Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

220

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

выбрать маршрут, минимизирующий общий путь.

Если есть всего десять городов, то при полном перебо-

ре всех вариантов надо просмотреть «всего» 3628800.

Если каждый вариант просматривать и оценивать хотя

бы за минуту, то и тогда на поиск оптимального реше-

ния таким образом уйдет почти семь лет.

Наконец, назовем такую типичную задачу кален-

дарного планирования, как задача определения по-

рядка запуска деталей в производство. В этой задаче

есть производственный план в виде перечня деталей,

которые должны быть изготовлены по указанной тех-

нологии, количество деталей каждого наименования,

трудоемкость обработки деталей на каждом станке и,

возможно, какие-либо еще данные. Требуется соста-

вить календарный план, минимизирующий общее вре-

мя изготовления всех деталей.

Если размерность задачи (число переменных) не

очень велика, то могут быть использованы графи-

ческие или табличные методы представления кален-

дарного плана. При графическом методе наглядно

изображается (с соблюдением масштаба времени)

очередность выполнения работ, их взаимное располо-

жение во времени. Табличный метод представления

календарных планов, как видно из его названия, ос-

нован на использовании разных таблиц. Зачастую не-

обходимость в таблицах появляется уже просто из-за

значительного числа переменных в задаче, когда на

графике (на рисунке) происходит слияние всех линий

с полной потерей обозримости графика. Кроме того,

таблица может содержать значительно больший объ-

ем информации, чем график. Наконец, таблицы легче,

чем графики, получать с выходных устройств ЭВМ.

Рассмотрим два примера составления календарного

плана.

Задача С. Джонсона для двух станков

Допустим есть два станка А и В, каждая деталь

должна быть обработана и на станке А (причем в пер-

221

Математические методы и модели в экономике

вую очередь), и на станке В (во вторую очередь). Счи-

таются известными времена обработки каждой детали

на каждом станке: t

— время обработки i-й детали на

станке A, t

— время обработки детали на станке В.

Для разных деталей эти времена, вообще говоря, раз-

личные. Важными ограничениями (кроме ограничения

на последовательность обработки) являются следую-

щие условия: на каждом из станков можно одновре-

менно обрабатывать только одну деталь; каждая деталь

может обрабатываться только на одном станке; процесс

обработки детали не может прерываться. Надо опреде-

лить вариант плана запуска деталей, при котором об-

щее время их обработки будет минимальным.

замечание

Последовательность запуска деталей в производство

на любом станке может быть изменена так, что она

совпадает с последовательностью на другом станке,

без увеличения времени выполнения плана. Поэтому

в оптимальном решении порядок выполнения работ на

станке А совпадает с порядком выполнения работ на

станке В. Поскольку на первом станке операции можно

выполнять без всякой задержки, оптимизация заключа-

ется в минимизации времени простоя второго станка.

Алгоритм решения задачи:

1. Записываются времена работ:

Номер

детали

1 2 3 4 5

Станок А 3 4 2 3 1

Станок В 2 1 3 5 4

2. Просматриваются все времена обработки, и нахо-

дится минимальное среди них (t

= 1 и t

= 1).

3. Если минимальное время относится к первому

станку (то есть это время t

, в примере t

= 1),

то деталь с соответствующим номером ставится на

обработку первой (деталь № 5 будет первой обра-

батываться на А, а значит, и на В).

222

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

4. Если минимальное время относится ко второму

станку (то есть это время t

), то деталь с соответс-

твующим номером ставится на обработку последней

(деталь № 1 будет обрабатываться последней).

5. «Забывают» выбранную деталь.

6. Повторяют все сказанное с оставшимися деталями.

7. Если время обработки двух разных деталей на од-

ном станке совпадает и это время меньше времени

обработки на другом станке, то порядок обработки

этих деталей произволен.

Для приведенного примера оптимальная последо-

вательность обработки выглядит так: 5 – 3 – 4 – 1 – 2,

общее время обработки — 16 единиц времени. Для

сравнения: обработка в последовательности 1 – 2 – 3 –

– 4 – 5 потребует 21 единицу времени.

Задача распределения заказов

При многономенклатурном производстве, когда

одни и те же изделия можно обрабатывать на разных

станках, может возникнуть задача распределения за-

казов по станкам. В такой задаче требуется миними-

зировать общие затраты на все производство. Если

затраты на изделие пропорциональны времени обра-

ботки этого изделия, то можно использовать индика-

торный метод. Рассмотрим его на примере.

Пример

Пусть надо выполнить четыре заказа:

заказ 1 — 100 изделий;

заказ 2 — 200 изделий;

заказ 3 — 50 изделий;

заказ 4 — 75 изделий.

