Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии
Подождите немного. Документ загружается.
328
ГЛАВА 16
из чего вытекает, что
||
х
<*+1> -
z
\\2 = ||
X
(^D _
х
т +
х
см _
г
ц2
= ||
X
(^D _
х
<*>||2
+ 2
<
х
<*
+1
> -
Х
{к
\х
1к)
- 2} + ||х
(М
- Z||
2
< (1 - (2M
(fc)
))llx
(fc+1)
- х
(
*>||
2
+ ||x
(k)
- z||
2
.
Следовательно, ' '
||
Х
№+П _
Z
||2
+ ((2/AW)
_ DH^ft+l) _
X
(M||2 < ц
х
* _
Z
||2
B (16Л8)
Неравенство (16.78) было доказано в предположении, что
xl
k)
&N
ikf
од-
нако если х^еЛ/^, то х**
+ !)
= х
(А)
и условие (16.78) элементарным об-
разом удовлетворяется.
Из соотношения (11.10) получаем, что
и поэтому последовательность Их***
—
zfl
2
при А: = 0, 1, 2, ... никогда не
возрастает. Поскольку последовательность ограничена снизу, то
lim (Их**> - zl
2
) существует, и, следовательно, неравенства (16.78) и
(16.79) предполагают, что
lim
||
х
<*
+ 1
>_
х
«>ц2 = 0. (16.80)
Мы также получаем, что последовательность х*°\ х
(|
\ х*
2
\ ... ограничена.
Из ограниченности последовательности х*°\ х
(1
\ х*
2
\ ... следует, что су-
ществует по крайней мере одна бесконечная последовательность, сходящая-
ся к некоторому вектору, например к у. Покажем, что вектор у принадле-
жит множеству N и что у не зависит от вида последовательности, которая
была взята при ее формировании. Этим доказательство будет закончено.
Рассмотрим бесконечную последовательность х^
0)
, х
(1)
, х*
г)
, ... , которая
сходится к вектору у. Пусть / — произвольное целое число, где 1 ^ / ^ Р.
Теперь покажем, что.уеТУ,, если выполняется неравенство
<"„
УУ
~ 4i < е- (16.81)
для любого £ > 0. Пусть
/ = мин(1,£,)/||иЛ (16.82)
для произвольного значения е > 0 существует такой элемент х*
г)
, например
элемент бесконечной подпоследовательности х*°\ х
(1
\ х
(2
\ .... которая схо-
дится к вектору у, так что
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ
329
\\У
- *
(,,
И <
(f/2P)e. (16.83)
В силу условия (16.80) указанный элемент х*
г)
можно выбрать таким
об-
разом, чтобы Их*
5
+ J)
—
x*
5)
l
<
(//2Р)Е
для
всех значений
J ^ /.
Существу-
ет такое значение
s, для
которого справедливо
t ^ s < t + Р и / = /
5
. Для
данного
5
имеем
Еслих^^/V,,
то из
соотношения (16.74) следует,
что
1|И|Н
«1 £ 1
Если х**>
е
TV,
то
последнее неравенство автоматически удовлетворяется.
Используя неравенства (16.84)
и
(16.85), получаем
<иц У>
- *< =
<**■ У
~ x
(s)
+
x<
s)
>
- q
t
= <м
1
.,х^>-^
1
+
<п
|
,>'-х<
5
>>
<^ + Wlll)'-*
(s)
li <е, (16.86)
что доказывает неравенство (16.81). Поскольку у б N при произвольном
значении /, 1 < / ^ Р
9
то получаем, что у е N.
Предположим теперь, что существует другая последовательность, схо-
дящаяся к вектору .у
1
. Как и раньше, можно показать, что у
1
eN. Напом-
нив,
что для любого z е N предел lim (Их***
—
si
2
) существует, положим
к
— «ж
lim(Dx* - z\\
2
)
*"*°° (16.87)
а= lim(\\x
ik
>
- у\\
2
-
Wx*
1
-
у*\\
2
).
Используя последовательность, которая сходится
к
вектору
у,
получим
а
=
-ц^
_
>
,i||2
?
(16gg)
а используя другую последовательность, получим
«
= 11>'
!
~
У\\
2
- П6.89)
Следовательно,
а = 0и> = У, что
завершает данное доказательство.
330
ГЛАВА 16
ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ
Разд.
16.1 и 16.2 основаны на работе (65].
