Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

то можно записать

J ( 2 ¥ - r f - t 2)dm = B + C -2A ,

J (2rfdm = C + A -2B ,

J (2S2- | 2- i i 2)dm = ^H В — 2С.

Тогда (1.43) примет вид

± [х2 (В + С - 2А) + у* (С + А - 2В) + г2 (А + В - 2С)].

Переходя к сферическим координатам и имея в виду, что

прямоугольные координаты выбраны так, что ось z на

правлена по оси вращения Земли, а х и у лежат в плоско

сти экватора, получим:

х — г cos ф cos Я, = ~ г2 cos2 ф (1 + cos 2Х),

у = г cos ф sin X, Уг = -^ /'2соз2ф(1 — cos 2Х),

Z — г sin ф, 22 = г2з т 2ф,

где ф — широта, % — долгота точки. Искомый член тогда

принимает вид

J a2 (3cos2 г|э— 1 )dm—

= i f ? (1 _ 3 sin2ф) + i (в —л)cos2 фcos 2Кш

(1.45)

Внеся полученные значения интегралов в (1.42) и до

бавляя общий член, получим выражение для потенциала:

V = ^ + ~ ( C - ^ y \ - 3 s m ^ ) +

(В — A)cos2(fcos2K-\ G £ т^ггг Л, (sincP)rfm- (1.46)

п — 3

(1.44)

Первые три члена разложения (1.46) представляют потен

циал трехосной Земли-:

{ с А+в

.. GM -{ а , 1 2 а3 .. Q . „ ,

v - — \т+2— ^ +

+ w ( B- ^ cos2(Pcos2^j- (Ы7)

Последний член содержит долготу, а значит, указывает на

отклонения фигуры Земли от двухосного эллипсоида. При

нимая Землю за тело вращения (А= В), получим

= + 0.48)

Обозначим "ма2 ~ ^ 2о- Это константа, характеризующая

динамическое сжатие Земли через ее моменты инерции. Вне

ся J2о в (1.48), получим

F =2г [т + т J*° i -■3 sin2ф)] • t1 -49>

В этой формуле ,sin29 можно представить через полиномы

Лежандра P 2o(sin ср):

sin2 ср = у + у Р2о (sin ф).

Тогда формула принимает вид

у = ^ \у— (sin ф)} • t1-50)

Формула (1.50) выведена с точностью до первой степени

сжатия, т. е. в бесконечном ряде, в который разложен по

тенциал притяжения, удержан только второй член. Если

написать ряд полностью, то он, очевидно, будет иметь вид

У = 1Г~ j W (sin ^ + £ (т ) J"°Pn0<sin ф)j '

(1.51)

Это — формула для потенциала притяжения в виде беско

нечного ряда с коэффициентами, содержащими динамичес

кие характеристики Земли.

В формуле (1.51) полиномы Лежандра Рп0 написаны

относительно полюса Земли, и аргументом в них является

широта ф или дополнение до широты 0=90°—ф в отличие

от формулы (1.41), где полярное расстояние -ф отсчитыва

ется от полюса, выбранного в произвольной точке (см.

рнс. 5).

Г Л А В A 2

СИЛА ТЯЖЕСТИ. НОРМАЛЬНОЕ

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

§ 1. Сила тяжести на земной поверхности

Всякая точка, расположенная на поверхности Земли,

притягивается всей массой Земли по закону всемирного

тяготения. Кроме того, на нее действует центробежная сила,

пропорциональная удаленности точки от оси вращения

Земли и квадрату угловой скорости (рис. 8):

Р = рссо2т = со х (ca X рс) ■ т,

где со — угловая скорость вращения Земли, рс — радиус

параллели. Если отнести эту силу к единичной массе

т= 1, то ее можно записать в

виде

Р = рсо)2, (2.1)

где |рс|= 1 лх2+у2.

Результирующая двух сил F и

Р называется силой тяжести. Она

может быть записана следующей

формулой:

dm + Pc<»'!- (2-2)

Сила тяжести численно равна ус

корению g, действующему на еди

ничную массу, помещенную в данную точку.

