Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
21
1.2.45. Які з наступних тверджень є правильними?
Ранг матриці не зміниться, якщо:
1)
видалити будь-який рядок;
2)
матрицю транспонувати;
3)
домножити будь-який стовпець на 0;
4)
до елементів деякого рядка додати відповідні
елементи іншого рядка, домножені на будь-
яке число;
а) 2 і 4; б) 2 і 3; в) 1 і 4;
г) 1 і 3; д) інша відповідь.
1.2.46. Систему лінійних рівнянь можна розв’язати за
правилом Крамера, якщо її матриця:
а) квадратна вироджена;
б) квадратна невироджена; в) довільна;
г) тільки трикутна; д) інша
відповідь.
1.2.47. Система лінійних рівнянь називається невизна-
ченою, якщо:
а) вона має єдиний розв’язок;
б) вона не має жодного розв’язку;
в)вона має більше, ніж один розв’язок;
г)всі вільні члени дорівнюють нулю;
д) інша відповідь.
1.2.48. Однорідна система
n
лінійних рівнянь з
n
неві-
домими має нетривіальні розв’язки, якщо матри-
ця системи:
а) вироджена; б) діагональна;
в) невироджена; г) симетрична;
д) інша відповідь.
1.2.49. Система
m лінійних рівнянь називається несу-
місною, якщо вона:
22
а) має безліч розв’язків; б) має
m розв’язків;
в) має єдиний розв’язок;
г) не має жодного розв’язку; д) інша відповідь.
1.2.50. Систему лінійних рівнянь з
n
невідомими мож-
на розв’язати матричним методом, якщо її мат-
риця A:
а) квадратна вироджена; б) квадратна невироджена;
в) розміру
(
)
mnm n
×
≠ з
(
)
rA n
=
;
г) розміру
(
)
mnm n×≠ з
(
)
rA n
<
; д) інша відповідь.
1.2.51. Система лінійних рівнянь називається однорід-
ною, якщо:
а) вона не має жодного розв’язку;
б) всі вільні члени дорівнюють нулю;
в) вона більше, ніж один розв’язок;
г) вона має єдиний розв’язок;
д) інша відповідь.
1.2.52. Система лінійних рівнянь з
n невідомими має
безліч розв’язків, якщо:
а)
()
(
)
rA rA n==
; б)
()
(
)
rA rA n
<
=
;
в)
()
()
rA rA n=<; г)
(
)
(
)
rA rA n
<
< ; д) інша відповідь.
1.2.53. Система лінійних рівнянь з
n невідомими має
єдиний розв’язок, якщо:
а)
()
()
rA rA n==
; б)
(
)
(
)
rA rA n
<
=
; в)
(
)
(
)
rA rA n
=
<
;
г)
()
(
)
rA rA n
<
< ; д) інша відповідь.
23
1.2.54. Сумісна система
(
)
1mm> лінійних рівнянь з
()
1nn> невідомими називається визначеною,
якщо вона:
а) має
m
розв’язків; б) має
n
розв’язків;
в) має безліч розв’язків;
г) має єдиний розв’язок; д) інша відповідь.
1.2.55. Однорідна система лінійних рівнянь з
n невідо-
мими завжди
а) має безліч розв’язків; б) має
n розв’язків;
в) має єдиний розв’язок;
г) має хоча б один розв’язок; д) інша відповідь.
1.2.56. Два вектори утворюють базис на площині, якщо
вони:
а) тільки одиничні неколінеарні;
б) тільки ортогональні;
в) довільні неколінеарні;
г) тільки одиничні колінеарні;
д) інша відповідь.
1.2.57. Три вектори утворюють базис в просторі, якщо
вони:
а) довільні некомланарні;
б) тільки одиничні некомланарні;
в) довільні компланарні;
г) тільки одиничні компланарні;
д) інша відповідь.
1.2.58. Нехай
(
)
(
)
111 2 22
,, , ,,Ax yz Bx y z . Першу координа-
ту точки
(
)
,,
M
xyz, яка ділить відрізок
A
B
у від-
ношенні
:AM MB
λ
=
, можна знайти за формулою:
24
а)
12
1
x
x
x
λ
λ
+
=
+
; б)
12
x
x
x
λ
λ
+
=
; в)
12
x
x
x
λ
λ
+
=
;
г)
12
1
x
x
x
λ
λ
+
=
+
; д) інша відповідь.