Материал разд. 16.3 почти полностью совпадает с работой Радона
[131].
Непре-
рывность функции / необязательна для существования обратного преобразования
Радона. Формулы обращения и соответствующие доказательства существуют для
широкого класса функций (например, [111, 114, 154]). Возможно также (по крайней
мере в принципе) обращение преобразования Радона, если оно известно лишь в ча-
сти области существования функций (работы [42, 108, 123, 134], а также библиогра-
фия к ним).
Существует более строгая формулировка вопросов, изложенных в разд. 16.4 (на-
пример, теорема 4.3 в работе [144]). Их выводы можно выразить следующей фра-
зой:
«Конечный набор радиограмм ничего не говорит нам в целом», однако это
лишь достаточно гр>6о перефразированный вариант точного математического ут-
верждения авторов. В частности, предполагая, что все функции изображения ограни-
чены одной и той же величиной (предположение достаточно разумное в реконструк-
тивной томографии), это позволяет оценить погрешность сверточного алгоритма,
которая не зависит от свойств изображения и стремится к нулю при увеличении чис-
ла ракурсов (например, [38]). Разрешение возникших противоречий может произойти
по направлениям, намеченным в конце разд. 16.4 (см. также работу [95]).
Математическое ожидание и дисперсию натурального логарифма от усеченного
пуассоновского распределения с большим значением параметра X можно вычислить
стандартными методами теории вероятности, как это делается, например, в
[126].
Обсуждение этого вопроса применительно к реконструктивной томографии содер-
жится в приложении В работы [11], в котором также даны некоторые ссылки на бо-
лее ранние работы. Результаты, получаемые с помощью соотношений (16.45) и
(16.46),
можно найти также в работе [126] [см. выражение (4.4) гл. 9 этой работы].
Изложение материала разд. 16.6 основано на работе [65].
Анализ математических вопросов, рассмотренных в разд. 16.7, можно найти
также, например, в книге [8]. Доказательство теоремы регуляризации дано по рабо-
те [29]. Сходимость релаксационных методов решения системы неравенств, анализи-
руемая для общего случая (разд. 11.2), следует из результатов, полученных в [54].
Приведенное в книге доказательство сходимости основано на работе [84], в которой
дана и некоторая дополнительная библиография.
Из последних работ, посвященных математическим аспектам и аспектам рекон-
структивной томографии, вышедшим на момент написания книги, читателю можно
порекомендовать труды конференции «Математические аспекты реконструктивной
томографии», проводившейся в г. Обервольфах (ФРГ) в феврале 1980 г. Книга вы-
шла под редакцией Г. Т. Хермена и Ф. Наттерера в издательстве Springer-Verlag, и в
ней,
в частности, содержится статья Г. Т. Хермена и Д. Вебстера под названием
«Поверхности органов в дискретном трехмерном пространстве», в которой уточня-
ется и дается строгое математическое обоснование материала, использованного в
гл.
15.
Иная методика изложения соответствующих математических разделов содер-
жится в работе П. П. Б. Эджермонта, Г. Т. Хермена и А. Лента «Итерационные ал-
горитмы для больших линейных дискретных систем с приложением к проблеме ре-
конструкции изображений» (технический отчет № MIPG40 группы обработки меди-
цинских изображений отдела вычислительной техники Университета штата Нью-
Йорк, Буффало, Амхерст). В этой работе приведена единственная теорема (с доказа-
тельством), из которой непосредственно вытекает сходимость таких на первый
взгляд различных итерационных процедур, как те, что изложены в гл. 11, 12 и 14 на-
стоящей книги.
Литература
1.
Altschuler М. D. Reconstruction of the global-scale three-dimensional solar corona.
In "Image Reconstruction Implementation and Applications" (G. T. Herman, ed.),
pp.
105-145. Springer-Verlag, Berlin and New York, 1979.
2.
Altschuler M. D.
f
Perry R. M. On determining the electron density distributions of
the solar corona from K-coronameter data, Sol. Phys., 23, 410-428 (1972).
3.
Altschuler M. D., Herman G. T. Fully-three-dimensional image reconstruction using
series expansion methods. In "A Review of Information Processing in Medical Im-
aging" (А. В. Brill et al., eds.), pp. 124-142. Oak Ridge National Laboratory, Oak
Ridge, Tennessee, 1977.
4.
