Гук Ю.Б. Теория надежности. Введение: учеб. пособие
Подождите немного. Документ загружается.
161
• нормировать левые и правые границы всех интервалов по
формуле
()
()
i
i
x
MX
z
DX
−
= , присвоить значение
−
∞ левой границе
первого интервала и ∞ правой границе последнего интервала;
• вычислить теоретические вероятности попадания в каждый из
интервалов случайной величины
X по формуле
,,
()()
i пр i л i
p
zz
=
Φ−Φ,
где (...)
Φ – функции Лапласа (их значения табулированы);
• вычислить теоретические количества попаданий в каждый из
интервалов по формуле
ii
mnp
=
;
• рассчитать значение
2
2
1
()
l
ii
i
i
mm
m
=
−
χ=
∑
)
;
• задаться вероятностью допустить ошибку первого рода
(например, уровень значимости α = 0,05) и вычислить количество
степеней свободы
k = l – 2 – 1, так как при нормальном законе r = 2;
• из таблицы критических точек распределения
2
χ
выписать
значение
2
(,)
кр kα
χ и оценить его соотношение с расчетным значением
2
χ
;
• в зависимости от полученного характера неравенства сделать
вывод о правильности выдвинутой гипотезы о законе распределения.
7.4. Элементы дисперсионного анализа
Дисперсия или рассеяние – характеристика распределения
вероятностей случайной величины, определяемая как математическое
ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.
Дисперсионный анализ – это методика определения влияния одной
или нескольких переменных, называемых факторами, на какую-либо
случайную величину. При этом оценивается вероятность этого
влияния. Методами дисперсионного анализа можно, например,
определить влияние уровня эксплуатации на
показатели надежности
162
оборудования или влияние квалификации персонала на качество
профилактических проверок устройств защиты. Это задачи так
называемого однофакторного анализа.
Пусть какая-либо случайная величина
X наблюдалась в k
различных группах опытов с числом наблюдений в
i-й группе,
равным
n
i
, и все значения x
ij
в каждом из опытов зафиксированы (j-
номер опыта). Среднее значение величины
X в каждой i-й группе
опытов
1
1
,
i
n
iij
j
i
x
x
n
=
=
∑
а по всем наблюдениям –
11
1
,
i
n
k
ij
ij
k
i
i
x
x
n
==
=
=
∑∑
∑
Полное рассеяние случайной величины X
2
11
(),
i
n
k
ij
ij
Dxx
==
=−
∑∑
рассеяние между группами (рассеяние по фактору)
2
1
1
(),
k
ii
i
Dnxx
=
=−
∑
остаточное рассеяние
2
2
11
(),
i
n
k
ij i
ij
Dxx
==
=−
∑∑
при этом D = D
1
+ D
2
.
Необходимо проверить, было ли различие в условиях опыта
между группами, то есть, можно ли объяснить различие в результатах
по группам влиянием какого-то определенного фактора, а не просто
случайностью. В качестве основной или нулевой гипотезы
163
принимают гипотезу об отсутствии такого влияния.
Противоположная гипотеза – влияние имеет место. Для проверки
гипотез используют тот факт, что случайная величина
S
1
= D
1
/(k – 1)
имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы
k
1
= k – 1,
а величина
S
2
= D
2
/(n – k) – распределение хи-квадрат с числом
степеней свободы
k
2
= n – k.
Отношение
F = S
1
/S
2
имеет F-распределение, 95%-ная квантиль
которого приводится в справочниках в функции
k
1
и k
2
(фрагмент
такой таблицы приводится в табл. 7.3). Полученное по данным
наблюдений значение
F сравнивается со значением F
0,95
(k
1
; k
2
). Если F
< F
0,95
, принимается основная гипотеза (влияния нет), если F > F
0,95
–
противоположная (влияние есть).
Таблица 7.3
Критерии принятия решения (квантили F = s
1
/s
2
)
Квантили
F
0,95
k
1
k
2
1 2 3 4 5
1 161,4 199,5 215,7 224,9 230,0
2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3
3 10,1 9,6 9,3 9,1 9,0
4 7,7 6,9 6,6 6,4 6,2
5 6,6 5,8 5,4 5,2 5,0
6 6,0 5,1 4,8 4,5 4,4
7 5,6 4,7 4,3 4,1 4,0
8 5,3 4,4 4,1 3,8 3,7
9 5,1 4,2 3,9 3,6 3,5
10 5,0 4,1 3,7 3,5 3,3
Пример 7.7. Рассмотрим весьма распространенную
производственную ситуацию. Три мастера (
i = 1,2,3) производили
проверку однотипных комплектов релейной защиты. Каждый из них
проверил различное число комплектов и и выявил различное число
164
дефектов при каждой проверке (табл. 7.4). Анализируя их работу,
начальник наладочного участка выдвинул предположение о
различной квалификации мастеров. На первый взгляд, среднее число
найденных дефектов при одной проверке у одного из мастеров
заметно ниже оценок других мастеров.
