Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии

Подождите немного. Документ загружается.

Г.Хермен

ВОССТАНОВЛЕНИЕ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

ПО ПРОЕКЦИЯМ

Основы

реконструктивной

томографии

Перевод с английского

Л.В.

Бабина и А.Б. Мещерякова

под редакцией

Л.М. Сороко

МОСКВА «МИР» 1983

IMAGE RECONSTRUCTION

FROM PROJECTIONS

The Fundamentals

of Computerized Tomography

Gabor T. Herman

Department of Computer Science

State University of New York at Buffalo

Amherst, New York

Academic Press

A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers

New York London Toronto Sydney San Francisco

1980

ББК 53.6

X 39

УДК 616.07

Хермен Г.

Восстановление изображений по проекциям: Основы ре-

конструктивной томографии. Пер. с англ. — М.: Мир,

1983—352 с, ил.

Первая фундаментальная монография известного американского ученого, в ко-

торой обобщаются и подробно излагаются математические методы построения алго-

ритмов реконструирования на ЭВМ.

Для специалистов в области рентгеноскопии, диагностики заболеваний и вычис-

лительной техники.

Редакция литературы по новой технике

eMIluuuuw

i:ro

хм

ьъ ч

041(01)-83 © Перевод на русский язык, «Мир», 1983

Оглавление

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие 7

Программа вводного двухсеместрового курса «Реконструкция изображений

по проекциям» , 9

Благодарности 10

ВВЕДЕНИЕ 11

1.1. Реконструкция изображений по проекциям 11

1.2. Вероятность и случайные переменные 31

Примечания и ссылки 36

ПРИНЦИП РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ 38

2.1.

Какова цель реконструктивной томографии? 38

2.2.

Традиционная томография 39

2.3.

Получение данных в реконструктивной томографии 44

2.4.

Элементы объема, изображения и числа Хаунсфилда 46

2.5. Проблемы, связанные с полнхроматнчностью рентгеновского излу-

чения 47

2.6. Алгоритм реконструкции 48

Примечания и ссылки 51

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛУЧЕНИЕМ ДАННЫХ В

РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ 52

3.1.

Статистика фотонов 52

3.2.

Изменение энергетического спектра рентгеновского излучения 57

3.3.

Другие источники погрешностей 60

3.4.

Схемы сканирования 63

Примечания и ссылки

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭВМ ДАННЫХ В РЕКОНСТРУКТИВНОЙ

ТОМОГРАФИИ 68

4.1.

Изображения и их дискритизаиии (матрицы изображений) 68

4.2.

Получение фантома 69

4.3.

Фантом головы 71

4.4.

Получение лучевых сумм 74

Примечания и ссылки 77

ОГЛАВЛЕНИЕ

5. ПОЛУЧЕНИЕ ДАННЫХ И РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЮБРАЖЕНИЯ ФАНТОМА

ГОЛОВЫ В РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 78

5.1.

Методы сравнения изображений 78

5.2.

Реконструкция по идеальным данным 80

5.3.

Влияние статистики фотонов рентгеновского излучения 86

5.4. Влияние изменения энергетического спектра рентгеновского излуче-

ния при его прохождении через вещество на качество восстановлен-

ных изображений 89

5.5. Влияние геометрических размеров детекторов и процесса рассеяния

фотонов 97

5.6. Моделирование различных схем сканирования 101

Примечания и ссылки 104

6. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ АЛГОРИТМАХ РЕКОНСТРУКЦИИ 105

6.1.

Постановка задачи 105

6.2. Алгоритмы, основанные на использовании преобразований 110

6.3.

Алгоритмы реконструкции, основанные на разложении функции в

ряд ИЗ

6.4. Критерии оптимизации 116

6.5. Эффективность вычислений 123

Примечания и ссылки 124

7. АЛГОРИТМЫ ОБРАТНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ 125

7.1.

Непрерывное обратное проецирование 125

7.2.

Реализация оператора обратного проецирования 127

7.3.

Дискретное обратное проецирование 131

Примечания и ссылки 134

8. СВЕРТОЧНЫЙ АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО

ПУЧКА 135

8.1.

Свертка, преобразование Гильберта, регуляризация 135

8.2. Вывод сверточного алгоритма 141

8.3.

Применение сверточного алгоритма 143

8.4. Преобразование Фурье 147

8.5. Дискретизация и интерполяция 150

8.6. Выбор сворачивающей и интерполяционной функций 153

8.7. В чем же причина популярности сверточного алгоритма? 163

Примечания и ссылки 164

9. ДРУГИЕ АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ. ОСНОВАННЫЕ НА ПРЕОБРАЗИ

ВАНИЯХ ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПУЧКА 166

9.1.

Двумерное преобразование Фурье 166

9.2.

Фурье-алгоритм реконструкции 168

9.3.

Алгоритм р-фильтрации обратного проецирования 177

Примечания и ссылки 179

ОГЛАВЛЕНИЕ

АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ СВЕРТОЧНОГО ТИПА

ДЛЯ

ВЕЕРНЫХ

ПУЧКОВ

181

10.1.