Altschuler M. D. et al. Mathematical aspects of image reconstruction from proje-
ctions. Tech. Rept. MIPG36, Medical Image Processing Group, Dept. of Computer
Science, State University of New York at Buffalo, Amherst, New York, 1979.
5. Altschuler M. D., Chang Т., Chu A. Rapid computer generation of three-
dimensional phantoms and their cone-beam projections, Proc. Soc. Photo-Opt. Ins-
trum.
Eng., 173. 287-290 (1979).
6. Altschuler M. D. et al. Demonstration of a software package for the reconstruction
of the dynamically changing structure of the human heart from cone-beam x-ray
projections, Proceedings of the Hawaii International Conference on System Sciences,
13th Honolulu, Hawaii, 1980.
7. Andrews H. C, Hunt B. R. Digital Image Restoration, Prentice-Hall, Englewood
Cuffs,
New Jersey, 1977.
8. Apostol Т. M. Mathematical Analysis, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts,
1957.
9. Artzy E., Herman G. T. Boundary detection in three dimensions with a medical
application, Tech. Rept. MIPG9, Medical Image Processing Group, Dept. of Comp-
uter Science, State University of New York at Buffalo, Amherst, New York, 1978.
10.
Artzy E., Elfving Т., Herman G. T. Quadratic optimization for image reconstruction
II,
Comput. Graphics Image Processing, 11, 242-261 (1979).
11.
Barrett H. H., Gordon S. K., Hershel R. S. Statistical limitations in transaxial
tomography, Comput.
Biol.
Med.
t
6, 307-323 (1976).
12.
Barton J. P. Feasibility of neutron radiography for large bundles of fast reactor fuel.
Tech. Rept. IRT 6247-004, Instrumentation Research Technology Corporation, San
Diego, California, 1978.
13.
Bracewell R. N. Strip integration in radio astronomy, Aust. J. Phys. 9, 198-217
(1956).
14.
Bracewell R. N. Correction for collimator width (restoration) in reconstructive x-ray
tomography, /. Comput. Assisted Tomography, 1, 6-15 (1977).
15.
Bracewell R. N. The Fourier Transform and its Applications. 2nd ed., McGraw-Hill,
New York, 1978.
16.
Bracewell R. N. Image reconstruction in radio astronomy. In "Image Reconstruction
332
ЛИТЕРАТУРА
from Projections: Implementation and Applications" (G. T. Herman, ed.), pp. 81-
104.
Springer-Verlag, Berlin and New York, 1979.
17.
Bracewell R. N.. Riddle A. C. Inversion of fanbeam scans in radio astronomy, As-
trophys. /., 150, 427-434 (1967).
18.
Bracewell R. N., Wernecke S. J. Image reconstruction over a finite field of view, /.
Opt. Soc. Am., 65, 1342 (1975).
19.
Brigham E. O. The Fast Fourier Transform, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1974.
20.
Brooks R. A., DiChiro G. Principles of computer assisted tomography (CAT) in
radiographic and radioisotopic imaging, Phys. Med. BioL, 21, 689-732 (1976).
21.
Brooks R. A., Weiss G. H. Interpolation problems in image reconstruction, Proc.
Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng.
t
96, 313-319 (1976).
22.
Budinger T. F. Iceberg detection by radar. In
M
International Ice Observation and Ice
Patrol Service in the North Atlantic", Coast Guard Bulletin No. 45, pp. 49-97. Unit-
ed States Government Printing Office, Washington, D.C., 1960.
23.
Budinger T. F., Gullberg G. T. Reconstruction oy two-dimensional filtering of simple
superposition of transverse section image. "Technical Digest: Image Processing for
2-D and 3-D Reconstruction from Projections: Theory and Practice in Medicine and
Physical Sciences". Available from the Optical Society of America, Washington,
D.C.. 1975.
24.
Budinger T. F., Gullberg G. Т., Huesman R. H. Emission computed tomography, In
"Image Reconstruction from Projections: Implementation and Applications'*
(G. T. Herman, ed.), pp. 147-246, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1979.
25.
Budinger T. F. et al. Myocardial uptake of Rubidium-82 using positron emission
tomography, J. Nucl. Med., 20, 603 (1979).
26.
Butzer P. L., Nessel R. J. Fourier Analysis and Approximation, Vol. 1. Academic
Press,
New York, 1971.
27.
