Гук Ю.Б. Теория надежности. Введение: учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

(t) и т. д.

()

(1)!

ttt

−

∞

−λ −λ λ

ω=λ =λ =λ

−

∑

lll (параметр простейшего

потока отказов ω(

t) равен параметру λ экспоненциального

распределения);

- ω(

, t

) = ω(t) = λ.

3.3. Объекты с конечным временем восстановления

Время восстановления складывается из времени, затраченного

на поиск неисправности

, и времени, которое требуется на ремонт

или замену отказавшего объекта

. В дальнейшем время

восстановления будем рассматривать в целом τ =

+ t

Рассмотрим следующий процесс: объект, проработав время

выходит из строя и восстанавливается в течение времени τ

восстановленный объект работает некоторое время

и отказывает, за

время τ

он восстанавливается и т. д. Этот процесс изображен на рис.

3.8.

Рис. 3.8. Процесс функционирования объекта с конечным временем

восстановления

Будем предполагать, что все случайные величины

и τ

независимы и все периоды работы

распределены одинаково по

закону

(t) = P(T

< t) c наработкой на отказ ()

TMT

. Вероятность

отказа за время

t Q

(t) = F

(t), вероятность безотказной работы

() 1 ()

tQt=− . Все периоды восстановления распределены

одинаково по закону:

G(t) = P(τ

< t)

со средним временем восстановления

( ) () ()tG t dt tdG t

∞

′

τ=Μ τ = =

∫∫

где

G(t) – вероятность восстановления за время t;

При

G(t) = 1 – exp(–

t),

. Здесь µ – интенсивность

восстановления. Плотности распределений соответственно

f(t) = F ' (t)

g(t) = G ' (t).

Основные характеристики процесса определяются следующим

образом.

Коэффициент готовности

(t) как вероятность того, что в

момент времени

t объект находится в работоспособном состоянии,

определяется на практике в предположении, что интервалы времени

безотказной работы

и восстановления τ

являются независимыми и

распределенными экспоненциально.

Рассмотрим возможные состояния объекта на концах интервала

времени (

t, t + ∆t). Вероятность работоспособного состояния объекта

(t) и K

(t + ∆t), вероятность неработоспособного состояния объекта

1 –

(t) и 1 – K

(t + ∆t). Состояние объекта в момент t + ∆t

определяется тем состоянием, в котором находился объект в момент

и его поведением на интервале времени (

t, t + ∆t). В момент t объект

может находиться в работоспособном состоянии или в состоянии

восстановления. Вероятность застать объект в момент

t + ∆t в

работоспособном состоянии можно вычислить по формуле полной

вероятности:

(t + ∆t) = K

(t)R(∆t) + [1 – K

(t)]G(∆t),

где

R(∆t) и G(∆t) – вероятности безотказной работы и

восстановления за время ∆

R(∆t) = exp(–λ∆t) ≈ 1 – λ∆t;

G(∆t) = 1 – exp(–µ∆t) ≈ µ∆t.

Подставив эти выражения в формулу полной вероятности,

получим:

(t + ∆t) = K

(t) – K

(t)λ∆t + µ∆t – K

(t)µ∆t,

откуда

(t + ∆t) – K

(t) = – K

(t)(λ + µ)∆t + µ∆t.

Разделим обе части уравнения на ∆

t и, перейдя к пределу,

получим дифференциальное уравнение:

'(t) + (λ + µ)K

(t) = µ.

Решив это уравнение, найдем:

( ) exp( ( ) )

=+ −

+λ

µ+λ µ+λ

Значение

(t) в достаточно удаленный от начала работы момент

времени (стационарное значение коэффициента готовности)

t → ∞

гг г

() lim ()

KK Kt

→∞

∞= = = = = =

+λ +τ +υ

где

υ= =λτ

Статистически коэффициент готовности вычисляется по

следующим формулам:

()

, где N(t) – количество объектов, работоспособных

в момент времени

t; Ν

– общее число испытываемых объектов;

()

i и

ii и

TNmt

+−

+τ+ −

∑

∑∑

где

∑

– суммарная наработка на отказ всех отказавших

объектов за время наблюдения (испытания) t

∑

– суммарное

время всех аварийных ремонтов отказавших объектов.

Математическое ожидание длительности цикла

TT=+τ.

