Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

т. е. р есть отношение избытка силы тяжести на полюсе

к силе тяжести на экваторе.

Таким образом, измеряя силу тяжести на Земле,

можно вычислить два основных параметра фигуры Земли:

а и ge.

§ 4. Формулы нормального значения силы тяжести

В процессе вывода уравнения Клеро мы приняли, что

Земля является телом вращения; тогда моменты инерции

относительно осей х и у —А и В — равны. Однако если этого

не делать, то мы получим в формуле член, зависящий от

долготы и характеризующий трехосную Землю. Можно

также удержать большее количество широтных членов, что

дает в уравнении (2.21) еще один поправочный член.

В этом случае формулы (2.20) и (2.21) будут иметь сле

дующий вид:

■’для трехосной Земли

g=ge [ 1+Р sin2 ф — Р' sin2 2ф +Р" cos2 ф cos 2 (Я — Х0)], (2.23)

где

Р = |-<7 — Р' = 4 а < 7 - 4 « 2, Р', = т1сс*<7 — Т “3’

причем К0 — долгота наибольшего радиуса экваториального

сечения;

для двухосной Земли

gr=£e(l+ P sin ^ —Р'зт22ф). (2.24)

Эти формулы характеризуют поле силы тяжести некото

рой осредненной Земли, представленной в виде трехосного

или двухосного эллипсоида.

Подбором параметров ge, р, Р', Р" можно добиться наи

лучшего приближения модели гравитационного поля, пред

ставляемого этими формулами, к реальному полю Земли

вблизи ее поверхности. Формулы (2.23), (2.24) с численны

ми коэффициентами, представляющими эту модель, назы

ваются формулами нормальной силы тяжести.

Введение модели нормального гравитационного поля

очень удобно. Оказывается возможным заменить поле силы

тяжести Земли более простым разностным полем аномалий

силы тяжести, образованных как разность истинного и

нормального полей. Аномалии намного меньше нормальной

составляющей силы тяжести, и всяческие операции с ними

значительно проще.

Система аномалий, очевидно, зависит от того, какая мо

дель нормального поля принята. Введение новой модели

влечет за собой большую работу по перевычислению ано

малий. Поэтому, хотя было предложено много формул нор

мальной силы тяжести, практически до последнего времени

применялись две — формула Гельмерта (1901—1909 гг.),

имеющая вид

■у = 978 030 (1 + 0,005 302 sin2 ф — 0,000 007 sin* 2ф) мГал

(2.25)

и соответствующая эллипсоиду со сжатием а = 1 : 298,2, и

формула Кассиниса (1930 г.), получившая также название

международной, имеющая вид

7 = 978 049(1+ 0,005 288 4 sin2? —

— 0,000 005 9 sina 2ф) мГал (2*26^

и соответствующая эллипсоиду со сжатием ос=1 : 297,0.

Формула Гельмерта получена по небольшому числу гра

виметрических измерений. При ее выводе использовано

лишь 1603 осредненных значения силы тяжести. Коэффици

енты ge и р найдены путем решения системы условных урав

нений вида (2.25). Коэффициент |3' =0,000007 вычислен тео

ретически, на основе гипотезы Дарвина и Вихерта о внут

реннем строении Земли. Совпадение сжатия с современным

значением здесь в какой-то мере случайно.

При выводе формулы Кассиниса использовались геоде

зические и гравиметрические методы. В ней в качестве сжа

тия а принято значение сжатия международного геодези

ческого эллипсоида относимости 1930 г., и по нему вычисле

ны параметры р и (}'. Только экваториальная постоянная

ge получена гравиметрическим путем.

Таким образом, обе эти формулы, с современной точки

зрения, не могут быть признаны наилучшими. Однако не

смотря на повторение их вывода многими авторами на зна

чительно более точном и полном материале, до последнего

времени они сохраняют свое практическое значение. О но

вом подходе к понятию нормальных формул будет гово

риться в главе 7.

В свое время была высказана идея принимать Землю не

за фигуру вращения, а за трехосный эллипсоид. Эта мысль

основывалась на обнаруженном^геодезистами отклонении

экватора от формы правильной окружности. Так, Гель-

мерт в 1915 г. вычислил, что большая ось экваториального

эллипса на 230 м длиннее малой усимеет направление 17°

к западу от Гринвича. ' /

Идея трехосности Земли заинтересовала многих геоде

зистов, и со времени первого указания Гельмерта многие

авторы рассчитывали величину и направление главных осей

экватора. Была даже сделана попытка физически обосно

вать трехосность, опираясь на работы Якоби и более позд

ние исследования Пуанкаре и Ляпунова, доказавших су

ществование фигур вращения в виде трехосных эллип

соидов и даже выделивших класс таких устойчивых фигур.