Изделия любого заказа можно обрабатывать на

любом из четырех станков А, В, С, D, но время вы-

полнения заказов будет разным. Каждый из станков

обладает своим ограниченным ресурсом времени для

выполнения заказов. Решение оформляется в виде

в табл. 6.1. Обозначения в ней имеют следующий

смысл:

22

Математические методы и модели в экономике

N — номер заказа;

V — объем заказа;

— норматив обработки изделия i-го заказа на k-

ом станке (штук/час);

— общие затраты времени на i-ый заказ при его

выполнении на k-ом станке (часы);

— индикатор для i-ro заказа и k-го станка;

— ресурс времени k-го станка (часы);

— использованное время k-ого станка (часы).

Параметры N, V и t

задаются условием задачи, а

остальные рассчитываются.

Значения индикатора I

рассчитываются следую-

щим образом. Станку, имеющему наибольшую про-

изводительность обработки изделий данного заказа

(то есть имеющему наибольший норматив), присваи-

вается значение индекса, равное 1. Для заказа 1 ста-

нок D — наилучший, поэтому I

= 1,00.

Следующему по производительности станку при-

писывается оценка, равная отношению общего чис-

ла часов работы рассматриваемого станка к общему

числу часов работы по выполнению данного заказа

станком с максимальной производительностью. Для

станка А имеем I

iА

= 1,33 и т. д.

Таблица 6.1

N V t

100 1 100 1,33 0,67 150 2,00 0,8 125 1,67 1,33 75 1,00

200 2 100 1,00 1 200 2,00 0,9 220 2,20 1,7 120 1,20

50 2 25 1,25 1,33 37,5 1,88 1 50 2,50 2,5 20 1,00

75 1 75 1,25 0,8 93,75 1,56 0,67 112,5 1,87 1,25 60 1,00

80 150 250 100

75 0 220 95

Заказы надо распределять по станкам в соответс-

твии с минимальными значениями индикатора при

условии, что станки имеют достаточный ресурс вре-

мени.

22

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Некоторые варианты распределения заказов не-

допустимы, если заказ нельзя дробить (то есть заказ

должен быть выполнен на одном станке). В рассмат-

риваемом примере заказы 1 и 2 не могут выполняться

на станке А, заказ 2 невыполним на станках В и D.

Поэтому заказ 2 приходится выполнять на станке С,

хотя это наименее выгодный вариант (индикатор этого

варианта максимален). Заказ 1 имеет значение индика-

тора, равное 1, на станке D, проходит по ограничению

по ресурсу времени этого станка, поэтому закрепляется

за этим станком. Заказ 3 также имеет индикатор, рав-

ный 1, для станка D, укладывается в ограничение этого

станка (в остатки ограничения после закрепления за-

каза 1 за станком D), поэтому заказ 3 закрепляется за

станком D. Заказ 4 можно закрепить как за станком А,

так и за станком В. Поскольку I

< I

4В

, заказ 4 надо

закрепить за станком А. В конце надо определить ис-

пользованное время работы станков.

К сожалению, в индикаторном методе нет учета за-

трат на обработку деталей на станках, хотя косвенно

эти затраты приняты во внимание, поскольку индика-

торы определяют относительную эффективность ра-

боты станков по выполнению каждого заказа.

6.3. Балансовый метод планирования

Теория общего экономического равновесия иссле-

дует, какими должны быть пропорции и каков меха-

низм их установления и поддержания в экономичес-

кой системе для нормального протекания процесса

воспроизводства. Основные макроэкономические

пропорции — народнохозяйственные, внутриотрас-

левые и территориальные. Их развернутое описание

содержит система балансов народного хозяйства,

разработка которой явилась в свое время большим

достижением советской экономической науки. На-

иболее общие, укрупненные народнохозяйственные

22

Математические методы и модели в экономике

пропорции описываются балансами производства,

потребления и накопления совокупного общественно-

го продукта; производства, распределения, перерас-

пределения и использования национального дохода;

трудовых ресурсов; основных элементов государс-

твенного богатства (основных фондов, оборотных

средств).

За общими народнохозяйственными пропорциями

стоят более конкретные межотраслевые пропорции,

которые отражаются межотраслевыми балансами. Ме-

жотраслевые балансы различаются по характеру отра-

жаемых связей, по степени детализации, по использу-

емым измерителям и т. п.

Частные внутриотраслевые пропорции фиксируют-

ся материальными балансами отдельных видов про-

дукции.

Наконец, территориальные пропорции обществен-

ного производства описываются системой региональ-

ных балансов.

С точки зрения широты и комплексности отраже-

ния процесса общественного воспроизводства наибо-

лее интересен межотраслевой баланс общественного

продукта.

Межотраслевой баланс общественного продукта

(МОБ) представляет собой прямоугольную таблицу

чисел (табл. 6.2), состоящую из четырех разделов,

или «квадрантов». Все элементы ее рассчитываются в

стоимостных единицах.

Таблица 6.2

1 2 … nn 1 2 … kk

1 x

…... x

…... y

2 x

…... x

…... y

22

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

… ……………… …….. …… ....... .....

n x

….. x

......... y

1 z

……... z

…... u

2 z

……... z

…... u

… ……………… …….. …… …..

