Гук Ю.Б. Теория надежности. Введение: учеб. пособие
Подождите немного. Документ загружается.
61
Логические схемы
Ложное срабатывание
Отказ срабатывания
Ложное срабатывание схемы произойдет, если откажет хотя бы
одно реле (или первое, или второе, или оба одновременно).
Логическая схема изображается как последовательное соединение
элементов. Рассмотрим схему с нормально разомкнутыми
контактами. Физически – последовательное соединение элементов.
Отказ срабатывания схемы в целом произойдет, если откажет хотя бы
одно реле. Логическая схема изображается как
последовательное
соединение элементов. Ложное срабатывание схемы произойдет, если
откажут оба реле одновременно. Логическая схема изображается как
параллельное соединение элементов.
4.2. Последовательное соединение элементов
Последовательным в смысле надежности называют такое
соединение элементов, при котором отказ одного элемента вызывает
отказ всей системы, но не изменяет надежности других элементов.
62
Тогда вероятность безотказной работы системы равна произведению
вероятностей безотказной работы всех
n элементов
1
() ()
n
ci
i
PA PA
=
=
∏
.
Вероятность безотказной работы системы, состоящей из
независимых и невосстанавливаемых элементов, в течение времени
t
равна:
1
() ()
n
ci
i
Rt Rt
=
=
∏
.
Надежность системы
R
c
, состоящей из n идентичных элементов
надежностью
R
i
, соединенных последовательно, продемонстрирована
на рис. 4.1 [5].
Рис. 4.1. Надежность системы последовательной структуры,
состоящей из
n идентичных элементов
Выразив
R
c
(t) и R
i
(t) через интенсивности отказов, получим:
1
00
() ()
tt
n
ci
i
dd
=
−λ τ τ − λ τ τ
∑
∫∫
=
ll
,
откуда
1
() ()
n
ci
i
tt
=
λ=λ
∑
.
63
Для экспоненциального закона
()
ii
tλ=λ,
1
()
n
i
ic
t
t
c
Rt
=
−λ
∑
−λ
==ll
,
следовательно
1
n
ci
i=
λ= λ
∑
и среднее время безотказной работы системы
11
11 1
1
c
nn
c
i
ii
i
T
==
== =
λ
λ
Τ
∑∑
.
Если
12
() () ... () 1
n
Qt Q t Q t
+
++ <<,
то
12
() () () ... ()
n
Qt Q t Q t Q t≅+++.
В случае экспоненциального закона распределения
( ) 1 exp( )
c
Qt t=− −λ .
При мгновенном восстановлении элементов
Число отказов системы за время
t равно сумме чисел отказов
всех элементов за это же время (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Поток отказов системы последовательной структуры с
мгновенным восстановлением
64
Имеем ()
i
F
t – закон распределения наработки на отказ i-го
элемента, ( )
i
ht – случайное число отказов i-го элемента до момента
времени
t, где i =1, 2, ... , n. Тогда число отказов системы за время t
равно сумме чисел отказов всех элементов за это же время
12
() () () ... ()
cn
ht ht ht ht=+++.
Вероятность того, что
i-ый элемент откажет k раз [4]:
1
{ () } () () ()
iikikik
Ph t k F t F t P t
+
== − = .
()
ik
F
t – k-кратная свертка закона распределения ()
i
F
t .
Функция отказов (математическое ожидание числа отказов за
время
t)
12
() () () ...
c
Ht Ht Ht=++
Средний параметр потока отказов системы () '()
cc
tHt
ω
= . Он
равен среднему числу отказов за единицу времени. Если поток
отказов простейший, то
1
n
cc i
i=
ω=λ= λ
∑
.
Вероятность появления
k отказов на интервале времени τ:
()
()
!
c
c
k
k
P
k
−λ τ
λτ
τ= l
.
Вероятность появления
k отказов на любом промежутке
времени (
t
1
, t
2
) может быть вычислена при помощи следующего
выражения
()
() ()
() ()
21
21
12
,
!
k
H
tHt
k
Ht Ht
Ptt
k
⎡
⎤
−−
⎣
⎦
−
⎡⎤
⎣⎦
= l
.
Вероятность безотказной работы
()
c
R
−
λτ
τ=l .