Однако эта попытка основана на недоразумении. Трехосные

вращающиеся эллипсоиды Якоби, как показал Ляпунов,

устойчивы только при выполнении условия, что угловая

скорость превосходит некоторый предел (о > V2лО'а j/ 0 ,14 .

„ „ 2л 6,28

Однако угловая скорость Земли ш = -у- « 86 QQ(j ==

= 0,73 • 10-4 с-1 на порядок меньше указанного предела, ко

торый для средней плотности Земли а =5,52 г/см8 составляет

приблизительно 6*10_ 4 с~1. Кроме того, Земля и планеты

неоднородны, а существование фигур Якоби и их устойчи

вость рассмотрены для вращающейся идеальной однородной

жидкости.

Обнаруженная геодезистами трехосность — скорее про

явление отклонения Земли от правильной сфероидальной

формы вследствие ее неоднородности. Это подтверждается

оиного^поля Земли с помощью искусственных спутников,

открывших новую страницу вь геодезии, фигура Земли изу

чена весьма подробно. Уже известны не только такие круп

ные асимметрии, как те, которые возбудили идею трехос-

Рис. 9. Характер отклонения

геоида от сферы на экваторе.

наличием такого же порядка

отклонений от сфероидально

сти в более высоких гармони

ках. В частности, обнаружена

зональная асимметрия: в юж

ном полушарии уровенная по

верхность геоида проходит на

несколько десятков метров

ниже, чем в северном, а нап

равления наиболее длинных

экваториальных радиусов в

северном и южном полуша

рии смещены на несколько

десятков градусов.

В результате двадцатилет

них исследований гравитаци-

ности, но и более мелкие детали фигуры геоида. Но об

этом речь впереди, в главах 6 и 7. Что же касается идеи об

эллиптичности экватора, то заметим, что по современным

данным действительно отмечается некоторая вытянутость

его в области юго-восточной Азии, однако эту вытянутость

вряд ли можно трактовать как эллиптичность. Отклонения

экватора от окружности неправильные и не превосходят

100 м. В сильно преувеличенном масштабе они показаны на

рис. 9.

§ 5. Задача Стокса

Теория Клеро связывает фигуру однородной вращаю

щейся Земли с гравитационным полем, развиваемым ее мас

сами, и позволяет найти сжатие Земли, ее экваториальную

гравитационную постоянную ge и некоторые другие пара

метры по измерениям силы тяжести на поверхности и коор

динатам точек, в которых эта сила тяжести измерена. Но в

этой теории имеется одно существенное ограничение: одно

родность масс или хотя бы однородность масс по концент

рическим слоям. Это следует из того, что Клеро вывел свою

теорию в предположении гидростатического равновесия

Земли. При этом условии был получен потенциал силы тя

жести и его градиент g. В середине прошлого столетия

Стоксу удалось снять ограничения, наложенные Клеро на

распределение масс при получении потенциала силы тяже

сти. В 1849 г. он опубликовал свои результаты. Стокс сфор

мулировал и решил проблему построения внешнего грави

тационного поля Земли при заданной общей массе и из

вестной уровенной поверхности в форме эллипсоида вра

щения. Построенный по теории Стокса потенциал для

некоторой идеализированной Земли, по возможности близ

кий к потенциалу реальной Земли и имеющий достаточно

простой вид, называется нормальным потенциалом. Он вво

дится для удобства решения различных задач, связанных

с изучением фигуры Земли и ее внешнего гравитационного

поля. Использование нормального потенциала позволяет за

менить изучение реального внешнего гравитационного поля

Землитизучением"его малых отступлений от нормального.

Стоксом была поставлена также обратная задача —

построить внешнюю уровенную поверхность по известному

потенциалу и общей массе. В общем виде эта задача так и

не была решена. Для нее Стокс дал частный случай реше

ния, а именно, показал, как можно построить внешнюю

уровенную поверхность потенциала W, развиваемого мас

сами М при заданной уровенной поверхности нормального

потенциала по известным значениям производных потен

циала, т. е. силы тяжести на этой уровенной поверхности.

Иными словами, была постарЛена и решена краевая задача

для возмущающего потенииала силы тяжести и дана фор

мула для высот геоида,/являющегося искомой уровенной

поверхностью (подробна об этом в главе 5).