Частота появления отказов:

== = =λ

+υ

λµ

Вероятность нахождения объекта в неработоспособном

состоянии называют коэффициентом неготовности и вычисляют по

формуле K

(t) = 1 – K

(t). Стационарное значение:

ΗΓ Γ

λτ υ

=− = = = = =υ

λ+µ +µ λ υ+

+τ

Коэффициент аварийного простоя (относительная длительность

аварийного простоя, вероятность состояния аварийного простоя) –

ав

= υ =

λτ

Коэффициент планового простоя – q

пл

= λ

пл

Коэффициент простоя – q = q

ав

+ q

пл

Коэффициент технического использования определяется как

отношение математического ожидания времени пребывания объекта в

рабочем состоянии за некоторый период эксплуатации к

продолжительности этого периода. Период эксплуатации включает в

себя рабочее состояние объекта, аварийные и плановые ремонты

(техническое обслуживание).

Статистически коэффициент технического использования

определяется следующим образом:

нр

ТИ

нр ав пл

ttt

∑

∑∑∑

где

нр

∑

– суммарное время нормальной работы;

ав

∑

–

суммарное время аварийных ремонтов;

пл

∑

– суммарное время

плановых (предупредительных) ремонтов на всех объектах. В случае

одинакового времени эксплуатации T

для каждого из n наблюдаемых

объектов:

нрi

ТИ

∑

Среднее значение времени нормальной работы

нр ТИ э

tKT= .

Коэффициент оперативной готовности определяется как

вероятность того, что объект, находясь в режиме ожидания, окажется

работоспособным в произвольный момент времени

и, начиная с

этого момента, будет работать безотказно в течение заданного

интервала времени (

, t

). Если вероятность безотказной работы

P(t

, t

) на временном интервале (t

, t

) не зависит от момента

включения в работу, то коэффициент оперативной готовности

определяется следующим образом:

ОГ

= K

P(t

, t

3.4. Электрические сети и системы

Назначение электрических сетей и систем – электроснабжение

потребителей определенного региона или района страны.

Невыполнение этой функции в какой-либо точке или узле ЭЭС

является отказом системы и классифицируется в зависимости от

степени нарушений режима и повреждений оборудования как авария

или отказ в работе (первой или второй степени). Рассматривая

однородные нарушения как случайные

события, можно применить

для оценки надежности электрической и электроэнергетической

системы приведенные выше показатели и характеристики: Λ(k), τ(k),

q(k), Q

(t), P

(t) и т. д. – для всех возможных видов событий (k-вид

события).

Количество возможных видов нарушений в любой реальной

сети или системе очень велико, поэтому при исследовании

надежности приходится сначала решать задачу определения вида или

видов нарушений, для которых предполагается оценивать частотные,

временные и вероятностные показатели. В простейших случаях виды

нарушений задаются самим исследователем.

Для каждого вида нарушений достаточно определить

частоту

Λ(

k) и длительность τ(k) или его вероятность q(k) = Λ(k)τ(k).

Эти показатели позволяют оценивать преимущества того или

иного варианта схемы сети или какого-либо технического решения и

обосновывать экономически мероприятия по повышению

надежности.

Интегральным показателем надежности электрической сети и

электроэнергетической системы может служить математическое

ожидание количества энергии, которое было или будет недодано

потребителям за определенный период времени (обычно за год).

Недоотпуск энергии рассчитывается, исходя из планируемого

почасового графика нагрузки потребителя или узла сети.

В случае анализа аварии, уже имевшей место, определяется

дефицит мощности в каждый

i-й час аварии:

= N

пi

– N

фi

где

пi

– планируемая нагрузка, N

фi

– фактическая нагрузка, и

вычисляется условный недоотпуск энергии за все

n часов от начала

аварии до ее полной ликвидации:

∆=

∑

В случае рассмотрения множества возможных аварий при

проектировании или эксплуатации необходимо определить

вероятности q(k) или частоты Λ(k) возникновения дефицитов,

среднюю величину дефицита

D(k) и длительность его существования

τ(

k) при каждой k-й аварии. Математическое ожидание недоотпуска

энергии за период (

, t

12 21 21

( (,)) ()()()( ) ()()( )

Wtt kDk kt t qkDkt t∆=Λτ−= −

∑∑

В литературе [6] предлагается использовать коэффициент π

обеспеченности продукцией – отношение математического ожидания

количества продукции (электроэнергии), отпущенной потребителям

за период времени (

, t

), к требуемому ее количеству за тот же

период времени. Этот показатель вычисляется следующим образом:

((,))

(, )

Wt t

∆

π= −

где

W(t

, t

) – планируемый отпуск энергии.

