Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

318

ГЛАВА 16

Тогда для всех значений £ и при 0 ^ т ^ М имеем

[#<*](', тп/М) = 0. (16.35)

Чтобы убедиться в справедливости полученных выражений, обратимся

к приведенному ранее определению преобразования Радона [формула

(6.4)].

Рассмотрим сначала случай, когда £ Ф 0; при этом

лоо

[ЖКЛтп/М) = diy/t

+ z

,(тп/М) + 1ап-*(г/<0) dz

J-O0

f 0 при f >

sm(nJt

+ z

/S)sm(mn + М arctg (z/<0) dz

при 0 < t < 8. (16.36)

Легко заметить, что при условии 0 < / < б подынтегральное выражение в

(16.36) является нечетной функцией z, т.е. его величина изменяет свой знак

при замене z на — z, и поэтому данный интеграл также равен нулю.

Окончательно при условии £ = 0 и с использованием определения

(16.34) получаем

/•00

|W|(0,

тп/М) = d(z, (mrr/M) + \п) dz (16.37)

= Г d(-Z,(^7r/M)-^)Jz

+ \d(z

(тп/М) + £тс) dz

= sin(7r|z|/<5)sin(mtt - $Mn)dz

+ sin(7t

| z

\/S)sin(mn + \Mn)dz

= 0. (16.38)

и, таким образом, справедливость равенства (16.35) доказана для всех зна-

чений £ и 0 ^ т ^ М.

Теперь отметим, что с/

—

непрерывная функция изображения и

</(($/2,7Г/2М) = 1. (16.39)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

319

Более того, операции умножения координат на постоянную величину при

изменении масштаба и (или) их трансляции не сказывается на свойствах

функции d, определяемой равенством (16.35). Следовательно, выбирая ве-

личину 6 достаточно малой, можно определить непрерывную функцию изо-

бражения е, удовлетворяющую условиям (16.32) и (16.33) и являющуюся

суммой из К измененных по масштабу и сдвинутых функций d.

На первый взгляд может показаться, что доказанное отрицает возмож-

ность построения реконструкции при наличии конечного набора ракурсов,

однако такой вывод противоречил бы уже практическим примерам успеш-

ной реконструкции изображений по конечному набору ракурсов.

Разрешение указанных противоречий между теорией и практикой лежит

на пути исследования свойств функции </, определенной с помощью соотно-

шения (16.34). Видно, что при больших значениях М функция быстро ос-

циллирует: в круговой области с радиусом 6/2 она описывается гармони-

ческой функцией ф с частотой М/2т, или, что эквивалентно, функцией с пе-

риодом 2тг/М. Если величину М выбрать настолько большой, чтобы в ин-

тересующих нас объектах отсутствовали бы области столь сильных про-

странственных осцилляции или же они присутствовали, но мы не стреми-

лись бы их воспроизвести, то существовало бы основание предполагать,

что с помощью использованных алгоритмов можно выбрать из бесконеч-

ности множества возможных решений единственное, которое совпадает с

реально наблюдаемым изображением. В частности, если требуется тож-

дественность реконструированного и исходного изображений только после

их частичного размытия, которое выполняется, например, путем много-

кратного применения к ним сглаживающей матрицы согласно разд. 12.3

или,

что предпочтительней, путем соответствующих непрерывных преоб-

разований, то наложение функции d на/ не приведет ни к каким значениям,

поскольку «размытые» функции/ и/ + d неразличимы между собой. Ана-

логичные соображения можно высказать и по отношению к другим мате-

матическим выводам относительно невозможности реконструкции изобра-

жения по конечному набору ракурсов (см. примечания и ссылки в конце на-

стоящей главы).

16.5.

АНАЛИЗ СТАТИСТИКИ ФОТОНОВ

В данном разделе будет приведено доказательство математического ут-

верждения, касающегося статистики фотонов и не доказанного в разд. 3.1.

Вначале покажем, что число фотонов, которые имеют фиксированное

значение энергии е, достигают детектора без какого-либо поглощения или

рассеяния и регистрируются детектором, является выборкой случайного

пуассоновского процесса с параметром \ра (определения и обозначения ве-

личин см. в разд. 3.1).

Вероятность того, что источник в единицу времени излучает в точности

у фотонов с энергией е, равна

320

ГЛАВА 16

Ру{у) = ехр( - к)к

/у!. (16.40)

что совпадает с выражением (3.1). Вероятность того, что один из упомяну-

тых фотонов будет зарегистрирован детектором без предварительного по-

глощения или рассеяния, равна ра. Следовательно, вероятность регистра-

ции детектором х из у фотонов без их поглощения или рассеяния дается,

согласно формуле (1.3), соотношением

Х)

\{уЩх\{у - хУ

при X < 0 или х > у,

Жра)

раУ~

при 0 £ х < у.