В общем виде краевая задача теории потенциала состоит

в отыскании решения уравнения Лапласа АУ=0 во внеш

ней (или внутренней) по отношению к поверхности области

при заданных на поверхности значениях функции или ее

производной.

В теории фигуры Земли задача Стокса формулируется

следующим образом: требуется найти гармоническую функ

цию, непрерывную и конечную и обладающую непрерывны

ми и конечными первыми производными, регулярную на

бесконечности, удовлетворяющую уравнению Лапласа

Задача решается для эллипсоидальной уровенной по

верхности и приводит к значению потенциала вида

где и и w — ортогональные криволинейные координаты.

Потенциал силы тяжести W получается добавлением цент-

Дифференцирование W по нормали приводит к формуле

Пицетти —• Сомильяна, которая является 'более точным

выражением теоремы Клеро,

где В — геодезическая широта места.

Эта формула в замкнутом виде устанавливает связь

силы тяжести с геодезической широтой места В и парамет

рами земного эллипсоида. Раскладывая в ряд знаменатель

AV =0 и принимающую на поверхности некоторые задан-

(£)5£

ные значения V0 = const — (x2 + у2) .

V—'—jr arcctgsh

X [(3sh2tiy— 1) arcctgsh да —3 shay], (2.27)

(2.28)

yea cos2 В + ypb sin2 В

(2.29)

и отбрасывая члены порядка квадрата сжатия и выше, по

лучим формулу Клеро, выведенную нами в главе 3 иным

путем.

§ 6. Теорема Стокса \

Стокс доказал теорему единственности для потенциаль

ных функций, которая убеждает нас, что построенная функ

ция, являясь единственным возможным решением, и есть

действительно искомый потенциал.

Теорема формулируется так: если некоторая поверх

ность уровня S заключает внутри себя всю притягивающую

материю, то при всяком перераспределении этой материи,

при котором величина ее массы остается неизменной, а по

верхность S остается поверхностью уровня, потенциальная

функция притягивающей массы во внешнем относительно

поверхности S пространстве также остается без изменения.

Доказательство этой теоремы идет от противного: пред

положим, что есть два решения Vi и V3, соответствующие

различным распределениям масс, гармонические вне обла

сти, охватываемой S, регулярные на бесконечности и

принимающие в пределе на S значения Vi=C1, V2= C 2.

Воспользуемся формулой из преобразований Грина для гар

монических функций U и V, которые определены в'прост-

ранстве т, ограниченном поверхностью 5 и сферой 2 боль

шого радиуса:

ДО У г UAV + D (UV)] dx = ДО U ds,

где

S + 2

dU dV , dU dV , dU dV

D (UV) ^ qx T Qy Qy 1 QZ dZ ’

и применим ее к гармонической функции T*=Vt—V2'

ДОУ [TAT + D(TT)]dx = ДО т ' ^ ds.

:зт

S+ 2

По условию в области т АТ= 0, поэтому получаем

Ш ° (7'г)л = И т 1 1 * - Я г ж*- <2-30>

т S S

Второй интеграл имеет знак минус, потому что внешняя

нормаль к поверхности S является внутренней к объему т.

Рассмотрим первый из интегралов правой части выра

жения (2.30) при неограниченно/возрастающем радиусе R

сферы 2 . В этом случае в cij<rfy основных свойств потен

циала притяжения

GM / dV_ GM

дп

V -

Поэтому

I V1- V J = \ T \ < ^ ,

dVi / dV2

дп

дТ

дп

(2.31)

Заменяя во втором интеграле правой части (2.30) подын

тегральное выражение согласно (2.31) большими величина

ми и увеличивая тем самым каждый элемент интеграла,

имеем

дп

G2M2

При R-^-oo правая часть неравенства стремится к нулю.

Тем более

T i r ds

дп

Теперь

D(TT)dx = - ^ T ^ - d s .

По условию на т r= C i—С2. Тогда

dV,

дп

ds.

Согласно формуле Грина можем написать

N l f c ds = № /S V d x d y d z’

S х

где объемный интеграл распространен на внутренний объем

уровенной поверхности S, для которого имеет место урав

нение Пуассона

ДУ = — 4nGo, , j

где а — плотность. Поэтому

SV-,

ДО = — а ^х = —' 4n G M .

Таким образом,

или

Вследствие того, что каждый член в подынтегральной

функции (2.32) не меньше нуля, в каждой точке области г

во всем внешнем пространстве.

В силу определения Г

dV± = dV± . \dVj_ = a v v . дУг дУ2)

дх дх ’ ду ду ’ дг дг ’

что означает: Уг— У2= const во всем внешнем пространстве.

При неограниченном возрастании R потенциал Vi~>0 и

У2-Н); значит, Vx—Va-M), т. е. V i= F 2. Таким образом,

во всем внешнем пространстве, в том числе на поверхности

S, V i= y 2- -V. ..еш+с!

Эта теорема распространяется также на потенциал силы

тяжести W, который складывается из потенциала V при

тяжения и потенциала U центробежной силы. Последний

является только функцией координат и не зависит от масс.

Поэтому перераспределение масс на него не влияет.

Фундаментальное решение Стокса существенно расши

рило границы применимости теории Клеро. Стоксу^уда

лось освободиться от каких-либо гипотез относительно рас

пределения масс внутри уровенной поверхности 5 . Для

теории Стокса важны только следующие два условия: неиз

менность массы и отсутствие массы вне уровенной поверх

ности. Эти два условия следует всегда помнить при реше

нии различных гравиметрических задач.

имеем

дТ

дх ду дг

§ 7. Вторые производные потенциала сю ы тяжести

Первые производные потендаала силы тяжести по осям

координат являются проекциями силы тяжести на коорди

натные направления. Производная по направлению норма

ли к уровенной поверхности есть полная составляющая си

лы тяжести. Рассмотри^'теперь смысл вторых производных

потенциала силы тяжести по координатным осям, причем

за ось z выберем направление внутренней нормали к уро

венной поверхности в точке наблюдения, за ось х — каса

тельную к меридиану, за ось у — касательную к первому

вертикалу, тогда

-fo- — ёг — ё»

Продифференцируем эти величины по направлениям осей

координат. Получим формулы вторых производных потен

циала силы тяжести

^ = = d2W W

дгдх дх дх2 хх’

^ = d2W VP

дг ду ду гУ' ду2 W ’

^ = dg_= W Л К - Ц 7

дг дг дг zz' дхду ХУ'

(2.33)

Две первые формулы левого столбца дают изменение

силы тяжести при перемещении точки в горизонтальных

направлениях, т. е. горизонтальные градиенты силы тя

жести. Третья формула дает вертикальный градиент силы

тяжести.

Вторые производные потенциала по х и у характеризуют

кривизну поверхности. В самом деле, если поверхность

задана уравнением W (х, у, z)=C, то ее кривизна опреде

ляется формулой

- t д-Ш = ~ COs2 а + W *v sin 2 а + W vv sin2 “ ]. (2 -3 4 )

где а — азимут сечения.

Рассмотрим сечения в меридиане и первом вертикале.

В первом случае (а=0)

(2 -35)

где М и N — радиусы кривизны в плоскости меридиана

и первого вертикала соответственно. Отсюда разность Wд

вторых производных по х и у характеризует изменение

кривизны в точке в зависимости от азимута:

«г' „ , - « ?„ = » ' А = г ( 4 г - т ■ (2-37)

уу XX s \ М N

Сечения в плоскости меридиана и первого вертикала

будут главными сечениями поверхности. Разность опре

деляет разность кривизн главных сечений, т. е. отклоне

ние от сферичности. Величина смешанной производной Wxy

определяет направление главных нормальных сечений от

носительно выбранной системы координат х, у. Чтобы по

казать последнее, найдем по (2.34) кривизны двух взаимно

перпендикулярных сечений, проходящих под углами а и

« 0+ -7г к оси х. Разность кривизн этих сечений будет

Ра Р

—

----

= — (и?дС0з 2а — 2WXV sin2a). (2

* Я &

а+2

.38)

Если в качестве сечений избрать главные сечения, то

разность (2.38) достигает максимума и ее производные по

а обращаются в нуль:

Ра

(Н^д2 sin 2а + 4Wх cos 2а) = О,

откуда

да, g ' ' ху

tg 2a =

------

(2.39)

Таким образом, вторые производные потенциала харак

теризуют величины горизонтальных и вертикальных

градиентов силы тяжести, т. е. изменение силы тяже

сти на уровенной поверхности и кривизну этой по

верхности.

Размерность вторых производных потенциала силы тя

жести, очевидно, будет

\т -ъ|

[Г2] [LJ L >

В системе СИ это такая единица, когда на длине в 1 м ус