Среднее время безотказной работы
1
c
c
T =
λ
.
При конечном времени восстановления
65
В случае конечного времени восстановления при отказе любого
элемента системы, на время его восстановления отключаются и все
остальные элементы. Поэтому после окончания восстановления
элемента система включается в работу и элементы начинают работать
так, как если бы восстановление происходило мгновенно.
Предположим, что периоды безотказной работы и периоды
восстановления элементов имеют экспоненциальный закон
распределения со своими параметрами
λ
i
и µ
i
. Имеем среднее время
безотказной работы
11
11 1
1
c
nn
c
i
ii
i
T
T
==
== =
λ
λ
∑∑
;
1
n
ci
i=
λ= λ
∑
.
Найдем длительность восстановления системы. Вероятность
того, что в интервале времени (
t, t + ∆t) произойдет отказ i-го
элемента, приблизительно равна λ
i
∆t, а вероятность отказа системы в
целом примерно равна λ
с
∆t. Тогда условная вероятность отказа i-го
элемента на этом интервале при условии, что на нем произошел отказ
системы, равна:
ii
cc
t
t
λ∆ λ
=
λ∆ λ
.
По формуле полной вероятности найдем распределение
длительности восстановления для системы, начавшегося в момент
времени
t
1
() ( ) ()
n
i
i
i
c
Gt P t G t
=
λ
=τ<=
λ
∑
.
Среднее время восстановления системы
[]
11 11
0
1
1()
nn nn
ii ii
cc i c
ii ii
ccicii
Gtdt T
T
∞
== ==
λ
λλτ
τ= − = τ= = =
λλµλµ
∑∑ ∑∑
∫
.
66
Коэффициент готовности системы
гс
11
11
11
nn
ii
ii
ii
T
c
K
T
cc
T
==
== =
λτ
+τ
++
µ
∑∑
.
Периоды работы будут распределены по экспоненциальному
закону
P(T < t) =
1
−
t−λ
l .
Среднее время работы системы
0
1
11
1
t
c
c
n
c
i
i
Tdt
T
∞
−λ
=
===
λ
∫
∑
l
Вероятность безотказной работы в течение времени t равна
()
t
T
t
с
Г
Г
Rt K K
−
−λ
==ll.
Если каждый элемент системы работает и восстанавливается
независимо от других [4], то стационарный коэффициент готовности
системы
гc г
1
n
i
i
K
K
=
=
∏
.
4.3. Параллельное соединение элементов
Резервирование одного рабочего элемента (n – 1)-им резервным.
Система с параллельным соединением (в смысле надежности)
n
элементов выходит из строя только в случае отказа всех ее элементов
при условии, что все элементы функционируют и находятся под
нагрузкой. Вероятность отказа такой системы
1
()
n
ci
i
PA P A
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
I
;
если отказы элементов независимы, то
67
1
() ()
n
ci
i
PA PA
=
=
∏
.
Вероятность безотказной работы системы
[]
1
()1 1 ()
n
ci
i
PA PA
=
=− −
∏
.
Вероятность отказа системы может быть вычислена по формуле
1
() ()
n
ci
i
Qt Qt
=
=
∏
.
При равнонадежных элементах и в случае экспоненциального
закона распределения:
(
)
() 1
n
t
э
c
Qt
−λ
=−l
, где λ
э
– частота отказа элемента схемы.
Надежность системы, состоящей из n параллельно включенных
идентичных элементов, при условии, что вероятность отказа каждого
элемента равна
i
Q (рис. 4.3) [5].
Рис. 4.3. Надежность системы параллельной структуры, состоящей из
n идентичных элементов с заданными вероятностями отказов
Среднее время безотказной работы системы
68
(
)
0
00
() 1 1
n
t
э
c
TRtdt dt
∞∞
−λ
⎡⎤
==−−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
l
.
После интегрирования получили
0
1
111 111
1...
23
n
i
T
ni
=
⎛⎞
=++++=
⎜⎟
λλ
⎝⎠
∑
.
При n → ∞
()
0
1
ln 0,577
Tn≅+
λ
.
Вероятность безотказной работы
[]
1
() 1 1 ()
n
ci
i
Rt Rt
=
=− −
∏
.