Если каждой точке земной поверхности и внешнего про

странства соответствует единственное значение силы тяже

сти, то такое пространство называется полем силы тяжести,

а вектор силы, действующей в каждой точке на единичную

массу,— напряженностью поля силы тяжести. Таким обра

зом, напряженность поля силы тяжести в данной точке

численно равна ускорению силы тяжести в той же точке.

Рис. 8. Соотношение при

тяжения и центробежной

силы.

Поле силы тяжести отличается от поля притяжения,

т. е. гравитационного поля, наличием эффекта центробеж

ной силы. Поэтому поле силы тяжести интересно нам в не

посредственной окрестности Земли (Луны, планеты) при

рассмотрении масс, связанных с планетой. В случае тел,

не связанных с Землей, нас будет интересовать поле при

тяжения, или поле гравитационное. В дальнейшем, в соот

ветствии с установившейся терминологией, будем говорить

о силе тяжести, подразумевая напряженность силового

поля Земли. Эта напряженность определяет ускорение, с ко

торым будут двигаться под действием земного притяжения

тела в системе координат, связанных с Землей.

В качестве единицы ускорения силы тяжести g в систе

ме СИ принято такое ускорение, которое развивает масса

в 1 кг под действием силы в 1 ньютон,

г„т . [Щ 1Ш[Т*]

[М ]

Эта единица очень большая. Полная величина ускорения

на Земле составляет всего 9,81 таких единиц. Обычно в

гравиметрии применяется единица в 100 раз меньшая, на

званная в честь Галилея,— Гал. Для практики удобнее

иметь дело с еще более мелкими единицами. Поэтому была

введена единица миллигал, равная одной тысячной доле

Гала:

1 мГал = 10-s Г ал= 10-5 м/с2.

В связи с повышением точности измерений и возможно

стью наблюдать слабые гравитационные эффекты сейчас ста

ли применять еще более мелкую единицу, равную одной

миллионной доле Гала — микрогал:

1 мкГал= 10~3 мГал= 10-9 Гал = 10-8 м/с2.

Полная напряженность силового поля у поверхности

Земли составляет приблизительно 980 Гал. Она изменяется

постепенно от экватора к полюсам от 978 до 983 Гал, т. е.

на 5 Гал. Отношение избытка ускорения силы тяжести на

полюсе по сравнению с экватором к ускорению силы тяже

сти на экваторе составляет

?*Z £?= 1/189.

8е

Из двух составляющих силы тяжести — силы притяже

ния и центробежной — последняя составляет в максимуме

2 Н. П. Грушинский 33

менее 0,005 g. Отношение максимального значения центро

бежного ускорения к минимальному значению ускорения

силы тяжести составляет

<7 = - ^ = 1/288,

ёе

2л

где со = -g6 164 t = 0,72 9 2 1 2 -10~4 рад/с— угловая скорость

вращения Земли (в знаменателе стоит число средних се

кунд в звездных сутках); ае= 6 378 137 м — большая полу

ось Земли; ^= 978,030 Гал — значение силы тяжести на

экваторе.

Центробежная сила изменяется от нуля у полюсов до

некоторого значения со2ае= 3,4 Гал у экватора. Эта сила

уменьшает силу тяжести по сравнению с гравитационным

притяжением на величину co^coscp, где ср — широта места.

Изменение центробежной силы в основном и определяет

изменение силы тяжести на земной поверхности. К этому

эффекту добавляется еще влияние сжатия Земли, также

увеличивающее значение силы тяжести у полюсов.

Кроме этих двух постоянно действующих составляющих,

на силу тяжести влияет притяжение Луны, Солнца и пла

нет Солнечной системы. Однако это влияние мало и носит

периодический характер. Его удобнее рассматривать как

периодические возмущения силы тяжести. Максимальное

значение этих возмущений составляет 0,165 мГал от Луны

и 0,076 мГал от Солнца. При точности современных измере

ний эти величины следует учитывать и вводить соответст

вующие поправки.

Общая характеристика величин изменения поля силы

тяжести приведена в табл. 3.

Таблица 3

Величина вариаций g г

Характеристика поля силы тяжести

Значение,

мГал

Среднее значение g на поверхности Земли

Полное изменение g от полюса к экватору

Изменение g за счет центробежной силы

Изменение g от полюса к экватору за счет сплюсну

тости

Максимальные аномалии силы тяжести

Изменение g при перемещении по высоте на 1 м

Максимальная амплитуда лунно-солнечных возмуще-

ний dig

Возможная годичная величина вековых изменений g

979 700

5 200

3 400

1 800

600

0,3

0,24

0,1

§ 2. Потенциал силы тяжести. Геоид

Потенциал силы тяжести W складывается из потенциала

притяжения V и потенциала центробежной силы Ve, кото

рый согласно определению потенциала будет:

В самом деле, р2 =х2-\-у2, и производные Vс по осям декар

товых координат будут равны проекциям силы на эти оси:

Ц*- = ®гРс = ®2Ре cos (Рс х) = ®2л:>

ж = “2рс £ = ®2рс cos (рс’ у)= ®2у’

^ = 0

дг U*

Вторые производные потенциала центробежной силы бу

дут

д*2 ’ ду2 ’ дг2

и лапласиан Л1/=2со2. Соответственно лапласиан потен

циала силы тяжести для внешних точек будет

Д Г = 2со2, (2.3)

а для точек внутри масс —

А Г = — 4nGa + 2co2. (2.4)

Потенциал силы тяжести можно записать в виде

W = G ^ + ^(x* + y*), (2.5)

или, имея в виду (1.41) и переходя от полярного расстояния

с полюсом в произвольной точке к дополнению широты 0,

Г = GI £ т ё г Л, (cos 0) dm + у (х2 + у2). (2.6)

м-

Производные потенциала W равны

dW , .

- ^ = gcos(g, х),

зиг , .

— = gcos(g, у),

dW . ,

— = gcos (g, z).

Уравнение W=C определяет семейство уровенных поверх

ностей потенциала силы тяжести. Если бы Земля была иде

ально жидкой, то среди этих поверхностей можно было бы

соответствующим подбором С выбрать такую эквипотен

циальную поверхность

W = W0, (2.7)

которая целиком совпадает с поверхностью этой идеаль

ной Земли. Для реальной Земли можно выбрать такую по

верхность W—C, которая близка к физической поверхности

Земли. Такая поверхность выбирается совпадающей со

средним уровнем воды в океанах; она проходит под конти

нентами и островами так, как будто эти континенты и ост

рова проницаемы для воды, но в то же время сохраняют

свои массы. Иными словами, эта поверхность всюду пер

пендикулярна к силовым линиям. Она получила название

геоид. Понятие геоида в применении к фигуре Земли было

введено в 1876 г. немецким геодезистом И. Листингом. С

тех пор геоид начали рассматривать как поверхность, пред

ставляющую фигуру Земли.

Можно показать, что для идеальной Земли, находящейся

в состоянии гидростатического равновесия, геоид имеет

форму, совпадающую с точностью до квадрата сжатия с

эллипсоидом вращения. Такая фигура называется сферои

дом.

Выразим потенциал центробежной силы в сферических

координатах:

у (*а + г/2) = у г 2 cos2 ф.

Представим (о2 через величину q — отношение центробеж

ной силы к силе тяжести на экваторе:

Ю2 = Ще

ае

г GM

С точностью до первого порядка сжатия ge —

(Xq

ние на сферической Земле. С этой точностью

2 4GN[

(О = .

а\

Внося эту величину в формулу для потенциала центробеж

ной силы, получим

у г1 cos2 ф = г2 cos2 ф = г* J- (1 - Р20). (2.9)

— ускоре-

(2.8)

Сложив (2.9) с потенциалом притяжения (1.49), приходим

к следующему выражению для потенциала силы тяжести:

Как было сказано ранее, если это выражение приравнять

константе, мы получим уравнение семейства уровенных по

верхностей W=C. Подберем такую поверхность, чтобы она

близко совпадала с поверхностью Земли. Для этого поло

жим г=ае — радиусу на экваторе, а ф=0 — широте на

экваторе. Тогда С будет равно

и уравнение уровенной поверхности, ближе всего отвечаю'

щей фигуре Земли, будет

Легко показать, что представляемая этим уравнением

поверхность с точностью до квадрата сжатия является эл

липсоидом вращения. Для этого уравнение (2.12) предста

вим в виде

Раскладывая в ряд знаменатель, делая перемножение и

удерживая члены порядка сжатия или q, получим

что легко показать, представив уравнение эллипсоида в

сферических координатах.

Заметим, что отнюдь не обязательно считать Землю гид

ростатически уравновешенной. Можно постулировать, что

идеальной Землей является точный эллипсоид вращения,

(2. 11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Это и есть уравнение эллипсоида со сжатием

— 3 г . Я

^ 2 80 ’т ’ 2 9

(2.15)

и исходя из этого, получить потенциал и ускорение силы

тяжести на поверхности эллипсоида и во внешнем прост

ранстве. Такой подход осуществлен в работах Гельмерта,

Пицетти, Молоденского. Далее для определенности всегда

будем говорить о земном эллипсоиде.

§ 3. Теорема Клеро

Теорема Клеро устанавливает связь между положением

точки на эллипсоиде и значением силы тяжести в этой точ

ке. Иными словами, она устанавливает закон распределе

ния силы тяжести на идеальной Земле.

Мы получим этот закон приближенно, с точностью до

сжатия, дифференцированием потенциала по радиусу г,

помня, что производная потенциала по направлению рав

на проекции силы на это направление. Точнее было бы

дифференцировать по нормали к поверхности. Однако нор

маль в наши уравнения в явном виде не входит, а откло

нение радиуса от нормали составляет для Земли макси

мально 11', т. е. угол малый, поэтому ошибка при такой

замене (нормали на радиус) не будет превосходить величины

отброшенных членов. Продифференцировав (2.12), имеем

dW G M [, , 3 , ае .. „ . „ . гз

-^r = g= — ~рг И + У Jzo~pr(^ — 3sin2(p) —<7 —£-cos2(p

L CLg

(2.16)

подставив сюда г из (2.14) и приравняв отношения — выше

/ aj aj . \

первой степени единице ( ^ -^ - = . . . = 1 ), получим

£ = — [* + Т ^20(1 — 3sin 2<p) — 9 соэ2ф j х

ае

X [ l — ( д J20+ y ) sin2 ф

Перемножая выражения в квадратных скобках и сохраняя

члены первой степени относительно J2о, q, находим

GM | l + - | Jso — q + f a — -jJ io j s i n ^ j ,

но согласно (2.11) -j J20 + = а, и тогда

GM -fa —1-<7 + (t Q — a) sin2 • (2*17)

Вводя обозначение

GiW/, . 3 \

(2.18)

получим

( 4 ? - а) sin2<p

1 + а — 2?

Производя деление дроби и сохраняя величины порядка

сжатия, имеем

g = g » {l+ (-|< 7 — a ) sin*?} . (2.19)

Обозначив

-§■?-«=-Р, (2.20)

окончательно получаем

g = £ e(l+P sin*V). (2.21)

Выведенное таким образом уравнение Клеро дает связь

силы тяжести с широтой места через параметр сжатия р.

Оно позволяет определить этот параметр сжатия р, а по

нему и само сжатие а, если будет измерена сила тяжести

в точке с известной широтой ф.

Так как отдельная точка может быть аномальной, т. е.

значение ускорения силы тяжести g и направление силовой

линии в ней могут не соответствовать идеальным, опреде

ляемым уравнением (2.21), то такое определение сжатия,

конечно, будет ошибочным. Для того чтобы получить пра

вильное значение сжатия, нужно произвести наблюдения

в большом числе точек, равномерно распределенных по

земной поверхности, и найти значение а, решая систему

уравнений (2.21) по методу наименьших квадратов.

В уравнение (2.21) входит еще неизвестная величина ge.

Это так называемая экваториальная постоянная. Физичес

кий смысл ge — ускорение силы тяжести на экваторе. В са

мом деле, если (2.21) написать для экватора, то ф =0 и

g3KB=ge', физический смысл р легко установить, если урав

нение (2.21) написать для полюса, где ф=90°. Тогда

Я, = «Г.0+Р) и Р = ££^ . (2.22)