1.2.59. Вектори
(
)
111
,,axyz=
G
та
()
222
,,bxyz=
G
будуть колі-
неарними, якщо:
а)
12 1 2 12
0xx yy zz++=; б)
111
222
0
xyz
xyz
+
+=;
в)
111
222
x
yz
x
yz
==; г)
111
222
1
xyz
xyz
+
+
=
++
; д) інша відповідь.
1.2.60. Скалярним добутком двох векторів називається:
а) добуток їх довжин на синус кута між ними;
б) добуток їх довжин;
в) добуток їх довжин на косинус кута між ними;
г) косинус кута між ними;
д) інша відповідь.
1.2.61. Якщо
(
)
(
)
111 2 22
,, , ,,axyz bxyz==
G
G
, то:
а)
(
)
(
)
1112 22
ab x y z x y z⋅= + + + +
G
G
;
б)
12 12 12
ab xx yy zz⋅= + +
G
G
;
в)
(
)
(
)( )
121 212
ab x x y y z z⋅= + + +
G
G
;
г)
{
}
121 212
,,ab x x y y z z⋅= + + +
G
G
;
д) інша відповідь.
1.2.62. Кут між векторами
(
)
111
,,axyz=
G
та
(
)
222
,,bxyz=
G
визначається так:
а)
12 1 2 12
222222
111222
arccos
xx yy zz
x
yzxyz
++
+
+++
;
25
б)
12 1 2 12
222222
111222
arccos
xx yy zz
x
yzxyz
+
+
+
+++
;
в)
12 1 2 12
222222
111222
arcsin
xx yy zz
x
yzxyz
+
+
+
+++
;
г)
12 12 12
222222
111222
arc
xx yy zz
tg
x
yzxyz
+
+
+
+++
;
д) інша відповідь.
1.2.63. Напрямні косинуси вектора задовольняють рів-
ності:
а)
22 2
cos cos cos 1
α
βγ
++=; б) cos cos cos 1
αβγ
+
+=;
в) cos cos cos 0
α
βγ
+
+=; г) cos cos cos 1
α
βγ
+
+=;
д) інша відповідь.
1.2.64. Нехай
111 2 2 2
,axiyjzk bxiyjzk=++ =+ +
G
GG
G
GGG
G
. Вектори
a
G
і b
G
будуть перпендикулярними, якщо:
а)
111
222
x
yz
x
yz
==
; б)
12 1 2 12
0xx yy zz
+
+=
; в)
111
222
0
xyz
xyz
+
+=
;
г)
()
(
)
1112 22
0xyzxyz++ ++ =; д) інша відповідь.
1.2.65. Віддаль між точками
(
)
111
,,Axyz та
(
)
222
,,
B
xyz
визначається за формулою:
а)
21 2 1 21
x
xyyzz−+ −+−
; б)
12 1 2 12
x
xyyzz++
;
в)
21 2 121
x
xyyzz
−
+−+−;
г)
()()()
222
21 2 1 21
x
xyyzz−+−+−; д) інша відповідь.
1.2.66. Проекція вектора
(
)
111
,,axyz=
G
на вектор
()
222
,,bxyz=
G
визначається формулою:
26
а)
12 12 12
222
111
x
xyyzz
x
yz
++
++
; б)
12 12 12
222
x
xyyzz
x
yz
+
+
++
;
в)
12 12 12
222
222
x
xyyzz
x
yz
+
+
++
;
г)
12 1 2 12
x
xyyzz++
; д) інша відповідь.
1.2.67. Які з наведених нижче рівностей є правильними
(
a
G
і b
G
- вектори,
λ
- число):
1)
a
ab
pb
b
⋅
∏=
G
G
G
G
G
; 2)
a
ab
pb
a
⋅
Π=
G
G
G
G
G
;
3)
aa
λ
λ
=
G
G
; 4) aa
λ
λ
=
GG
;
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) 1 і 3;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
1.2.68. Векторним добутком двох векторів називається:
а) добуток їх довжин на косинус кута між ними;
б) добуток їх довжин на синус кута між ними;
в) добуток їх довжин;
г) синус кута між ними; д) інша відповідь.
