Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.

15.11.

Проекции четырех синтезированных поверхностей спинного мозга.

—

с использованием рабочего поля из 96 х 96 элементарных объемов (полное изображение

спинного мозга); б

—

с использованием рабочего поля из 48 х 96 элементарных объемов (поло-

винное изображение спинного мозга). Изображения слева получены по серии из

срезов толщи-

ной 5 мм, изображения справа

—

из 8 срезов толщиной 1,5 мм.

Рис. 15.12. Проекции четырех синтезированных поверхностей спинного мозга с раз-

личной их ориентацией.

Изображения аналогичны изображениям рис.

15.11.

ТРЕХМЕРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ 309

Изложенный в данной главе материал близок к работам [9, 67, 75], к которым

можно обращаться за необходимыми ссылками на более ранние публикации.

Медицинские данные были предоставлены д-ром В. Кинкелем из Стоматологиче-

ского неврологического института при Госпитале Милларда Филмора, Буффало, шт.

Нью-Йорк и д-рами Д. К. Хеммни, В. М. ХаутономиА. Л. Укльямсом из Висконсин-

ского медицинского колледжа, Миллуоки, шт. Висконсин.

16.

Математические выкладки

Стремясь сохранить стройность изложения, мы, как правило, опускали

доказательства математических положений, встречающихся в предыдущих

главах. В данной главе этот недостаток будет частично восполнен в той

последовательности, в которой эти доказательства появлялись в книге.

Для выполнения указанных доказательств в достаточно компактном ви-

де будет предполагаться более высокая, нежели ранее, математическая

подготовка читателя.

16.1.

РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

ОСЛАБЛЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В разд. 2.4 было высказано утверждение, что линейный коэффициент

ослабления измеряется в единицах, имеющих размерность обратной длины

(разд.

7.1). Докажем это.

Пусть n

(z) — линейный коэффициент ослабления рентгеновского излу-

чения с энергией е в точке z, расположенной между источником излучения

(z = z

^ 0) и детектором (z = z^ D). Пусть также p

(z) — вероятность

того,

что вылетающий в направлении детектора фотон с энергией е дости-

гает точки с координатой г, находясь в пределах пучка, a q

(z, Az) — веро-

ятность того, что фотон с энергией е, достигший точки z, затем по дости-

жении точки с координатами z + Az выпадает из пучка. Нетрудно пока-

зать,

что вероятностиp

(z) uq

Az) связаны друг с другом соотношением

+ Az) = p

(z) -

(z)q

(z,

Az). (16.1)

Более важно теперь показать, что

{z) = Hm q

(z, Az)/Az. (16.2)

Для доказательства последнего соотношения обозначим правую часть

выражения (16.2) через v

(z) и заметим, что оно определяется свойствами

области /, окружающей рассматриваемую точку, поэтому можно записать

(z)

как v

Таким образом, наша задача теперь состоит в доказательстве

того,

что для ткани с произвольной характеристикой t имеем ц'

= v*

Согласно формуле (16.1),

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

311

+ Az) - p

(z) 1

_ дЛ', Az) (16.3)

Az p/z) Az

Переходя к пределу при Аг

—

О, получим

р;(-)/р..(г) = -v,(z>. (16.4)

Интегрирование обеих частей полученного выражения от источника до де-

тектора (от z

до z

) дает

Ре^й) - In PeUs) = ~ I Ф) dz. (16.5)

Вспоминая, что, согласно определению, P

') = 1 и, следовательно,

\np

) = 0, имеем

- In />,,(z

) = Г v„(z) dz. (16.6)

Теперь покажем, что v

(z) =

(z)

для ткани с произвольной характеристи-

кой t вдоль линии наблюдения L в области, прилегающей к точке с коорди-

натой z.

Предположим, что объект, расположенный между источником и детек-

тором, можно представить тканью

в виде однородного бруска единичной

толщины, а линия L перпендикулярна передней поверхности указанного

бруска (рис. 1.12). При этом

(z)dz

= *£> поскольку v

(z) = 0 вне бруска.

Используя соотношение (16.6), можно получить, что

-ln/?

(jCj), где

)

— вероятность того, что фотон с энергией е, летящий вдоль линии

не выпадает из пучка после вылета из бруска. Таким образом, из опре-

деления линейного коэффициента ослабления рентгеновского излучения сле-

дует, что

ц*

Поскольку вероятность д

(z, Az) безразмерна, a Az имеет размерность

длины, то из соотношения (16.2) следует, что линейный коэффициент ос-

лабления рентгеновского излучения имеет размерность обратной длины.

16.2.

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОТ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

ОСЛАБЛЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В данном разделе докажем, что

п f

-In ^ = ^(.v,y)dz, (16.7)

Рс Jo

312

ГЛАВА

где, согласно рис. 2.8, величина р

— пропускание вдоль линии £, измерен-

ное в ходе реальных измерений на монохроматическом пучке, а р

— то же,

измеренное при калибровке. Сам же интеграл в правой части формулы

(16.7) представляет собой интеграл вдоль линии L от относительного ли-

нейного коэффициента ослабления рентгеновского излучения, в точности

совпадающий с соотношением (3.5). Используя формулу (3.4), из (16.7) так-

же можно получить соотношение (2.4).