СверточныЙ алгоритм

для

веерного пучка

181

10.2.

Выбор сворачивающей функции 185

10.3.

Функция импульсного отклика 187

10.4.

Реконструкция шумовой составляющей изображения 191

10.5.

Повторное разбиение 193

10.6.

Сравнение юображений, реконструированных по стандартным про-

екциям 194

Примечания и ссылки 200

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ 201

11.1.

Что

такое алгебраический алгоритм реконструкции?

201

11.2.

Релаксационные методы решения систем уравнений и.неравенств

... 204

11.3.

Аддитивный алгебраический алгоритм реконструкции

211

11.4.

Некоторые искусственные приемы

215

11.5.

Эффективность алгебраических алгоритмов реконструкции

219

Примечания

ссылки

227

АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ

КВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ

229

12.1.

Математическое введение

229

12.2.

Метод Ричардсона решения систем уравнений

233

12.3.

Сглаживающие матрицы

~ 237

12.4.

Применение метода Ричардсона для реконструкции изображений .... 241

12.5.

Практическое использование метода Ричардсона

242

Примечания

ссылки

247

НЕИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ

ИСПОЛЬЗОВАНИ-

ЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ

В РЯД 248

13.1.

Разложения изображения

на

кольцевые гармоники

248

13.2.

Полиномиальное разложение

255

13.3.

Применение неитерационных алгоритмов реконструкции

разложе-

нием функции

в ряд 260

Примечания

ссылки

264

РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ОБЪЕКТА

265

14.1.

Разложения функции

в ряд по

трехмерному базису

265

14.2.

Решение системы нормальных уравнений

для

специальной геомет-

рии томографической установки

268

14.3.

Построение динамически изменяющихся трехмерных фантомов

и их

проекций

275

14.4.

Алгоритм трехмерной реконструкции, основанный на процедуре

байесовской оптимизации 281

14.5.

Наглядные примеры использования алгоритмов

283

Примечания

ссылки

289

ОГЛАВЛЕНИЕ

15.

ТРЕХМЕРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО

ТЕЛА 291

15.1.

Основные принципы 291

15.2.

Методы определения границ органов 293

15.3.

Устранение скрытых частей поверхностей 298

15.4.

Метод наложения теней 301

15.5.

Экспериментальные результаты 302

Примечания и ссылки 307

16.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ 310

16.1.

Размерность линейного, коэффициента ослабления рентгеновского

излучения 310

16.2.

Линейный интеграл от относительного линейного коэффициента ос-

лабления рентгеновского излучения 311

16.3.

Формула обращения преобразования Радона 312

16.4.

Доказательство того, что изображение нельзя однозначно предста-

вить конечным набором его ракурсов 317

16.5.

Анализ статистики фотонов 319

16.6.

Интегральное представление для полихроматических лучевых сумм 322

16.7.

Доказательство теоремы регуляризации 323

16.8.

Сходимость релаксационных методов решения систем неравенств ... 327

Примечания и ссылки 330

Литература 331

Предметный указатель 344

Предисловие редактора перевода

Книга Габора Хермена посвящена методам получения внутреннего строе-

ния объекта в тонком слое по совокупности проекционных данных, изме-

ренных под многими ракурсами. Эти методы возникли независимо в раз*

личных разделах науки, однако наивысший успех и наиболее широкое при-

менение они получили в рентгеновской реконструктивной томографии, из-

менив коренным образом представление о возможном и невозможном в

диагностической радиологии. В настоящее время во всем мире имеется око-

ло 3000 рентгеновских томографов, конструкция которых постоянно совер-

шенствуется. За работы в области реконструктивной томографии Алану

Кормаку и Годрфи Хаунсфилду была присуждена Нобелевская премия по

физиологии и медицине за 1979 г. В 1963 — 1964 гг. А. Кормак опублико-

вал две основополагающие работы по рентгеновской томографии, а Г. Ха-

унсфилд изготовил в 1972 г. первый комплекс из рентгеновского томогра-

фического сканера и компьютерной системы восстановления изображения

по измеренным проекциям.

Автор книги Г. Хермен активно работает в области реконструктивной

томографии более 10 лет и поэтому читатель знакомится с этим разделом

новой техники непосредственно из первых рук. Под редакцией Г. Хермена

в 1979 г. издательство «Шпрингер» выпустило сборник из шести обзоров

по реконструктивной томографии (см. рецензию в журнале «Новые книги

за рубежом», серия Б, 1980, № 7, с. 54 — 55).

Книга Г. Хермена представляет собой первую фундаментальную моно-

графию, в которой подведены итоги начального, наиболее бурного этапа

развития реконструктивной томографии. Эта книга, ориентированная на

читателей-практиков, содержит систематическое и достаточно полное из-

ложение алгоритмов реконструктивной томографии. Большое внимание в

ней уделено вычислительным аспектам, а также проблемам, возникающим

на стадии регистрации проекционных данных, реконструирования томогра-

фических изображений и системы отображения данных. К сожалению, в

ней не изложены разработанные в последнее время сверхбыстрые алгорит-

мы реконструирования и не приведены типичные программы для ЭВМ из-

вестных алгоритмов реконструирования.

Современные методы рентгеновской реконструктивной томографии по-

зволяют получить четкие изображения инородных включений в мягких тка-

нях человека и животных, а также внутренних опухолей. Однако на рентге-

новской томограмме отсутствует информация, которая необходима врачу

Для установления точного диагноза на ранней стадии болезни, например не

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

видны пустоты, расслоения, пространственные неоднородности и патоло-

гические изменения механических упругих свойств различных участков тела.

Отмеченные слабые стороны рентгеновской реконструктивной томографии

компенсируются другими методами диагностической медицины — акус-

тоскопией и интроскопией при помощи ядерного магнитного резонанса

(ЯМР-интроскопией), о которых в книге Г. Хермена упоминается во введе-

нии.

Принципиально новые возможности перед биофизикой и медициной от-

крывает метод Я МР-ин трос копии, позволяющий получать «химическую»

картину внутренних органов живого организма без вмешательства челове-

ка. В частности, было установлено экспериментально, что скорость дисси-

пации энергии резонирующих ядер, таких, как протоны и ядра

Р, в тка-

нях злокачественной опухоли отличается примерно в два раза от этой ско-

рости в здоровой ткани.

Читателям, интересующимся проблемами интроскопии и применением

методов интроскопии в медицине и для неразрушающего контроля, реко-

мендуем обратиться к книгам и обзорам на русском языке, список которых

прилагается ниже.

Книга Г. Хермена, несомненно, будет полезна широкому кругу специа-

листов: физикам, биофизикам, геофизикам, а также конструкторам систем

неразрушающего контроля и медицинской аппаратуры. Перевод книги вы-

полнили канд. техн. наук А. Б. Мещеряков (предисловие, программа ввод-

ного двухсеместрового курса «Реконструкция изображений по проек-

циям», благодарности, гл. 1 — 7) и канд. физ. — мат. наук Л. В. Бабин

(гл.

8 — 16).

Л.

М. Сороко

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Лундин А. Г., Фсдин Э. И. Ядерный магнитный резонанс: Основы и примене-

ния.

—

Новосибирск, Наука, 1980.

Шафранова М. Г., Шафранов М. Д. Ионная медицинская радиография. — УФН,

1980,

№ 131, вып. 2, с. 273.

Адаркин В А., Скроцкий Г. В., Сороко Л. М., Федин Э. И. ЯМР-интроско-

пия.

— УФ//, 1981, №135, вып. 2, с. 285.

Сороко Л. М. Принцип максимума энтропии н его применение для решения об-

ратных задач. — См. сб.: ЭЧАЯ. — М.: Атомиздат, 1981, 12, Jfc 3, с. 754.

Сороко Л. М. Интроскопия. — М.: Энергоиздат, 1983.

Предисловие

Проблема реконструкции изображений по проекциям была поставлена

независимо в ряде областей науки. Наиболее важный практический аспект

этой проблемы для медицины связан с возможностью получения информа-

ции о распределении плотности разных тканей внутри организма пациента

по многим проекциям, измеренным в поле рентгеновского излучения. Та-

кой процесс получил название реконструктивной томографии. Именно ре-

конструктивная томография произвела за последнее десятилетие подлин-

ную революцию в радиологической диагностике, а работы по реконструк-

тивной томографии были удостоены Нобелевской премии по физиологии и

медицине за 1979 г.

В данной книге, посвященной основам реконструктивной томографии,

рассмотрены математические методы и вычислительные алгоритмы, лежа-

щие в основе получения данных и реконструкции изображений. Она написа-

на для практиков: вопросы реализации и применений подробно обсуждены

и проиллюстрированы. Особое внимание в книге уделено алгоритмам ре-

конструкции, которые изложены в ней довольно подробно.

После краткого обзора применений реконструктивной томографии в

разных областях науки (от радиоастрономии до электронной микроскопии)

в книге рассмотрена рентгеновская реконструктивная томография. Затем

приведены классификация и анализ алгоритмов реконструкции и рассмот-

рены вычислительные проблемы, возникающие при отображении результа-

тов.

Для целостности изложения математические понятия и утверждения,

приведенные в достаточно строгих формулировках в основной части книги,

как правило, не доказываются. Доказательства наиболее важных из них пе-

ренесены в последнюю главу книги.

Книга основана на двухсеместровом вводном курсе, который автор чи-

тал в последние три года студентам факультета вычислительной техники

Университета шт. Нью-Йорк в Буффало. Материал курса постоянно перес-

матривался с учетом самых последних достижений. Программа этого кур-

са,

в основном совпадающая с оглавлением книги и используемая в настоя-

щее время, приведена после предисловия.

Вопросы, затронутые в данной книге, представляют интерес для спе-

циалистов многих отраслей науки, техники и медицины. Поэтому мы избе-

гали вводить понятия, которые нельзя считать общепризнанными, так что

книга будет полезна для читателей с различной подготовкой.

Каждая глава заканчивается разделом «Примечания и ссылки». В этих

разделах нет полной истории вопросов, рассмотренных в соответствующей