Censor Y., Henaan G. T. Row-generation methods for feasibility and optimization
problems involving sparse matrices and their applications. In "Sparse Matrix Proce-
edings 1978
й
(I. S.
Duff,
G. W. Stewart, eds.), pp. 197-219, SIAM. Philadelphia,
Pennsylvania, 1979.
28.
Chang T. Attenuation correction and incomplete projection in single photon emission
computed tomography, IEEE Trans, Nucl. ScL, NS-26, 2789 (1979).
29.
Chang Т., Herman G. T. Filter selection for the fan beam convolution algorithm.
Tech. Rept. No. MIPG6, Medical Image Processing Group. Department of Comput-
er Science, State University of New York at Buffalo, Amherst, New York, 1978.
30.
Chen A. C. M. et al., Five-second fan beam CT scanner., Proc. of
Soc.
Photo-Opt.
Instrum. Eng., 96, 294-298 (1976).
31.
Chesler D. A., RiedererS. J. Ripple suppression during reconstruction in transverse
tomography, Phys. Med. BioL, 20, 632-636 (1975).
32.
Christensen E. E., Curry T. S., Ill, Nunnally J. An Introduction to the Physics of
Diagnostic Radiology, Lea and Febiger, Philadelphia, Pennsylvania, 1973.
33.
Colsher J. G. Iterative 3-D image reconstruction from tomographic projections,
Comput.
Graphics Image
Processing,
6, 513-537 (1977).
34.
Cormack A. M. Representation of a function by its line integrals, with some
radiological applications, /. Appi Phys., 34, 1722-2727 (1963).
35.
Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Wiley (Intersc-
iency),
New York, 1953.
36.
Crowther R. A., DeRosier D. J., Klug A. The reconstruction of a three-dimensional
structure from projections and its application to electron microscopy, Proc. R. Soc.
London, A317, 319-340 (1970).
ЛИТЕРАТУРА
333
37.
Davis P. J., Rabinowitz P. Numerical Integration. Ginn (Blaisdell), Boston, Mas-
sachusetts, 1967.
38.
Davison E.
v
Grunbaum F. A. Convolution algorithms for arbitrary projection angles,
IEEE Trans. NucL Sci, NS-26, 2670-2673 (1979).
39.
Denton R. V., Friedlander В., Rockmore A. J. Direct three-dimensional image reco-
nstruction from divergent rays, IEEE Trans. NucL Sci.. NS-26. 4695-4703 (1979).
40.
Dreike P., Boyd D. P. Convolution reconstruction of fan beam projections, Comput.
Graphics Image
Processing,
5, 459-469 (1976).
41.
Edelheit L. S., Herman G. Т., Lakshminarayanan A.V. Reconstruction of objects
from diverging x-rays, Med. Phys., 4, 226-231 (1977).
42.
Ein-Gal M. The shadow transform: an approach to cross-sectional imaging. Tech.
Rept. No.
6851-1,
Center for Systems Research, Stanfrod University, Stanford,
California, 1974.
43.
Elfving T. A method for computing the maximum entropy solution of a linear syst-
em. Tech. Rept. LiTh-MAT-R-1978-4, Dept. of Mathematics, Linkoping University,
Linkoping, Sweden, 1978.
44.
Evans R. D. The Atomic Nucleus, McGraw-Hill, New York, 1955.
45.
Fuchs H., Kedem Z. M., Uselton S. P. Optimal surface reconstruction from planar
contours, Commun. ACM, 20, 693-702 (1977).
46.
Gilbert B. K. et al. Ultra high speed transaxial image reconstruction of the heart,
lung and circulation via numerical approximation methods and optimized processor
architecture, Comput. Biomed. Res., 12, 17-38 (1979).
47.
Gilbert P. Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object
from projections, J. Theor. BioL, 36, 105-117 (1972).
48.
Glenn W. V. et al. Image generation and display techniques for CT scan data, Invest.
RadioL, 10, 403-416 (1975).
49.
Glover G., Pelc N. The nonlinear partial volume artifact, J. Comput. Assisted
Tomography, 3, 573-574 (1979).
50.
Gordon R. A tutorial on ART (Algebraic Reconstruction Techniques), IEEE Trans.
NucL Sci., NS-21, 78-93 (1974).
51.