(16.41)

Следовательно, полная вероятность регистрации детектором в единицу

времени в точности х фотонов с энергией е без их поглощения или рассея-

ния равна

Рх(х) = I РЛУ)Р

(Х)

o 1.

= ехр(—Я) — ехр(А

—

кро)

х!

= ехр( - кро)

-^-

- , (16.42)

х!

причем здесь мы использовали разложение экспоненты exp(z) по степеням

z. Полученные выражения, как это и требовалось, свидетельствуют о том,

что х является выборкой случайного пуассоновского процесса X с парамет-

ром Х/нт.

Теперь приведем вывод использованных соотношений (3.6) и (3.7), для

чего необходимо обсудить особенности случайной функции, представляю-

щей собой натуральный логарифм от случайной величины, распределенный

по пуассоновскому закону (разд. 1.2). В этом состоит принципиальная

трудность, поскольку при выборке пуассоновского процесса возможно по-

явление нулевых значений, при которых функция In не определена. При

практических расчетах обычно имеют дело с такой случайной пуассонов-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

321

ской функцией, параметр

которой достаточно велик, так

что

вероятность

получения нулевого отсчета, вернее, величины, пропорциональной ехр(-Х),

ничтожно мала.

Мы

можем, таким образом, ввести модифицированное

распределение Пуассона

Z, все

исходы которого

—

положительные целые

числа,

вероятности

(х) и p

(x)

весьма близки

для

всех положительных

целых чисел

х.

Простой способ реализации этого

—

определить

(\) в ви-

де

(\) = p

(Q) +

PjfU)- Указанное распределение

будем называть усе-

ченным случайным пуассоновским распределением

параметром

свойст-

ва которого будут пояснены ниже.

Если

—

усеченное случайное пуассоновское распределение

большим

значением параметра X

и К

lnZ

то

/I»,

- In

- 1/2Я,

(16.43)

* 1/А.

(16.44)

Точный смысл полученных выражений состоит

в том, что

существуют

такие постоянные

с и

Л, для которых при всех

> Л

абсолютные различия

величин

правых

левых частях (16.43)

(16.44) становятся меньше

с/Х

Доказательство данного утверждения выходит

за

рамки книги.

Еще одно положение, которое

мы

используем, состоит

следующем:

если А',,...

, Х

—

независимые случайные величины,

то

Их, ■►■.•+

х„ = /*xi

+••■

/<х

, (16.45)

Х1 +

+ Хи

Х1

+---+

Хп

(16.46)

что является элементарным результатом теории вероятности, поэтому

до-

казательство здесь опущено.

Используя соотношение

(2.2) в

сочетании

анализом разд. 3.1, замеча-

ем,

что

монохроматическую лучевую сумму

можно представить

виде

(х

/х )

= ~

,п

) К = -l

*i + 1° *2 +

1п

*э -

1п

*4,

(16.47)

(*з/х

)

где

Л;,

дг

и х

представляют собой выборочные значения случайной

пу-

ассоновской функции

от

переменных

, Х

и Х

параметрами

QdKWd* *2

4>г\(>г

г*

*з

4>d\Pc

и Л

\(>г

соответствен-

но.

Предполагая,

что

число зарегистрированных детектором фотонов

на-

столько велико, чтобы можно было считать случайные функции

Z,, Z

, Z

усеченными случайными пуассоновскими функциями

соответствую-

щими параметрами, получаем, что

является выборочным значением слу-

чайной функции

Л/,

равной

= -In Zi + In Z

+ ln Z

- ln 7

(16.48)

322

ГЛАВА 16

Поскольку, очевидно, дисперсии появления отрицательных

положитель-

ных случайных значений одинаковы

= V_

), то из

соотношений

(16.43)

—

(16.46) следует,

что

^— +-+—+—. 06-50)

Л-l ^2 ^3 ^4

Переписывая выражение

(3.8) в

виде

T-

T-'

(1651)

ъ л*.

из формул (16.49)

(16.50) можно получить

(3.6) и (3.7)

соответственно.

16.6.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ДЛЯ ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИХ ЛУЧЕВЫХ СУММ

Ниже будет доказана справедливость формулы (3.10).