Если же выполнить расчеты рассеяния результатов, то
D
1
= 36,
D
2
= 58, и при k
1
= k –1 = 3 – 1 = 2; k
2
= n – k =12 – 3 = 9 имеем:
36 9
258
F
⋅
=
⋅
= 2,8.
Из табл 7.3 имеем
F
0,95
(2; 9) = 4,2, но 2,8 < 4,2 значит
принимается нулевая гипотеза, то есть обвинять второго мастера в
отсутствии служебного рвения или низкой квалификации нет
оснований.
Таблица 7.4
Исходные данные для расчета (к примеру 7.5)
i-й мастер
Проверка j
1 2 3
Всего
1 11 6 8 25
2 7 1 7 15
3 8 2 9 19
4 4 – 4 8
5 5 – – 5
Всего мастером
- обнаружено дефектов:
- выполнено проверок:
35
5
9
3
28
4
72
12
Среднее число дефектов 7 3 7 6
7.5. Элементы регрессионного анализа
Если одновременно рассматривать влияние ряда факторов,
таких, как климатические условия, технический уровень
производства, режим эксплуатации, то задача становится
165
многофакторной. Многофакторное исследование с инженерной точки
зрения эффективнее осуществлять в форме регрессионного анализа.
Регрессия – зависимость значения какой-либо случайной величины y
от некоторой другой величины
x или от нескольких величин x
1
, x
2
, ... ,
x
k
, которые, вообще говоря, могут быть и не случайными. Величина y
будет состоять из детерминированной составляющей
f(x
1
, x
2
, ... , x
k
) и
составляющей
x, которую будем считать случайной величиной,
имеющей нормальное распределение с нулевым математическим
ожиданием. Детерминированная составляющая будет при этом
представлять собой условное математическое ожидание значения
y
при данных значениях факторов
x
1
, x
2
, ... , x
k
. Вектор X = (x
1
, x
2
, ... , x
k
)
определяет точку в
k-мерном пространстве, в котором f(x
1
, x
2
, ... , x
k
)
описывает поверхность, называемую поверхностью отклика.
Удобно функцию
f(x
1
, x
2
, ... , x
k
) вблизи рабочей точки разложить
в ряд Тейлора. Ограничившись конечным числом членов разложения,
приходим к представлению функции полиномом конечной степени
2
0
11 1,
() ...
i
kk k
i i ii ij i j
ii jij
yX b bx bx bxx
== =>
=+ + + +
∑∑ ∑
Это выражение можно представить в более компактном виде,
введя фиктивную переменную
x
0
= 1 и заменив произведения двух и
более переменных на новые переменные:
x
1
2
= x
k+1
; x
2
2
= x
k+2
, ... , x
k
2
= x
2k
; x
1
x
2
= x
2k+1
; x
1
x
3
= x
2k+2
; ...
Общее число переменных
n при этом будет равно числу
сочетаний из
k + d по k, где d – степень полинома. Уравнение
поверхности отклика при этих обозначениях
0
()
n
ii
i
yX bx
=
=
∑
,
и является собственно уравнением регрессии, а входящие в него
коэффициенты называются коэффициентами регрессии. Задача
регрессионного анализа состоит в определении коэффициентов
166
регрессии путем наблюдения за характером изменения входных
переменных
X и выходной переменной y.
Экспериментальные точки можно выбирать из множества
наблюдений объектов в ходе их эксплуатации (пассивный
эксперимент), когда значения переменных хотя и фиксируются, но их
направленное изменение невозможно. При возможности
варьирования входных переменных сокращаются сроки проведения
экспериментов и получается максимум информации. Разработаны
библиотеки оптимальных планов активного факторного
эксперимента. Эти планы позволяют уменьшить
среднеквадратическую
ошибку оценок коэффициентов регрессии и
число опытов.
Полный факторный эксперимент при трех факторах имеет
матрицу планирования
456 7
0 1 2 3 12 23 13 123
()()() ()
11111 1 1 1 1
21111 1 1 1 1
31111 1 1 1 1
41111 1 1 1 1
51111 1 1 1 1
61111 1 1 1 1
71111 1 1 1 1
81111 1 1 1 1
x
xx x
kxxxxxxxxxxxxx
+−−− + + + −
++−− − − + +
+−+− − + − +
+++− + − − −
+−−+ + − − +
++−+ − + − −
+−++ − − + −
++++ + + + +
Здесь
k – номер строки или опыта; +1 означает верхний уровень
воздействия фактора; (–1) – нижний уровень воздействия фактора.
Этот же план может рассматриваться как дробная реплика при семи
факторах (указанных в скобках). При полном факторном
эксперименте план дает возможность вычислить оценки
коэффициентов полинома
167
y = b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
12
x
1
x
2
+ b
23
x
2
x
3
+ b
13
x
1
x
3
+ b
123
x
1
x
2
x
3
по формулам
8
1
1
;
8
iikk
k
bxy
=
=
∑
8
1
1
;
8
ij ik jk k
k
bxx
y
=
=
∑
8
123 1 2 3
1
1
8
kkkk
k
bxxxy
=
=
∑
с дисперсией коэффициентов D(b) = (1/8)D(y);
где
D(y) – дисперсия оценки y в каждом из восьми опытов.