Gordon R., Herman G. T. Three-dimensional reconstruction from projections: a rev-
iew of algorithms. In "International Review of Cytology", Vol. 38 (G. H. Bourne,
J. F. Danielli, eds.), pp.
111-151,
Academic Press, New York, 1974.
52.
Gordon R., Bender R., Herman G. T. Algebraic Reconstruction Techniques (ART)
for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography, J. Theor. BioL,
29,
471-481 (1970).
53.
Greenleaf J. F.
f
Tu J. S., Wood E. H. Computer generated three-dimensional oscill-
oscopic images and associated techniques for display and study of the spatial distrib-
ution of pulmonary blood flow, IEEE Trans. NucL Sci., NS-17, 353-359 (1970).
54.
Gubin L. G., Polyak В. Т., Raik E. V. The method of projections for finding a
common point of convex sets, USSR Commit. Math. Phys., 7, 1-24 (1967).
55.
Gullberg G. T. Fan beam and parallel beam projection and back-projection operators,
Tech. Rept. LBL-5604, Lawrence Berkeley Laboratory, University of California, Berke-
ley, California, 1977.
56.
Gullberg G. T. The reconstruction of fan-beam data by filtering back-projection,
Comput.
Graphics Image
Processing,
10, 30-47 (1979).
57.
Halmos P. R. "Finite Dimensional Vector Spaces", 2nd ed. Van Nostrand-Reinhold,
Princeton, New Jersey, 1958.
58.
Hamaker C, Solmon D. The angles between the null spaces of x-rays, /. Math.
Anal. Appi., 62. 1-23 (1978).
59.
Hanson К. M. Proton Computed tomography. In "Computer Aided Tomography
334
ЛИТЕРАТУРА
and Ultrasonics in Medicine" (J. Raviv, J. F. Greenleaf, G. T. Herman, eds.)
t
pp.
97-106, North-Holland Publ., Amsterdam, 1979.
60.
Harris L. D. et al. Stereo display of computed tomographic data. In "Challenges and
Prospects for Advanced Medical Systems" (H. E. Emlet, Jr., ed.), pp. 127-135,
Miami Symposia Specialists, Inc. Miami, Florida, 1978.
61.
Herman G. T. Two direct methods for reconstructing pictures from their projections:
a comparative study, Comput. Graphics Image Processing 1, 123-144 (1972).
62.
Herman G. T. Reconstruction of binary patterns from a few projections. In "Inter-
national Computing Symposium 1973
й
(A. Gunther, B. Levrat, H. Lipps, eds.), pp.
371-379, North-Hollan Publ., Amsterdam. 1973.
63.
Herman G. T. A relaxation method tor reconstructing objects from noisy x-rays,
Math.
Programming, 8, 1-19 (1975).
64.
Herman G. T. An introduction to some basic mathematical concepts in computed
tomography. In "Roentgen-Video Techniques for Dynamic Studies of Structure and
Function of the Heart and Circulation" (P. H. Heintzen, Т. M. Bursch, eds.). pp.
253-260, Thieme, Stuttgart, 1978.
65.
Herman G. T. Correction for beam hardening in computed tomography, Phys. Med.
Bid., 24, 81-106 (1979).
66.
Herman G. T. Demonstration of beam hardening correction in computerized recons-
truction of head cross-section, J. Comput. Assisted Tomography, 3, 373-378 (1979).
67.
Herman G. Т., ed. Image Reconstruction from Projections: Implementation and
Applications, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1979.
68.
Herman G. T. On modifications to the algebraic reconstruction techniques, Comput.
Biot. and Med., 9, 271-276 (1979).
69.
Herman G. T. Representation of 3-D surfaces by a large number of simple sun ace
elements, Tech. Rept. MIPG26, Medical Image Processing Group, Dept. of Comput-
er Science, State University of New York at Buffalo, Amherst, New York, 1979.
70.
Herman G. T. Principles of reconstructing algorithms. In "RadioloRv of Skull and
Brain". Vol. 5 (G. Potts, T. H. Newton, eds.), С V. Mosby, St. Louis, Missouri,
1980.
71.
Herman G. Т., Lent A. Iterative reconstruction algorithms, Comput., Bid. and
Med., 6, 273-294 (1976).
72.
Herman G. Т., Lent A. Quadratic optimization for image reconstruction I., Comput.
Graphics Image Processing, 5, 319-332 (1976).
73.