Для независимых элементов
121
111 111
1
12
() () () () () () () ...
... ( 1) ( ) ( )... ( )
nnn nnn
c i ij ijl
iiji ijilj
n
n
Rt Rt RtR t RtR tRt
RtRt Rt
−−−
===+ ==+=+
−
=− + +
+−
∑∑∑ ∑∑∑
В случае равнонадежных элементов
22 33 1
( ) ... ( 1)
ttt nnnt
cnn n
Rt n C C C
−λ − λ − λ − − λ
=− + ++−ll l l
.
Застать систему, содержащую восстанавливаемые элементы, в
неработоспособном состоянии возможно только при условии, что в
данный момент все ее элементы находятся в неработоспособном
состоянии. Следовательно, вероятность состояния простоя системы
1
() ()
n
ci
i
qt qt
=
=
∏
.
Рассмотрим систему, состоящую из
двух параллельно
включенных
элементов. Будем считать, что система работоспособна,
если исправен хотя бы один элемент. Отказ такой системы может
произойти при отказе одного элемента, когда другой находится в
неработоспособном состоянии (принимаем допущение о малой
вероятности события независимого отказа одновременно двух и более
69
элементов схемы). Определим количество отказов системы за какой-
то период времени
T:
H(T) =
12 21∑∑
λτ +λ τ ,
где λ
1
и λ
2
– частоты отказа элементов схемы, а
1∑
τ и
2
∑
τ –
средние времена нахождения элементов схемы за рассматриваемый
период в восстановительном ремонте. Разделим обе части уравнения
на
T. В левой части получим частоту отказа системы в целом
12 21c
qqλ=λ +λ
,
где
q
1
и q
2
– относительные времена простоя элементов схемы
(вероятности состояния простоя). Найдем среднее время
восстановления системы
12 1122 12
12 21 122 211 1 2
c
с
c
q
qq
qq
λ
τλ τ ττ
τ= = = =
λλ+λ λλτ+λλττ+τ
.
Итак
12
12
с
ττ
τ=
τ+τ
. Распространив формулу на случай n
элементов, получим:
1
1,
n
n
ci jj
i
jji
=
=≠
λ= λ λτ
∑
∏
,
c
c
c
q
τ=
λ
,
где
1
n
cii
i
q
=
=λτ
∏
.
В случае равно надежных элементов
1nn
c
n
−
λ
=λτ
и
э
c
n
τ
τ=
.
Резервирование
r рабочих элементов (n – r) резервными
Рассмотрим систему, состоящую из
n элементов или единиц
оборудования. Если для нормального функционирования системы
необходимы
r работоспособных элементов, то (n – r) элементов
70
являются резервными. Отказ системы наступает при условии выхода
из строя
m элементов: m = n – r + 1.
В случае невосстанавливаемых элементов вероятность отказа
системы определяется как вероятность совпадения отказов
n – r + 1
или
m элементов в течение расчетного времени. При независимых
отказах формулы для оценки вероятности безотказной работы или
вероятности отказа системы можно получить, сформировав
произведения сумм
Q
i
(t) и R
i
(t) из произведения n биномов
[() ()1
ii
Qt Rt+=].
[]
1
12 12 12
() ()
( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( ) ( )... ( )
n
ii
i
nn n
Qt Rt
RtR t R t QtR t R t QtQ t Q t
=
+=
=+++
∏
Выбрав из этой суммы члены с числом
Q
i
(t), большим или
равном
n – r + 1, можно сформировать из них формулу для
вероятности отказа системы. Выбрав из этой суммы члены с числом
Q
i
(t), меньшим, чем n – r + 1, можно сформировать из них формулу
для вероятности безотказной работы системы. При условии
равнонадежности элементов
() () ()
n
ii ni
cnээ
ir
Rt CRtQ t
−
=
=
∑
;
() () ()
n
ini i
cnээ
im
Qt CR tQt
−
=
=
∑
;
!
!( )!
i
n
n
C
in i
=
−
.
Кратностью резервирования называют следующее отношение:
1
1
nr m
k
rnm
−−
==
−+
,
где числитель – количество резервных элементов, знаменатель –
минимальное количество элементов (рабочих), необходимых для
нормального функционирования системы.