Для обоснования мероприятий по повышению надежности

электроснабжения потребителей используется критерий минимума

приведенных затрат [7,8,9]:

З =

К + И + З

где К – капиталовложения в систему электроснабжения;

И – издержки на эксплуатацию системы;

– нормативный коэффициент эффективности

капиталовложений (

= 0,12);

– затраты, связанные с нарушением нормального

электроснабжения (экономический ущерб).

Оценки составляющей приведенных затрат, связанной с

нарушением нормального электроснабжения, вычисляются на основе

нормативных величин предельных удельных затрат на повышение

надежности в различных отраслях народного хозяйства [13].

При внезапных перерывах электроснабжения потребителей

max

()

нплii вн

ТБ

З Wi

=∆ Λ

−

∑

при

max

ТБ

PP P

≤

− ;

()()

нплii внii вн

З W З Pi

=∆+∆Λ

∑

при

max

ТБ

PP P>−;

При перерывах и ограничениях электроснабжения потребителей

с заблаговременным их предупреждением

max

()

нплii пр

ТБ

З Wi

=∆ Λ

−

∑

при

max

ТБ

PP P

≤

− ;

()

нплiiпр

З Wi

=∆Λ

∑

при

max

ТБ

PP P>−.

Здесь З

плi

– нормативная величина предельных удельных затрат

на снижение объема недоотпуска энергии

i-му потребителю,

руб/кВт·ч;

внi

– нормативная величина предельных удельных затрат на

предотвращение внезапных отключений

i-го потребителя, руб/кВт;

max

– заявленная i-м потребителем максимальная мощность,

участвующая в максимуме нагрузки ЭЭС, кВт;

ТБ

– нагрузка технологической брони i-го потребителя, кВт (в

[13] приводится значение α =

ТБ

/ P

max

);

– среднее значение отключаемой мощности i-го потребителя

при одном нарушении электроснабжения, кВт;

∆

– среднее значение недоотпуска электроэнергии i-му

потребителю при одном нарушении электроснабжения, кВт·ч;

вн

(i) – среднегодовое число внезапных нарушений

электроснабжения

i-го потребителя, год

–1

;

пл

(i) – среднегодовое число нарушений электроснабжения i-го

потребителя с заблаговременным предупреждением, год

–1

;

n – число потребителей, у которых происходит изменение

уровня надежности электроснабжения при переходе от одного

варианта схемы к другому.

4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ РАСЧЕТА

НАДЕЖНОСТИ

4.1. Общие положения

Система или установка состоит из множества элементов.

Надежность такого объекта зависит от надежности ее элементов и от

его конфигурации. Рассмотрим системы со следующими свойствами:

- каждый элемент системы и сама система могут находиться

только в двух состояниях – работы или отказа;

- если все элементы системы работают, то и сама система тоже

работает

;

- если все элементы системы отказали, то и сама система тоже

отказала;

Обозначим:

– событие безотказной работы элементов;

– событие безотказной работы системы;

– событие отказа элемента;

– событие отказа системы.

Системы могут отображаться в виде физических схем и в виде

расчетных (логических). Первые характеризуются действительными

связями между элементами (например, электрическими), а вторые –

связями логическими в смысле надежности.

Логическая схема отображает отказ системы как следствие

отказов составляющих ее отдельных элементов или их комбинаций.

Отсутствие связи между началом и

концом логической схемы будем

считать за отказ системы. Расчетные и физические схемы могут

совпадать. По структуре можно выделить следующие схемы: с

последовательным соединением элементов, параллельным,

смешанным (последовательно-параллельным) и мостик.

Логическая схема – это графическое представление

функционирования системы.

Аналитическое представление функционирования системы –

функция работоспособности

(ФР) или функция отказа

функционирования

(ФО), записанные как комбинации событий A

или

и представляющие собой функции алгебры логики (ФАЛ).

Показатели надежности систем вычисляются с помощью теории

вероятностей.

Примеры. Потребитель питается от трех высоковольтных линий.

Пусть отказ электроснабжения будет происходить при отказе двух

линий одновременно. Тогда физическая и логическая схемы

соответственно выглядят следующим образом:

В табл. 4.1. приведены две схемы. Рассмотрим схему с

нормально замкнутыми контактами. Физически – последовательное

соединение элементов. Отказ срабатывания схемы в целом

произойдет, если откажут оба реле одновременно. Логическая схема

изображается как параллельное соединение элементов.

Таблица 4.1

Физические и логические схемы

двух последовательно включенных реле

Нормально замкнутые

контакты реле

Нормально разомкнутые контакты

реле

Физические схемы