Herman G. Т., Lent A. A family of iterative quadratic optimization algorithms for
pairs of inequalities with application in diagnostic radiology, Math. Programming
Study, 9, 15-29 (1978).
74.
Herman G. Т., Liu H. K. Display of three-dimensional information in computed
tomography, J. Comput. Assisted Tomography, 1, 155-160 (1977).
75.
Herman G. Т., Liu H. K. Three-dimensional display of human organs from comput-
ed tomograms, Comput. Graphics Image Processing, 9, 1-21 (1979).
76.
Herman G. Т., Lung H. P. Reconstruction from divergent beams: a comparison of
algorithms with and without rebinning, Proc. Seventh New England (Northeast) Bi-
oengineering Conference, Troy, New York (L. T. Ostrander, ed.), pp. 351-354, Instit-
ute of Electrical and Electronic Engineers, New York, 1979.
77.
Herman G. Т., Naparstek A. Fast image reconstruction based on a Radon inversion
formula appropriate for rapidly collected data, SI AM J. Appi. Math., 33, 511-533
(1978).
78.
Herman G. Т., Rowland S. W. Three methods for reconstructing objects from x-
ravs:
a comparative studv, Comput. Graphics Image Processing. 2, 151 178 (1973).
ЛИТЕРАТУРА
335
79.
Herman G. Т., Rowland S. W. SNARK77: a programming system for image recons-
truction from projections. Tech. Rept. No. 130, Dept. of Computer Science, State
University of New York at Buffalo, Amherst, New York, 1978.
80.
Herman G. Т., Simmons R. G. Illustration of a beam hardening correction method
in computerized tomography, Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng., 173, 264-270
(1979).
81.
Herman G. Т., HurwitzH., Lent A. A storage efficient algorithm for finding the
regularized solution of a large inconsistent system of equations, Tech. Rept.
MIPG14, Medical Image Processing Group, Dept. of Computer Science, State Unive-
rsity of New York at Buffalo, Amherst, New York. 1978.
82.
Herman G. T. et al. On the Bayesian approach to image reconstruction. Inf.
Control, 42, 60-71 (1979).
83.
Herman G. Т., Lakshminarayanan A. V., Rowland S. W. The Reconstruction of ob-
jects from shadowgraphs with high contrast, Pattern
Recognition.
7, 157-165 (1975).
84.
Herman G. Т., Lent A., Lutz P. H. Iterative relaxation methods for image recons-
truction, ACM
f
75, Proc. Ann.
Conf.
Minneapolis, Minnesota, pp. 169-174, 1975.
85.
Herman G. Т., Lent A., Lutz P. H. Relaxation methods for image reconstruction,
Comm.
ACM, 21, 152-158 (1978).
86.
Herman G. Т., Rowland S. W., Yau M. M. A comparative study of the use of linear
and modified cubic spline interpolation for image reconstruction, IEEE
Trans.
Nucl.
Sci., NS-26, 2879-2894, 1979.
87.
Hinderling T. et al. Copmuted tomography reconstruction from hollow projections:
an application to in vivo evaluation of artificial hip joints, J. Comput. Assisted
Tomography, 3, 52-57 (1979).
88.
Hounsfield G. N. A method and apparatus for examination of a body by radiation
such as X or gamma radiation, Patent Specification 1283915. The Patent Office,
London, England, 1972.
89.
Hounsfield G. N. Computerized transverse axial scanning tomography: Part I, descri-
ption of the system, Br. J. Radio I.. 46, 1016-1022 (1973).
90.
Huang S. C, Phelps M. E., Hoffman E. J. Effect of out-of-field objects in trans-
axial reconstruction tomography. In "Reconstruction Tomography in Diagnostic
Radiology and Nuclear Medicine" (M. M. Тег-Pogossian et al., eds.), pp. 185-198,
University Park Press, Baltimore, Maryland, 1977.
91.
Huesman R. H. et al. "RECLBL Users Manual — Donner Aigontnms tor Reconstru-
ction Tomography", Lawrence Berkeley Laboratory Publication PUB214, Berkeley,
California, 1977.
92.
Hurwitz H., Jr., Rumbaugh J. E. Comparison of point response function and Baye-
sian criteria in image reconstruction, Rept. No. 76CRD207 General Electric
Corporate Research and Development, Schenectady, New York, 1977.
93.