Предположим,

что для

полихроматического рентгеновского пучка число

фотонов

энергией

е,

распространяющихся

от

источника

детектору

процессе калибровочных

реальных измерений, приблизительно равно

Согласно соотношению (16.6), число фотонов

энергией е

зарегистриро-

ванных детектором

процессе калибровочных измерений, равно

ехр

- j ^(z) dz ,

(16.52)

где

— квантовая эффективность детектора

для

энергии

е, а к

является

сокращенным обозначением

= ехр - Г ц

(г) dz ехр - | \ф) dz

(16.53)

Величина fi

(z) определена

разд.

3.2.

Поскольку

— общее число фотонов (при любой энергии), зарегистри-

рованных

процессе калибровочных измерений,

то

детектируемый спектр

равен

т, = TjC

(16.54)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

323

Следовательно,

= -In А

/С

- - In П S

exp\ - j fi

(z)dz\de/C

^ -ln|J 7;ехр| - £W) - £)dz\ de/cl (16.55)

откуда, имея в виду формулу (16.54), получаем соотношение (ЗЛО).

Обсудим далее иной способ определения чисел Хаунсфилда, при кото-

ром используется не величина относительного линейного ослабления рент-

геновского излучения фиксированной энергии, а взвешенное среднее значе-

ние по всем энергиям относительного линейного ослабления рентгеновско-

го излучения, причем характер взвешивания определяется в процессе калиб-

ровочных измерений. Упомянутое взвешенное среднее значение определяет-

ся соотношением вида

/<(*,

У)

= *,/<*(-*,

У)

de. (16.56)

Введение данного определения обусловлено особенностями сканеров ре-

конструкционных томографов с водяной баней фиксированной длины. При-

этом полихроматическая лучевая сумма дает хорошее приближение для ин-

теграла

fi(x

у) без какой-либо коррекции, поэтому в формуле обращения

Радона для оценки /х(дг, у) можно использовать полихроматические значе-

ния проекций.

Однако в этом случае функция р(х, у) совпадает с функцией д-(х, у) при

условии, что значение е берут равным значению так называемой эффектив-

ной энергии для спектра

данного эталонного материала (в нашем случае

воды),

а энергия е такова, что

/4' =

Wide.

(16.57)

Таким образом, функцию

/*(дг,

у), определяемую выражением (16.56), мож-

но заменить относительным линейным ослаблением рентгеновского излу-

чения при эффективном значении энергии е, возвратись к прежнему опреде-

лению чисел Хаунсфилда.

16.7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В данном разделе будет доказана теорема регуляризации, использован-

ная нами в разд. 8.1. При этом вначале необходимо выяснить смысл поня-

тия «хорошей» функции ф в точке v.

324

ГЛАВА 16

Будем говорить, что функция достаточно «хорошая» в точке t\ если вы-

полняются следующие условия:

ф{и) = О при \и\ > £, (16.58)

ф(и) du существует, (16,59)

\Ф0>

- t) -

<Kv

+ 01

lim

dt также существует . (16.60)

Здесь и далее интегралы понимаются в смысле Римана.

Покажем вначале, что если функция

достаточно «хорошая» в точке v

то величина ИОД(и), определяемая соотношением (8.7), существует. Имеем

= - lim du (16.61)

* £-0 Л f

которая с учетом условия (16.60) действительно существует. Последнее из

приведенных в (16.61) равенств получено заменой переменных и = v

—

t и

м = и + г соответственно в двух предыдущих интегралах.

Из полученных выше соотношений легко вывести следствие, которое в

математическом анализе известно как лемма Римана

—

Лебега для абсо-

лютно интегрируемых функций, т.е.

lim <ftu - О Л= — — -А, (16.62)

В-»оо J-oo f Jo ^

которая в сочетании с выражением (16.61) дает альтернативное представле-

ние для величины

1%?Ф](и)

что будет сделано несколько ниже. Указанное

представление будет особенно полезно для доказательства теоремы регуля-

ризации.

Пусть G

—

функция, определяемая соотношением вида

(U) = -2 |

<Ku)sin(2n(v

- u)V) du. (16.63)

Используя условия (16.S8) и (16.59), для любых В > 0 имеем

Г GJU) dV = -2 Г М </<

)sin(2n(t) - u)t/)

<to J

<Ш

= -2 Г ф(ы)( I" sin(2jr(i> - u)f)

<Ш J

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

325

1 - cos 2nB(v - и) ,

= - -

Ф(и)

- г——. du

rcj-oc (^ - и)

If* 1 - cos 2яВг ,

= - - Ф& - 0 *, (1^.64)

^ J-oc '