В случае дробной реплики, когда полином регрессии не
содержит двойных и тройных взаимодействий факторов
y = b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
4
x
4
+ b
5
x
5
+ b
6
x
6
+ b
7
x
7
,
его коэффициенты вычисляются как
8
1
1
.
8
iikk
k
bx
y
=
=
∑
Факторный эксперимент дает возможность численной оценки
степени влияния каждого фактора
x на исследуемый выходной
параметр
y. Следует отметить, что каждый фактор в полиноме
регрессии может принимать значение в интервале (–1, +1) и
коэффициенты полинома оценивают их относительное влияние.
Отбрасывая незначимые факторы и проверяя адекватность уравнения
регрессии результатам опытов, можно получить грубую модель с
известной точностью и достоверностью.
Пример 7.8. В [7] приводятся результаты обработки
статистических данных о параметре потока отказов воздушных
выключателей по плану факторного эксперимента для шести
факторов. Полином регрессии для
ω , 1/год:
ω = 0,0360 – 0,0056 x
3
+ 0,0068 x
4
+ 0,0123 x
5
,
168
где x
3
– длительность воздействия максимальных
положительных температур (+1 означает более 30 дней в году с
температурой свыше 40 градусов, –1 означает менее 10 дней с такой
температурой),
x
4
– длительность воздействия минимальных
отрицательных температур (+1 означает более 30 дней в году с
температурой ниже –40 градусов, –1 означает менее 10 дней с такой
температурой),
x
5
– число отключений коротких замыканий в течение
года (+1 означает 10 отключений и более, –1 означает не более одного
отключения).
Остальные факторы оказались незначимыми. Самым значимым
фактором является количество отключений коротких замыканий. Это
послужило основанием для разработки моделей сработки
коммутационного ресурса и введения в модель надежности
распределительного устройства вероятности отказа выключателя в
отключении короткого
замыкания.
169
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математический аппарат теории надежности базируется на
применении таких разделов современной математики как теории
вероятностей, математической статистики, теории случайных
процессов, теории графов и др. Пособие содержит описание основных
понятий математики, необходимых для усвоения содержания лекций
по надежности.
Рассмотрены показатели надежности для невосстанавливаемых,
восстанавливаемых с мгновенным восстановлением и
восстанавливаемых с конечным временем восстановления
объектов.
Приведены формулы вычисления по статистическим данным. В
качестве объектов выступают системы или их элементы.
Различают структурную и функциональную надежности.
Первой из них и посвящено настоящее пособие. Функциональная
надежность рассматривается в отдельных курсах лекций (статическая
и динамическая устойчивость, переходные процессы, режимы работы
электрооборудования станций и подстанций и т. д.).
В
пособии приведены методы анализа надежности систем
энергетики – такие как логико-вероятностные (сетевые и
аналитические), марковские, дерева отказов, таблично-логические,
топологические.
Методы дерева отказов для оценки надежности систем
электроснабжения собственных нужд станций и таблично-логический
для исследования надежности главных схем электрических
соединений станций и подстанций разработаны на кафедре
“Электрические станции и
автоматизация энергетических систем”
электромеханического факультета СПбГПУ под руководством
доктора техническиъх наук, профессора кафедры Гука Ю. Б.
Программы расчета для персональных компьютеров используются в
проектных организациях для выбора схем электрических соединений
современных энергообъектов.
170
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ГОСТ 27.002-83. Надежность в технике. Термины и
определения. – М., 1983.
2. Надежность систем энергетики. Терминология: Сборник
рекомендуемых терминов. Вып. 95. – М. : Наука, 2002.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. – М. : Изд. Высшая школа, 1998.
4. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические
методы в теории надежности. – М. : Наука, 1965.
5. Эндрени Дж
. Моделирование при расчетах надежности в
электроэнергетических системах. – М. : Энергоатомиздат, 1983.
6. Руденко Ю. Н., Ушаков И. А. Надежность систем энергетики.
– М. : Наука, 1986.
7. Гук Ю. Б. Теория надежности в электроэнергетике. – Л. : Изд-
во Энергоатомиздат, ЛО, 1990.
8. Китушин В. Г. Надежность энергетических систем.
Теоретические основы : Учебник. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,
2003.
9. Розанов М.
Н. Надежность электроэнергетических систем. –
М. : Энергоатомиздат, 1984.
10. Фокин Ю. А., Туфанов В. А. Оценка надежности систем
электроснабжения. – М. : Энергоиздат, 1981.
11. Рябинин И. А., Киреев Ю. Н. Надежность судовых
электроэнергетических систем и судового электрооборудования. – Л. :
Изд-во Судостроение, 1974.
12. Гук Ю. Б., Карпов В. В. Расчеты надежности электрических
сетей и систем: Учеб. пособие. –
Л. : Изд. ЛПИ, 1990.
13. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля
качества и надежности. – M. : Советское радио, 1962.