пучкам рентгеновского излучения, для которых

производится измерение лучевых сумм. Информация с электронно-лучевой

трубки суммируется на фотографической пленке, причем плотность почер-

нения моделируется пропорционально величине лучевой суммы. Результи-

рующее изображение на фотопленке будет представлять собой реконструк-

цию,

полученную обратным проецированием.

Мы не будем рассматривать подобные аналоговые методы реконструк-

ции.

Наш интерес заключается в вычислении величины [Лр](г, ф) по дан-