Для доказательства справедливости формулы (16.7) обозначим через

м*(г) И

)

линейные козффициенты ослабления рентгеновского излучения

вдоль линии L (рис. 2.8), полученные в процессе реальных и калибровочных

измерений соответственно. Известно, что

J4(Z)

= ^4(z) при z < О или z > D, (16.8)

^(х, у) = №) ~ l&z) при 0 < z < Д (16.9)

где (к, у) — координаты точки z на линии L. Следовательно, формула

(16.7) доказывается из соотношения

Г ^х, у) dz = Г W*) -

A4U»

Jo Л

= -In р

+ In p

, (16.10)

где последний переход следует из выражения (16.6).

16.3.

ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

Наиболее важным свойством для реконструкции изображения методами

интегральных преобразований является то, что существует компактная,

замкнутая формула, с помощью которой можно выразить любую функцию

через ее радоновский образ.

В действительности существуют две различные формулировки обратно-

го преобразования Радона, одна из которых дается формулой (2.5), а дру-

гая — соотношением (6.10). Докажем справедливость обеих формул, в точ-

ности следуя первоначальному плану доказательства Радона. Последнее об-

условлено как чисто историческими соображениями, так и тем, что в нем

приводятся только основные вычисления. Единственное возражение, кото-

рое можно выдвинуть против доказательства Радона, состоит в том, что

те же результаты можно получить с использованием меньшего числа огра-

ничивающих предположений, однако этот вопрос выходит за рамки насто-

ящей книги.

В данном разделе будем предполагать, что функция /, описывающая

изображение, является непрерывной и ограниченной. Напомним, что

/(г,

ф) = 0 при г ^ Е.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

313

Для любой точки с координатами (г, ф) в области изображения, в част-

ности при \г\ < Е, функцию

Р(

Г>

ф)

одной переменной q определим как

КА<д

- ^ \

WlO-

cos

(

Ф)

«.

)

№

1бЛ1

Заметим, что при q > О правая часть выражения описывает интеграл по

кругу с центром в точке с координатами (г, ф) и радиусом q. Поскольку

при 1/1 > Е [&/]{ е

в) = 0, то при \г\ < Е имеем

F(r>,(^) = 0 при q^2E. 06.12)

Радон доказал справедливость следующего соотношения:

/(r,<£) = ilim IF

(£)- Г \F

^(q)dq [ (16.13)

Нам необходимо доказать справедливость последнего выражения для

всех точек с координатами (г, ф) в области изображения. Прежде чем сде-

лать это, покажем, каким образом из (16.13) можно получить формулы,

использованные в предыдущих главах. Для этого нам необходимо предпо-

ложить, что функция &Pf имеет непрерывную первую производную, т.е.

что существует функция @

&?f,

непрерывная по своей первой переменной

[определение $

(6.11)].

С учетом указанного предположения и соотноше-

ния (16.12) получаем

(r.«((«) dq

= | ~2 U

W\(r cos(0 -4>) + q, в) dd\ dq

= 2^J

Ц \w&rco<e-4>) + q,Q)dq\de. (16.14)

Интегрируя no частям, получим

IE ,

p ЫШ.Г cos(0 - ф) +

, в) dq

- - Wl(r cos(0 - ф) +

,0)\

- - - WrtyKr cos(0 - ф) +

, в) dq. (16.15)

314

а подставляя полученный результат в выражение (16.14), будем иметь

Fir.ф)(«)

+ г f f - [fry ^/](г cos(0 - 0) + g, 0) if? ,

(16.16)

Изменив порядок интегрирования во втором члене последнего выражения и

подставив его в формулу Радона (16.13), получим формулу вида

Jv.*ita) = Y

j Wl(r cos(0 - ф) + q, в)

dO.

(16.17)

которая совпадает с выражением (2.5), однако записана не в декартовых, а

в полярных координатах.

Теперь дадим вывод формулы (6.10). Отметим вначале, что для всех

значений f и в имеет место соотношение

[QyJfW,

^ = -[®г.#Л(-Л в - я). (16.18)

используя которое и делая замену переменных 0'=0-тги<7' = — q, по-

лучим

- [®1-*Л(г cos(0 -ф) +

, в)

с!в

/•

—

00 1 /»Л

- - №

#m-r

cos(0'

- ф) -V, 0' + n)de\-dq)

J-e q Jo

= f - Г

[^y^/](r

cos(0 - ф) +

<?,

</0

Ay.