Joseph P. M., Spital R. D. A method for connecting bone induced artifacts in comp-
uted tomography scanners, J. Comput. Assisted Tomography, 2, 100-108 (1978).
94.
Kaczmarz S. Angenaehrte Aufloesung von Systemen linearer Gleichungen, Bull. Int.
Acad.
Pol. Sci. Lett., A, 355-357 (1937).
95.
Katz M. B. "Questions of Uniqueness and Resolution in Reconstruction from Proje-
ctions", Springer-Verlag, Berlin and New York, 1978.
96.
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Fun-
ctional Analysis, Vol. 1 (1957), Vol. 2 (1961), Gravlock Press, Baltimore, Marvland.
97.
Kowalski G. Fast 3-D scanning systems using a limited tilting angle, Appl. Opt., 16,
1686-1690 (1977).
336
ЛИТЕРАТУРА
98.
Kuhl D. E., Edwards R. Q., Image separation radioisotope scanning, Radiology, 80,
653-662 (1963).
99.
Lai C, Shook J. W., Lauterbur P. C. Microprocessor-controlled reorientation of
magnetic field gradients for NMR zeugmatographic imaging, Chem. Biomed.
Environ. Instrum.
t
9, 1-27 (1979).
100.
Lakshminarayanan A. V. Reconstruction from divergent ray data, Tech. Rept. No.
92,
Dept. Computer Science, State University of New York, at Buffalo, Amherst,
New York, 1975.
101.
Lakshminarayanan A. V., Lent A. Methods of least squares and SIRT in reconstru-
ction, J. Theor. BioL, 76, 267-295 (1979).
102.
Lauterbur P. C- Medical imaging by nuclear magnetic resonance zeugmatography,
IEEE
Trans.
Nucl. Sci., NS-26, 2808-2811 (1979).
103.
Ledley R. S.
f
Park С. M. Molded picture representation of
whole
body organs generated
from CT scan sequences, Proc. 1st Annual Symposium of Computer Applications
in Medical Care, Washington, D.C., pp. 363-367, 1977.
104.
Ledley R. S. et al. Computerized transaxial X-ray tomography of the human body,
Science, 186, 207-212 (1974).
105.
Lent A. A convergent algorithm for maximum entropy image restoration, with a
medical x-ray application. In "Image Analysis and Evaluation'* (R. Shaw, ed.), pp.
249-257. Society of Photographic Scientists and Engineers, Washington, D.C., 1977.
106.
Lent A., Censor Y. Extensions of Hildreth's row generation method for quadratic
programming, SI AM J. Control Optimization (1980), to appear.
107.
Levine R. D., Tribus M., eds. "The Maximum Entropy Formalism", MIT Press.
Cambridge, Massachusetts, 1979.
108.
Lewitt R. M. Processing of incomplete measurement data in computed tomography,
Med. Phys., 6, 412-417 (1979).
109.
Lewitt R. M., Bates R. H. T. Image reconstruction from projections: III projection
completion methods (theory). Optik
t
50, 189-204 (1978).
110.
Liu H. K. Two and three-dimensional boundary detection, Comput.
Graphics
Image
Processing,
6, 123-134 (1977).
111.
Ludwig D. The Radon transform on Euclidean Space, Commun. Pure Appl. Math.,
19,
49-81 (1966).
112.
Luenberger D. G. Optimization oy Vector Space Methods, Wiley, New York, 1969.
113.
Lutz P. H. Fourier image reconstruction incorporating three simple interpolation
techniques, Tech. Rep. 104, Dept. of Computer Science, State University of New
York at Buffalo, Amherst, New York, 1975.
114.
Macovski A. et al. Energy dependent reconstruction in x-ray computerized
tomography, Comput. Biol. Med.
%
6, 325-336 (1976).
115.
Marr R. B. On the reconstruction of a function on a circular domain from a
sampling of its line integrals, J. Math. Anal. Appl.
t
45, 357-374 (1974).
116.
Mazziotta J. C, Huang H. K. THREAD (Three-dimensional reconstruction and
display) with biomedical applications in neuron ultrastructure and computerized
tomography, Am. Fed.
Information Processing
Soc., 45, 241-250 (1976).
117.
Mersereau R. M. Direct Fourier transform techniques in 3-D image reconstruction,
Comput.
Biol.
Med., 6. 247-258 (1976).
118.