1.2.69. Нехай
111 2 2 2
,axiyjzk bxiyjzk=++ =+ +
G
GG
G
GGG
G
. Тоді:
а)
222
111
ijk
ab x y z
x
yz
×=
G
GG
G
G
; б)
12 1 2 12
ab xxi yyj zzk×= + +
G
G
G
G
G
;
в)
()
121 212
,,ab x xy yz z×= + + +
G
G
; г)
111
222
ijk
ab x y z
x
yz
×=
G
G
G
G
G
;
д) інша відповідь.
27
1.2.70. Вектори
a
G
і b
G
колінеарні тоді і тільки тоді,
коли:
а)
0ab+=
G
G
G
; б)
0ab
⋅
=
G
G
; в)
0ab
−
=
G
G
G
; г)
0ab
×
=
G
G
G
;
д) інша відповідь.
1.2.71. Нехай
a
G
- довільний вектор. Які з наведених
нижче рівностей правильні:
1)
0aa
⋅
=
G
G
; 2)
2
aa a×=
G
GG
;
3)
0aa
×
=
G
G
G
; 4)
2
aa a⋅=
G
GG
.
а) 1 і 3; б) 2 і 4; в) 3 і 4; г) 1 і 2;
д) інша відповідь.
1.2.72. Нехай
a
G
і b
G
- вектори,
ϕ
- кут між ними. Які з
наведених нижче рівностей є правильними:
1)
sinab ab
ϕ
×=
G
G
G
G
; 2) cosab ab
ϕ
⋅=
G
G
G
G
;
3)
sinab ab
ϕ
⋅=
G
G
G
G
; 4) sinab ab
ϕ
×=
G
G
G
G
.
а) 2 і 4; б) 1 і 3; в) 2 і 3; г) 3 і 4; д) інша відповідь.
1.2.73. Нехай
a
G
і b
G
- вектори,
λ
- число. Які з наступ-
них рівностей є правильними:
1)
ab ba
×
=×
G
G
G
G
; 2) ab ba
⋅
=⋅
G
G
G
G
;
3)
()
(
)
ab ab
λλ
×
=×
G
G
G
G
; 4) ab ba
⋅
=− ⋅
G
G
G
G
.
а) 1 і 2; б) 1 і 4; в) 3 і 4; г) 2 і 3; д) інша відповідь.
1.2.74. Нехай
a
G
і b
G
- вектори,
λ
- число. Які з наступ-
них рівностей є неправильними:
1)
ab ba
×
=×
G
G
G
G
; 2)
()
ab a b
λ
λλ
+= +
G
G
GG
;
3)
ab ba
×
=− ×
G
G
G
G
; 4)
()
(
)
ab a b
λ
λ
⋅=−⋅
G
G
G
G
;
а) 1 і 4; б) 1 і 3; в) 3 і 4; г) 2 і 4; д) інша відповідь.
28
1.2.75. Площа паралелограма, побудованого на векто-
рах
a
G
і b
G
дорівнює:
а)
ab×
G
G
; б) ab
⋅
G
G
; в)
1
2
ab×
G
G
; г) ab
G
G
;
д) інша відповідь.
1.2.76. Нехай ,,abc
G
GG
- довільні вектори. Які з наведених
нижче рівностей є неправильними:
1)
()
ab caccb+×=×+×
GG
GGGGG
; 2)
(
)
(
)
abc abc⋅×=−×⋅
G
G
GG GG
;
3)
()
(
)
ab ca bc++=++
GG
GGGG
; 4)
()
(
)
abc abc
×
⋅=⋅ ×
G
G
GGGG
%
а) 1 і 4; б) 2 і 4; в) 1 і 2; г) 2 і 3; д) інша відповідь.
1.2.77. Мішаним добутком трьох векторів називається:
а) векторний добуток першого на векторний добуток
другого і третього;
б) скалярний добуток першого на векторний добуток
другого і третього;
в) добуток першого на скалярний добуток другого і
третього;
г) добуток їх довжин; д
) інша відповідь.
1.2.78. Нехай
,,,
A
BCD
- точки в просторі. Об’єм пі-
раміди
ABCD дорівнює:
а)
1
6
A
BADBA⋅⋅
JJJG JJJG JJJG
; б) AB AC AD⋅⋅
J
JJG JJJG JJJG
; в)
1
3
A
BACAD⋅⋅
J
JJG JJJG JJJG
;
г)
1
6
AB AC AD⋅⋅
JJJG JJJG JJJG
; д) інша відповідь.