� z

……... z

…... u

…….. X

Квадрант I является квадратной матрицей межот-

раслевых потоков (х

)

n*n

, где п — общее число отрас-

лей материального производства; х

— объем продук-

ции i-й отрасли, поступающей на производственные

нужды j-й отрасли; i, j = 1, 2,..., п. Следовательно,

элементы одной строки квадранта I показывают

структуру текущих затрат внутрипроизводственного

потребления продукции соответствующей отрасли, то

есть ее промежуточной продукции. Элементы одного

столбца квадранта I показывают структуру текущих

затрат (возмещение) средств производства в соответс-

твующей отрасли.

Квадрант II содержит информацию о структуре ис-

пользуемого конечного продукта, под которым понима-

ется сумма: а) фонда непроизводственного потребления

(личного и общественного); б) фонда валовых накоп-

лений (капитальные вложения, капитальный ремонт,

прирост оборотных фондов, товарных запасов и резер-

вов, прочие расходы); экспортно-импортное сальдо.

22

Математические методы и модели в экономике

Данные составляющие конечного продукта дета-

лизированы в наименованиях столбцов квадранта II.

Наименования его строк совпадают с наименованиями

строк квадранта I. Элемент y

, стоящий на пересече-

нии строки i и столбца s этого квадранта, показывает,

какой объем продукции отрасли используется по на-

правлению s, i = 1,..., п; s=1, 2,…, k; k — общее число

направлений использования конечного продукта про-

межуточной продукции.

По материально-вещественному составу валовая

продукция определяется как сумма конечной и проме-

жуточной продукции, поэтому по каждой строке соб-

людается равенство:

где X

— валовая продукция отрасли i.

Таким образом, квадранты I и II, рассматривае-

мые совместно, представляют собой развернутый по

отраслям баланс производства и распределения обще-

ственного продукта в его материально-вещественной

форме.

Наименования столбцов квадранта III совпадают с

наименованиями столбцов квадранта I, а наименова-

ния строк — с направлениями первичного распределе-

ния национального дохода (заработная плата, прибыль

и т. п.). Кроме того, он включает строку, характери-

зующую амортизационные отчисления. Таким обра-

зом, в квадранте III подробно показано, как создается

условно чистая продукция (сумма чистой продукции и

амортизации) и как происходит первичное распреде-

ление национального дохода.

Обозначим через z

элемент, стоящий на пересе-

чении строки t и столбца j этого квадранта (t = 1,

2, ...,р; р — общее число строк). Тогда по опреде-

лению стоимостного состава валовой продукции по

каждому столбцу выполняется равенство:

(6.1)

22

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Это означает, что квадранты I и III, рассматрива-

емые совместно, представляют собой развернутый по

отраслям баланс производства и распределения обще-

ственного продукта в его стоимостной форме.

Показатели квадрантов II и III связаны общим ба-

лансом:

Действительно, суммируя (4.1) по i и (4.2) по j,

получаем равенства:

сопоставляя которые, убеждаемся в справедливости

равенства (6.3).

Равенство (6.3) показывает, что общая стоимость

конечного продукта совпадает с общим объемом ус-

ловно чистой продукции, то есть условно чистая про-

дукция является стоимостным эквивалентом конечно-

го продукта.

Квадрант IV расположен на пересечении продолже-

ния строк квадранта III и столбцов квадранта II. В нем

детально показано, как используется национальный

доход на потребление и накопление, а также как ис-

пользуются амортизационные отчисления на простое и

расширенное воспроизводство. Вместе квадранты III и

IV составляют по строкам развернутый баланс произ-

водства и использования условно чистой продукции:

(6.2)

(6.3)

22

Математические методы и модели в экономике

где u

— элементы квадранта IV.

Наряду с этим в квадранте IV отражается частичное

перераспределение национального дохода, в результа-

те которого формируются конечные доходы сферы ма-

териального производства, непроизводственной сфе-

ры и населения. Для беспрепятственной реализации

конечного продукта необходимо, чтобы его структура

соответствовала структуре конечных доходов. Поэто-

му по одноименным столбцам квадрантов II и IV дол-

жен соблюдаться баланс:

Суммируя (6.4) по t и (6.5) по s, вновь приходим к

равенству (6.3).

Таким образом, межотраслевой баланс обществен-

ного продукта в удобной для экономического анализа

форме несет информацию обо всех важнейших сторо-

нах процесса воспроизводства.

Математическую модель межотраслевого баланса

создал и впервые применил В. В. Леонтьев — амери-

канский экономист российского происхождения. В эко-

номической литературе эта модель известна как модель

«затраты — выпуск», или «модель Леонтьева».

Основным элементом модели является квадратная

матрица технологических коэффициентов A = (а

n*n

Числа а

показывают, сколько продукции отрасли i

необходимо затратить для производства единицы про-

дукции отрасли j непосредственно в производственном

цикле отрасли j. Поэтому матрицу A называют матри-

цей коэффициентов прямых затрат.

Основное допущение модели состоит в том, что для

производства X

единиц продукции отрасли j необхо-

димо затратить

(6.4)

(6.5)