(16.19)

J-oc q Jo

Подстановка последнего выражения в (16.17) доказывает, что

Яг, ф)= - ^ litn | Г - \\@

*fUr cos(0 -ф) + я, в)

с-0 \_J -ас Ч Jo

2тГ

J"'

/"[®*зл

(г

cos(e

-*) +

?•

'^ *

= - -'-, f hm Г f ' [&

'Af](r cos(0 -<*>) + ?, 0) <fy

2л Jo t-o Ы

+ Г [®у.*/ ]('• cos(0 - ф) + д. в) dq dO, (16.20)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

315

где последний переход справедлив благодаря предположению о непрерыв-

ности функции $Y &S

по ее

первой переменной. Подынтегральное выра-

жение во внешнем интеграле можно также представить в виде несобствен-

ного интеграла в бесконечных (или, что эквивалентно, в конечных пределах

от

—

2£ до 2£), причем значения последнего рассчитывают в смысле глав-

ного значения по Коши. Делая замену переменной q = £ - г cos (р

—

ф),

получаем формулу вида

2л

г cos(0 - ф) - f'

Ф)

= ^2 fj -^г^—г,—7

№v<*fW'

) М

М*

совпадающую с выражением (6.10).

Теперь нам остается доказать справедливость формулы Радона (16.13).

Заметим вначале, что достаточно доказать справедливость (16.13) лишь

для случая г = 0 и ф = 0, поскольку справедливость ее для общего случая

доказывается простым сдвигом начала координат. Обозначим величину

Рф

через F, т.е. будем считать, что

F(q)

= ^ J '[.Я/Ш

в)

йв.

(16.22)

Введем также и величину/, равную

Яг

ф)(1ф. (16.23)

2я J

Для доказательства справедливости формулы Радона важно следующее

фундаментальное соотношение между величинами F

ОД = 2 ,, ,-^-

1б24

для любого 9 > 0.

Доказательство соотношения (16.24) осуществляется в последовательно-

сти,

определяемой заменой переменных интегрирования * = Vr

—

, т.е.

Ffa) = ^\*f /(vV + s

, 0 + arctg

(.s/</))

Л>

Г./V^ + s

= 2 Г ,/ J(r)<fr. 06-25)

« v^

316

ГЛАВА 16

Подставляя соотношение (16.24) в правую часть формулы (16.13), получим

и»

Г.™.

-r\

™

(1б

26)

Последний двойной интеграл упрощается следующим образом:

ЧГ

sFZ

а его подстановка в выражение (16.26) дает

/(г) Jr. (16.27)

lim

L Г

—;=L-

ъ /<

> *1

эквивалентное выражение в правой части формулы (16.13). Для завершения

доказательства необходимо показать эквивалентность величины /

(0,

0) и

выражения (16.28).

Сначала отметим, что функция /(г) непрерывна, а /(0) = /(0, 0), по-

этому для любого

> 0 существует такое значение б > 0, что

\f(r) - /(0, 0)| < г/, если г < д. (16.29)

а также

2 Г* 1 2 с

- lim с I —., dr =

—

lim arccos - = 1. (16.30)

Комбинируя соотношения (16.29)

(16.30), для произвольного

> 0, имеем

lim

\ -7Т—Т

(r)

/ (0

АО,

0)/

lim

Г,:

f -JL^

_ dr]

- l)

+ U

lim

Г ' Л11

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

317

+ - lim

Ге

Г /

(r)

dr\ (16.31)

|*^oL

rJT^J J|

<rj.

Данное выражение завершает доказательство формулы обращения Радона.

16.4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО,

ЧТО ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕЛЬЗЯ ОДНОЗНАЧНО ПРЕДСТАВИТЬ

КОНЕЧНЫМ НАБОРОМ ЕГО РАКУРСОВ

В предыдущем разделе было показано, что в случае, когда функция изо-

бражения/непрерывна, она единственным образом определяется своим ра-

доновским образом @f. Однако на практике при реконструкции изображе-

ний мы можем использовать только оценки \@f\( t, в) в конечном числе

значений f и в. Ниже будет показано, что конечность массива исходных

данных сама по себе является источником принципиальной неоднозначно-

сти.

Докажем это.

Пусть М и К

—

положительные целые числа, (г

)

— произвольные

различные точки в кадре изображения (1 ^ к < к), a L

— произвольные

вещественные числа; тогда существует такая непрерывная функция изобра-

жения е, что при 1 ^ к ^ К

, ф

) = L

(16.32)

а также при 0 < m < М

—

1 и для всех имеем

\Яё](£,

тп/М) = 0. (16.33)

Ценность полученного результата состоит в следующем. Для каждой

произвольной непрерывной функции изображения / существует другая та-

кая непрерывная функция изображения/ + е, что функции/ и/ + е имеют

одни и те же значения интегралов вдоль всех линий, принадлежащих семей-

ству М эквидистантных по углу направлений. Кроме того, функции / и

f + е могут отличаться друг от друга произвольно в каждой из точек, при-

надлежащих произвольно большому конечному множеству точек. Вначале

докажем эти положения, а затем обсудим их практическую значимость.

В качестве предварительного результата докажем следующее.

Пусть М

—

положительное целое число, 6 — произвольное веществен-

ное число, для которого 6 < £"/V2, а величина E/\Il — определяет сторону

квадрата кадра изображения (разд. 6.1). Пусть также d

—

функция, опреде-

ляемая следующим образом:

(

sin(n|r|/5)sin(M4>) при 0 <, г ^ <5,

0 при г >

<5,

(16.34)

d( —

г,

—

я) при г < 0.