1.2.79. Якщо
111 2 2 2 33 3
,,axiyjzkbxiyjzkcxiyjzk=++ =+ + =+ +
G
GG G
G
GGGGG
G
G
,
то:
а)
(
)
(
)
(
)
1112 223 33
abc x y z x y z x y z=++ ++ ++
G
GG
;
29
б)
123 1 2 3 123
abc x x x y y y z z z=++
G
GG
; в)
111
222
333
x
yz
abc x y z
x
yz
=
G
GG
;
г)
22 22 2 2
111
33 33 3 3
y
zxzxy
abc x y z
y
zxzxy
=++
G
GG
;
д) інша відповідь.
1.2.80. Вектори
,ab
G
G
і c
G
компланарні тоді і тільки тоді,
коли:
а)
0abc
=
G
GG
; б)
0abc
+
+=
G
G
G
G
; в)
(
)
0abc
+
⋅=
G
G
G
;
г)
(
)
0abc
×
+=
G
G
G
G
; д) інша відповідь.
1.2.81. Нехай
,,abc
G
G
G
- ненульові вектори,
λ
- число. Які
з наведених нижче рівностей є правильними:
1)
(
)
abc abac
⋅
+=⋅+⋅
G
G
G
GG GG
; 2)
ab ba
×
=×
G
G
G
G
;
3)
ab ba
⋅
=− ⋅
G
G
G
G
; 4)
()
(
)
ab ab
λλ
×
=×
G
G
GG
.
а) 1 і 2; б) 2 і 4; в) 1 і 4;
г) 1 і 3; д) інша відповідь.
1.2.82. Нехай ,,abc
G
G
G
- ненульові вектори,
λ
- число. Які
з наведених нижче рівностей не є правильними:
1)
()
(
)
ab ab
λλ
⋅
=⋅
G
G
G
G
; 2)
(
)
(
)
ab ba
λλ
×
=×
G
G
G
G
;
3)
(
)
ab cacbc
+
×=×+×
G
G
G
GGG G
; 4)
0aa
⋅
=
G
G
.
а) 2 і 3; б) 2 і 4; в) 1 і 4;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
1.2.83. Нехай
ab c
×
=
G
G
G
, причому 0c
≠
G
G
. Які з наведених
нижче тверджень є правильними:
30
1) ,cacb
⊥
⊥
G
G
GG
; 2) ab
G
G
& ;
3) , ,abc
G
GG
- права трійка; 4) ca
G
G
&
.
а) 1 і 3; б) 1 і 2; в) 2 і 3;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
1.2.84. Нехай
ab c
×
=
G
GG
, причому
0c ≠
G
G
. Які з наведених
нижче тверджень не є правильними:
1)
ca⊥
GG
; 2)
,,abc
G
G
G
- ліва трійка;
3)
ca
G
G
&
. 4) cb⊥
G
G
;
а) 1 і 4; б) 2 і 4; в) 3 і 4;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
1.2.85. Нехай ,,ijk
G
GG
- правий ортонормований базис.
Які з наведених нижче рівностей є правильними:
1)
1kk×=
GG
; 2)
kji
×
=
G
G
G
; 3)
ijk
×=
G
G
G
; 4) 1ii
⋅
=
G
G
.
а) 1 і 3; б) 3 і 4; в) 2 і 3;
г) 2 і 4; д) інша відповідь.
1.2.86. Нехай ,,ijk
G
GG
- правий ортонормований базис.
Які з наведених нижче рівностей не є правиль-
ними:
1)
0kk⋅=
GG
; 2) kji
×
=
G
G
G
; 3) 0jj
×
=
G
G
G
; 4) ik j
×
=−
G
G
G
.
а) 1 і 2; б) 1 і 3; в) 2 і 3;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
1.2.87. Лінія першого порядку на площині - це:
а) довільна замкнена лінія без самоперетинів;
б) довільна замкнена лінія;
в) пряма; г) коло; д) інша відповідь.
1.2.88. Загальне рівняння прямої на площині – це рівняння виду: