Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

Численные значения Аи А 2, А а даны для эллипсоида Кра-

совского. Интегрируя почленно, получаем:

sM = a (1 — е2) £Аг (Ва — Вг) — у Л2 (sin 2 £а — sin 2Вг) +

+ ^ (sin 4 B 2-sin 4 B 1) - .. .J . (3.16)

Длина дуги параллели получается сразу в конечном виде:

s = N cos В (L2 - LJ = (U - LJ. (3,17)

(1 —e2sm2ii) 12

Формула (3.16) для дуги меридиана представляется в виде

ряда с быстро убывающими коэффициентами. Удержание

четырех членов обеспечивает вычисление дуг длиной до

400 км.

§ 6. Уклонение отвесной линии

Понятие уклонения отвеса является одним из важней

ших в высшей геодезии и теории фигуры Земли. Именно

оно определяет переход от координат астрономических к

геодезическим. Направление отвеса совпадает с касательной

к силовой линии и всегда перпендикулярно уровенной

поверхности в данной точке. По отвесу устанавливается

инструмент при определении астрономических координат

Ф и К. Уклонение отвеса определим как угол {} между от

весной линией п и нормалью N к референц-эллипсоиду

(рис. 13). Обычно рассматриваются составляющие укло*.

нения отвеса £, г| в плоско

стях меридиана и первого

вертикала.

Пусть для некоторого

пункта М физической поверх-

Геоид

ЗЛЛИПСОИД

Рис. 13. Уклонение отвесной ли

нии; расположение относительно

референц-эллипсоида.

Рис. 14. Уклонение отвесной ли- ‘

нии; расположение | и г) на

сфере.

ности Земли (рис. 14) известны астрономические коорди

наты ф, К и геодезические В, L. Опишем вокруг М вспо

могательную сферу произвольного радиуса. Отвесная ли

ния в точке М пересечет сферу в точке астрономического

зенита ZA. Проходящая через М нормаль к референц-

эллипсоиду пересечет сферу в точке геодезического зенита

Zr. Направление на полюс мира, параллельное оси вра

щения Земли, пересечет сферу в точке полюса Р. Дуги

большого круга, соединяющие точки Р, Zr, Za, образуют

сферический треугольник, в котором дуга PZA есть аст

рономическое полярное расстояние точки ZA, равное 90°—

— Ф, дуга PZr — полярное расстояние точки Zr, равное

90°—В, дуга ZAZT— полное уклонение отвеса й в точке М.

При этом референд-эллипсоид ориентирован так, чтобы в

рассматриваемых геодезической и астрономической систе

мах координат было одно и то же направление на полюс

мира. Условимся также счет долгот в обеих системах

координат вести от одного и того же начального меридиана.

Тогда угол при полюсе ZAPZV будет равен X—L. Проведем

теперь дугу большого круга ZAK, перпендикулярную к

геодезическому меридиану PZT. Очевидно, что дуга ZrK

равна \ — составляющей уклонения отвеса в меридиане,

а дуга ZAK—г) ■— составляющей уклонения отвеса в первом

вертикале. Дуга КР равна разности дуг ZrP и ZrK, т. е.

90°—В—§. Из сферического треугольника ZAKP получим

cos (X — L) = tg ф ctg (В + |),

sin г] =sin(X — £)соэф.

Раскладывая тригонометрические функции в ряды и от

брасывая квадраты малых величин £, т), X—L, получим

tg(5 + |),

1] S (А, — L) cos ф.

С той же степенью точности cos ф=соэ В. Окончательные

формулы для астрономо-геодезического уклонения отвеса

будут

|^ Ф — В

11 (X— L) cos В,

Такие уклонения отвесной линии называются астрономо

геодезическими, поскольку они получены чисто геомет

рическим методом.

§ 7. Градусные измерения

Формулы для длин дуг меридиана и параллели (3.16),

(3.17) и для составляющих уклонения отвеса (3.18), полу

ченные в предыдущих параграфах, служат основой градус

(3.18)

ных измерений. Градусные измерения в классическом

понимании представляют собой совокупность геодезических

и астрономических работ, предназначенных для определе

ния параметров земного эллипсоида и элементов его ори

ентировки в теле Земли. Сейчас это понятие трактуется

более широко, а именно, как совокупность геодезических,

астрономических и гравиметрических работ, предназначен

ных для определения элементов фигуры Земли и координат

сети опорных точек на ее поверхности. Под фигурой Земли

понимается фигура физической поверхности Земли, опре

деляемая элементами земного эллипсоида, множествами

высот геоида (превышений геоида над эллипсоидом) и

высот физической поверхности Земли.

Название «градусные измерения» — историческое: на

заре развития геодезии измерялась длина дуги в 1°. Фор

мулы (3.16) и (3.17) содержат величины ае — большую

полуось и в — эксцентриситет и разности широт и долгот.

Измерив координаты в конечных пунктах дуги и длину

дуги s, мы получаем уравнение с неизвестными ае и е —

параметрами земного эллипсоида. Для определения их

надо иметь по крайней мере два уравнения, а значит,

нужно знать по крайней мере две дуги, причем эти дуги

должны располагаться на различных широтах. Однако

современные определения не ограничиваются двумя дугами.

При градусных измерениях координаты конечных пунк

тов дуги измеряются астрономическим способом, а это

значит, что они отличаются от геодезических уклонением

отвесных линий. Соответствующая ошибка войдет и в

результат. Поскольку уклонения отвеса должны быть

распределены по всей Земле случайным образом, постольку

выгодно для решения задачи определения земного эллип

соида взять большое число дуг, расположенных по всей

Земле тоже случайным образом. Практически создается

сплошная сеть взаимно связанных градусных дуг, так

называемая геодезическая сеть.

Использование в геодезии гравиметрических данных

позволяет вычислить уклонения отвесных линий неза

висимо от геодезических измерений: по аномалиям силы

тяжести. Внося гравиметрические поправки в астрономи

ческие координаты, получают более точную геодезическую

сеть.

Сейчас при обработке больших геодезических сетей уже

имеются как исходные данные параметры земного» эллип

соида. Задача состоит не в их определении, а в их улуч

шении, т. е. в нахождении не самих ае и е2, а поправок к

ним Аа и Ае2 или А а и Аа:

ае = ая + &а,

а = а0 + А х .

Эксцентриситет и сжатие связаны соотношением

точным до квадрата сжатия.

Для каждого k-ro пункта геодезической сети можно

написать формулу перехода от старых координат в системе

эллипсоида (В£, Ц, к новым, улучшенным (Вк, Lk, Ak),

где ак — астрономический азимут. Для исходного пункта:

Изменения координат при переходе к новому эллипсоиду

зависят от изменения координат исходного пункта А В*

и A L-i и изменения параметров эллипсоида А а и Аа. Трак

туя полученные приращения координат как дифферен

циалы, можно написать для них уравнения

Введем сюда значения йВг и dA-i из (3.21) в виде конечных

разностей, после чего полученные значения приращений

е2 ^ 2а — а 2,

Bk = B% + ABft = )

Lk = L°k + ALk = Xk— л^есфй, }• (3.20)

Ак^А% + ЬАк = ак—1\кЦг<рк, j

В* = В ? + A B j = T j — | j , 'I

Lj = L\ + AZ,t = — % sec ф^, f (3.21)

At =

J + A i

= a

— ^ t g q ^ . J

подставим в уравнение (3.20). В результате находим:

^ = ^ + | § ( ф1 + ^ - 5 ; ) + М (а1+Т11 tg T i_ Lo) + ^

uBi oAi

+ ж Аа+ ж Аа= ъ ~ Ъ >

£* - « + Ц ( Ф1 + g, - В») + М (Kl -1 - Л1 tg ф1 -L\) +

+ Ж Аа+ ^ Аа = К ~ ^ secф*.;

(3.23)

Это широтные и долготные уравнения градусных изме

рений, по которым находятся поправки к размерам и ори

ентировке исходного эллипсоида:

Да, Да, rjjSec ф1; tg ф1;

последняя поправка riitg Фх астрономического азимута

получается из азимутального уравнения, аналогичного

второму уравнению (3.23).

Уклонения отвеса v\k находятся гравиметрическим

методом, и задача решается при условии

'ЯШ + 'Чь seca9 fc) = min.

Таким образом решается задача определения или уточ

нения размера и сжатия земного эллипсоида и его ориенти

ровки в теле Земли.

§ 8. Редукционная задача геодезии

Все геодезические измерения производятся на физиче

ской поверхности Земли. Эта поверхность имеет непра

вильную форму, и для нее неприменимы аналитические

формулы. Поэтому возникает необходимость переноса всех

величин, измеренных на физической поверхности Земли,

на референц-эллипсоид. Теория такого переноса называ

ется редукционной задачей геодезии. При строгом решении

этой задачи, когда перенос осуществляется по силовой

линии, возникают две главные редукции: одна учитывает

уклонение отвеса, т. е. переход от направления нормали к

уровенной поверхности, по которой устанавливается из

мерительный астрономический инструмент, к направлению

нормали к референц-эллипсоиду; другая — высоту точек

наблюдения над поверхностью референц-эллипсоида. По

правки, соответствующие обеим этим редукциям, вносятся

во все измеренные величины направлений (или углов)

и во все измеренные линейные величины (расстояния

между точками). Такой метод приведения измеренных на

физической поверхности Земли величин к референц-эл-

липсоиду называется методом "проектирования. Для его

применения необходимо знать в каждой точке уклонения

отвеса и геодезические высоты, т. е. высоты точек физи

ческой поверхности Земли над референц-эллипсоидом.

Ранее, когда не было возможности получить эти величины,

применялся так называемый метод развертывания, при

котором измеренные на физической поверхности Земли

длины линий редуцировались только за высоту над уров

нем моря, после чего они и измеренные на физической

поверхности Земли углы откладывались на поверхности

референц-эллипсоида без каких-либо изменений. Такой

метод переноса геодезических измерений на референц-

эллипсоид приводил к накоплению ошибок по мере уда

ления от исходного пункта.

§ 9. Триангуляция

Градусные измерения и создание опорной сети коор

динат осуществляются главным образом методом триан

гуляции. Триангуляция была предложена еще в XVII веке

как метод точных измерений расстояний, при котором

линейные измерения заменяются угловыми. Угловые из

мерения всегда производились точнее и проще, чем линей

ные. Поэтому вместо того, чтобы непосредственно измерять

расстояние между точками Л и Б на местности, между

ними строят ряд примыкающих друг к другу треугольни

ков (рис. 15). Определяя углы этих треугольников и длину

одной стороны, называемой выходной стороной, вычисляют

длины всех сторон и находят длину геодезической линии,

т. е. кратчайшего расстояния по поверхности между инте

ресующими нас точками. Линейные измерения длины вы

ходной стороны обычно заменяются измерением более

короткой линии (базиса), связанной с выходной стороной

также сетью треугольников — базисной сетью. Решая

треугольники базисной сети, вычисляют длину выходной

стороны.

Идея триангуляции принадлежит голландскому геоде

зисту В. Снеллиусу, который в 1614—1616 гг. впервые опре-

3 Н. П. Грушинский

делил таким образом радиус Земли. Метод сохранил свою

значимость и поныне, хотя сильно усложнился.

Появилось также и альтернативное решение — опре

деление расстояний с помощью дальномеров, так называ

емая высокоточная полигонометрия. Однако еще и до сих

пор триангуляция является основным методом построения

геодезических сетей. На территориях больших стран, где

покрытие всей страны сплошной сетью треугольников

оказывается делом, слишком дорогостоющим, строятся

триангуляционные ряды различных классов.

Ряды триангуляции I класса составляют сеть замкнутых

полигонов, которые, в свою очередь, заполняются триан

гуляцией II класса. Триангуляционные сети I и II классов

являются основой для построения более густой сети пунк

тов триангуляции III класса, служащей уже непосред

ственно для решения практических инженерных работ (кар

тографических, строительства дорог и предприятий, ме

лиоративных и т. п.), для которых требуется знание коор

динат на местности. В табл. 5 приведены основные техни

ческие требования к точности измерений в триангуляциях

различных классов.

По действующим инструкциям, на территории СССР

геодезические сети строятся в виде рядов триангуляции

I класса, образующих замкнутые полигоны со сторонами

порядка 200 км. Каждая такая сторона называется звеном

триангуляции и состоит из ряда треугольников (рис. 15)

числом не более 10. Ряды размещаются вдоль параллелей

и меридианов. В углах полигона, образуемых пересечением

этих рядов, измеряются базисы, астрономические коор

динаты и азимут направления выходной стороны. Выходной

называется сторона первого треугольника в звене, изме

ренная непосредственно или полученная решением тре

угольников, связывающих эту выходную сторону с непо

средственно измеренным базисом. Кроме того, астрономи

ческие координаты и азимуты измеряются в середине

звена. Это обеспечивает контроль и делает триангуляцион

ную сеть более жесткой.

Внутренние части полигонов I класса сплошь запол

няются треугольниками II класса. Внутренние части по

лигонов, образованных триангуляцией II класса, запол

няются треугольниками III класса и т. д. Сеть сгущается

так, чтобы обеспечить практические нужды народного

хозяйства. Окончательным результатом триангуляционных

работ является создание единой государственной геодези

ческой сети.

Таблица 5

Допустимые величины и погрешности при триангуляционных работах

различных классов

Класс триангу

ляции

Длина сторон,

км

1 Длина базиса,

1 км

Точность измерений

базиса

выходной

стороны

углов

астрономических

координат

20—30

7— 20

5 - 8

2 - 5

6 - 1 5

6 — 15

ы о - 6

1 :400 000

1 :300 000

1:200 000

1:150 000

± 0 " 7

±l|o

± 1 ,5

± 2 ,0

± о " з

± 0 ,4

0" 03

о', 03

о" 5

0 j 5

§ 10. Нивелирование

Геодезические сети обеспечивают определение геоде

зических плановых координат точек — широты В и дол

готы L или в прямоугольной системе — х и у. Однако для

установления однозначного положения точки требуется

определить еще и третью координату. Таковой является

высота. Началом отсчета высот служит некоторая услов

ная отметка, близкая к среднему уровню океана. Анало

гично единой государственной геодезической сети строится

единая государственная сеть нивелировок. Она состоит

из замкнутых полигонов с периметром до 800 км, по которым

осуществляется нивелирование. Такие полигоны образуют

нивелирную сеть I класса. Полигоны нивелировок I класса

Пересекаются нивелирными ходами II и Ш классов. Таким

образом выдерживается одинаковая с основной геодезиче

ской сетью схема построения. Однако нивелирные ходы

не совпадают с рядами триангуляции. Обычно они ведутся

вдоль железных и шоссейных дорог, по берегам рек и

другим удобным для работы путям. Высотные отметки

передаются также и на геодезические пункты. По возмож

ности нивелирные реперы (постоянные знаки с указанием

точной высоты) стараются совмещать с геодезическими

пунктами.

В табл. 6 приводятся основные допуски для нивелировок

различных классов.

Таблица 6

Допуски для нивелировок

Класс

нивелировок

Допустимая

длина периметра

полигона, км

Допустимая

невязка на

1 00 км хода,

мм

Формула для вычи

сления невязок

(L —длина

хода, км)

I 800

2 ,5 ^ 1

500—600 50

bV L

150—200 100 Ю У L

—

200 20 У L

Нивелирование производится с помощью специальных

инструментов — нивелиров. Применяются два метода ни

велирования. Им соответствуют два типа инструментов.

Для геометрического нивелирования или, иначе, нивелиро

вания горизонтальным лучом

применяются инструменты,

установленные в горизонталь

ной плоскости и не имеющие

вертикального круга. Пре-

Рис. 16. Схема геометрического вышение определяется как раз-

нивелирования Ah=b—a. ность отметок на рейках, ус

тановленных впереди и сзади

инструмента, при наведении его последовательно на перед

нюю и заднюю рейки (рис. 16). Такая разность высот на

зывается элементарным превышением. Сумма элементарных

превышений вдоль хода нивелирования дает превышение

пункта В над пунктом начала хода А (рис. 17). Если на

чало бралось от уровня моря, то мы получаем высоту над

уровнем моря. Однако сказанное не совсем точно. Высота,

полученная как сумма элементарных превышений Аhit

зависит от пути, по которому производилось нивелиро

вание. О некоторых тонкостях этого вопроса рассказы

вается в следующем параграфе.

Второй метод — так называемое тригонометрическое

нивелирование, или нивелирование наклонным лучом.

Рис. 17. К зависимости суммы элементарных превышений от пути ниве

лирования Л/г,- ф 2 ДЛ,-.

А А'В АВ'В

В этом случае дальномером измеряется расстояние до рейки

и теодолитом — угол над горизонтом при наведении ин

струмента на рейку. Превышение определяется как

Ah=d sin а,

где d — расстояние до рейки, а — угол наклона. Этот

метод нивелирования применяется на коротких расстояниях

и тогда, когда не нужна высокая точность определения вы

сот, например, при привязках гравиметрических пунктов

к нивелирным реперам государственной нивелирной сети.

§ 11. Системы высот

Чтобы получить высоту данной точки, прокладывают

нивелирный ход от репера, высота которого над уровнем

моря известна. При этом нивелир поворачивается в строго

горизонтальной плоскости, так что разность отсчетов по

передней рейке а и задней рейке b является превышением

точки i над точкой i— 1 (рис. 16):

Д h=b—а.

Сумма таких превышений на пути от исходной точки А

до определяемой точки В дает приближенную высоту точ

ки В (рис. 17):

hB = ^j А /г,-.

АВ