Metz С E., Starr S. J., Lusted L. B. Quantitative evaluation of visual detection pe-
rformance in medicine: ROC analysis and determination of diagnostic benefits. In
"Medical Images: Formation, Perception and Measurement" (G. A. Hay, ed.), pp.
220-241.
The Institute of Physics, London and Wiley, New York, 1976.
119.
Miner bo G. MENT: A maximum entropy algorithm for reconstructing a source from
projection data, Comput.,
Graphics
Image
Processing,
10, 48-68 (1979).
ЛИТЕРАТУРА
337
120.
Minerbo G. Convolution^ reconstruction from cone-beam projection data, IEEE
Trans, Nucl. Sci., NS-26, 2682-2684 (1979).
121.
Minerbo G. N.. Sanderson J. G. Reconstruction of a source from a few (2 or 3)
projections, Tech. Rept. LA-6747-MS. Los Alamos Scientific Laboratory of the
University of California, Los Alamos, New Mexico, 1977.
122.
Moore W. E., Garmire G. P. The X-ray structure of the Vela supernova remnant,
The Astrophys. У., 199, 680-690 (1975).
123.
Nalciouglu O., Cho Z. H., Lou R. Y. Limited field of view reconstruction in comp-
uterized tomography, IEEE Trans. Nucl. Sci.
t
NS-26, 546-551 (1979).
124.
Oldendorf W. H. Isolated flying-spot detection of radiodensity discontinuities;
displaying the internal structural pattern of a complex object., IRE Trans. Bio-Med.
Electron., BME-8, 68-72 (1961).
125.
Openheim В. E. Reconstruction tomography from incomplete projections. In "Reco-
nstruction Tomography in Diagnostic Radiology and Nuclear Medicine" (M. M. Ter-
Pogossian et al., eds.), pp. 155-183. Univ. Park Press, Baltimore, Maryland, 1977.
126.
Parzen E. Modern Probability Theory and Its Applications., Wiley, New York, 1960.
127.
Pavkovich J. Apparatus and method for reconstructing data, U.S. Patent 4149248,
Patent Office, Washington, D.C., 1979.
128.
Perry R. M., Altschuler M. D., Altschuler B. R. Medical image reconstruction: mu-
ltiangular section roentgenography by computer NCAR Tech. Note
NCAR-TN/STR108, High Altitude Observatory, National Center for Atmospheric
Research. Boulder. Colorado, 1975.
129.
Phelps M. E., Hoffman E. J., Тег-Pogossian M. M. Attenuation coefficients of
various body tissues, fluids, and lesions at photon energies of 18 to 136 keV,
Radiology, 117, 573-583 (1975).
130.
Rabiner L. R., Gold B. Theory and Application of Digital Signal Processing.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.
131.
Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewis-
ser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verb. Saechs. Akad. Wiss., Leipzig» Math. Phys. Kl.
t
69,
262-277 (1917).
132.
Radulovic P. Т., Vest С. M. Determination of three-dimensional temperature fields
by holographic interferometry, Tech. Rept. INTFL-7601, Interferometry Laboratory,
Dept. of Electric Engineering, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan,
1976.
133.
Raiston A., Meek C. L., eds. Encyclopedia of Computer Science. Petrocelli/Charter,
New York, 1976.
134.
Raiston A., Rabinowitz P. A First Course in Numerical Analysis, 2nd ed. McGraw-
Hill, New York, 1978.
135.
Ramachandran G. N., Lakshminarayanan A. V. Three-dimensional reconstruction
from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of
Fourier transforms, Proc. Nat.
Acad.
Set. U.S., 68, 2236-2240 (1971).
136.
Raviv J., Greenleaf J. F., Herman G. Т., eds. Computer Aided Tomography and
Ultrasonics in Medicine., North-Holland Publ., Amsterdam, 1979.
137.
Ritman E. L. et al. Quantitative imaging of the structure and function of the heart,
lungs and circulation, Mayo Clinic Proc, 53, 3-11 (1978).
138.
Robb R. A., Harris L. D., Ritman E. L. Computerized x-ray reconstruction
tomography in stereometric analysis of cardiovascular dynamics, Proc. Soc. Photo-
Opt. Instrum. Eng.
t
89, 69-82 (1976).
139.
Rockmore A. J., Macovski A. A maximum likelihood approach to image reconstru-
ction, Proc. Joint Automatic Control Conference, San Francisco, California, pp.
782-786 (1977).