где последний переход получен с помощью замены переменных и = v

—

Поскольку в соответствии с формулой (16.62) предел левой части выра-

жения (16.64) существует в пределе В

—

оо, то, используя (16.61), получаем

Г G

(U)dU = |\#£|(i0. (16.65)

Правые части соотношений (16.65) и (8.9) совпадают, и нам теперь не-

обходимо доказать тождественность их левых частей. Используя соотно-

шение (8.10), получаем следующие выражения:

Лео

1Ф *

РлШ = Рл(» - иЩи) du

•'-со

= f -2 Г F,,((/)siii(2icC/(f; - и)) dV Ши) du

= f F

(U)\ -2 Г

ф(иУ*п(2п(у

- u)U) du dU

rA/2

(U)GjiU)dU. (16.66)

Теперь необходимо показать, что правая часть полученного выражения

(16,66) стремится к значению левой части (16.65) при А

—

оо, т.е. что

1ип^(и) = 0, (16.67)

А-+ао

где

/•со рА/2

<М») =

(U)dU-

(u)GJiU)dU

Jo Jo

pA/2 ACO

= [1 F

(U)]GJLU)dU+ \

{U)dU.

(16.68)

Jo JA/2

Пусть e — произвольное, но фиксированное положительное веществен-

ное число; тогда существует такое вещественное число

ЛГ(г),

что для любо-

го С ^ N(e) справедливо неравенство

326

ГЛАВА

(U)dU<e.

Пусть А > 2N(e)

тогда

(16.69)

ФлЬ)

= [1 - F

(Uy]GAU)dU + [1 - F

(Uy]G

(U)dU

Jo JNU>

+ Г G,(U)

dU.

JA/2

(16.70)

Как это устанавливается теоремой регуляризации, функция F

(U) моно-

тонно не возрастает и лежит в интервале 0 ^ F

(U) ^ 1, откуда следует

монотонное невозрастание функции 1

—

(U) и условие 0 < [1 —

- F

(U)] < 1. Кроме того, функция G

(U) непрерывна, поэтому можно

применить к римановским интегралам теорему о среднеквадратичном зна-

чении и получить, что

[I - F

{V)\GJVU)dU = [1 - F

(N(em

(U)dU,

(16.71)

Jo Je

для некоторых значений а, лежащих в интервале 0 < а < N(c), а также

[1 - F

(UftG

W) dU = [1 - F

(A/2y] Г

(U)

dU, (16.72)

JN[t)

для некоторых значений b, лежащих в интервале N(e) < b < А/2.

Из выражений (16.70) — (16.72) получаем, что

GJV)dU

Jа

Г"'

+ [I - ГЛ/1/2)] GJU)dU

J/1.2

- W(.

.ч.)я|/;ч

Ш)</1/

+ 3£

(16.73)

[см.

также условие (16.69)].

Отметим, что величина N(E) не зависит от значений А, поэтому от них

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

327

N(e)

не зависит и величина интеграла (

(U)dU.

В соответствии с условиями

теоремы регуляризации lim F

[N(e)] = 1, и поэтому первый член в пра-

А — о»

вой части неравенства (16.73) стремится к нулю при А — оо. Поскольку ве-

личина е выбирается произвольной, то предел (16.67) существует, и доказа-

тельство теоремы регуляризации становится полным.

16.8.

СХОДИМОСТЬ РЕЛАКСАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ

Ниже мы приведем доказательство того, что алгоритм, описываемый

выражениями (11.8) — (11.10), обеспечивает сходимость решения к элемен-

ту N, определяемому в соответствии с выражениями (11.6) и (11.7).

Следуя методике гл. 11, предположим, что Ил,! Ф 0 при 1 < / < Р.

Обозначения, использованные в разд. 11.2, будут применяться без после-

дующих повторных итераций.

Пусть к — неотрицательное целое число, такое, что

№&N

тогда

|lv<*

—

>l!

—

Ь(*>

Ч* \'Ч*

\\n

и,,

(4,

-^,x<*>>)

= (Я

(М)2 Wfc Viy /)_

(16 ?4)

Пусть также z — произвольный вектор, принадлежащий множеству N.

Используя положительность Х

(

*\ а также тот факт, что <n

, z) < q

х*

к)

) > q

ik9

получим

KII

<и

г>

^ КИ

«•»■

(,бЛ5)

Комбинируя два последних выражения, имеем

<х**

- х<*\ х«> - Z> =

А<*>

*Ll^<^^!!!>

<и Х

(м _

Г>

ItWiJr

им

2 (<

> "

,к)

кн

= -

,», Ч***"-*'

"!!

. .(16.76)