Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

20

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

функция МОБР) и делается вывод об их продуктив-

ности или непродуктивности.

Если матрицы продуктивны, то определяются вало-

вые выпуски продукции в натуральном и стоимостном

выражениях как результаты решения соответствую-

щих уравнений В. Леонтьева (6.9) и (6.13) (с помо-

щью Мастера функций Excel: математическая функ-

ция МУМНОЖ); полученные результаты сверяются с

результатами, полученными прямым счетом.

Рассчитываются коэффициенты косвенных затрат

1-го порядка для 3-й отрасли по формуле (6.15) по

стоимостной матрице коэффициентов прямых затрат.

Осуществляются вариантные расчеты по двум пос-

ледним вопросам задания и отмечаются звездочкой

предпочтительные варианты планов. Результаты рас-

четов и выводы о лучших вариантах планов должны

быть представлены в конце табл. 6.2.

6.4. Линейная модель обмена

Пусть имеется n стран S

, S

,…, S

, национальный

доход каждой из которых равен соответственно х

, х

,…,

. Обозначим коэффициентами a

долю национального

дохода, которую страна S

тратит на покупку товаров у

страны S

. Будем считать, что весь национальный доход

тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо

на импорт из других стран, то есть.

Рассмотрим матрицу

(6.21)

21

Математические методы и модели в экономике

которая получила название структурной матри-

цы торговли.

В соответствии с (6.21) сумма элементов любого

столбца матрицы A равна 1.

Для любой страны S

(i = 1, 2,…, n ) выручка от

внутренней и внешней торговли составит:

Для сбалансированной торговли необходима безде-

фицитность торговли каждой страны S

, то есть выруч-

ка от торговли каждой страны должна быть не меньше

ее национального дохода:

Если считать, что p

> x

(i = 1, 2,…, n ), то получа-

ем систему неравенств:

Сложив все неравенства системы (6.22), получим

после группировки:

Учитывая (6.21), что выражения в скобках равны

единице, значит мы получили противоречивое нера-

венство:

Таким образом, неравенство p

> x

(i = 1, 2,…, n )

невозможно, и условие p

≥ x

принимает вид p

= x

(i = 1, 2,…, n ). (С экономической точки зрения это

понятно, так как все страны не могут одновременно

получать прибыль.)

(6.22)

22

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Вводя вектор X = ( x

, x

,…, x

) национальных до-

ходов стран, получим матричное уравнение

АХ = Х,

где матрица Х — матрица-столбец из координат

вектора Х, то есть задача свелась к отысканию собс-

твенного вектора матрицы А, отвечающего собствен-

ному значению λ = 1.

Пример

Структурная матрица торговли трех стран — S

, S

— имеет вид:

Найти национальные доходы стран для сбаланси-

рованной торговли.

Решение

Находим собственный вектор Х, отвечающий собс-

твенному значению λ = 1, решив уравнение (А–Е)Х = 0

или систему

методом Гаусса. Получим х

= (3/2)с, х

= 2с, х

с, то есть

Полученный результат означает, что сбалансирован-

ность торговли трех стран достигается при векторе на-

циональных доходов , то есть при соотно-

шении национальных доходов стран 3/2:2:1 или 3:4:2.

2

Математические методы и модели в экономике

Вопросы по теме

Построить и пояснить таблицу межотраслевого ба-

ланса.

Дать определение коэффициентов прямых затрат.

Сформулировать модель В. Леонтьева.

Дать определение продуктивности матрицы затрат.

Дать определение коэффициентов полных затрат.

Пояснить переход от натурального баланса к сто-

имостному.

6.5. Сетевое планирование

6.5.1. Назначение и области применения

сетевого планирования и управления

Поиски более эффективных способов планирования

сложных процессов привели к созданию принципиаль-

но новых методов сетевого планирования и управле-

ния (СПУ).

Система методов СПУ — система методов плани-

рования и управления разработкой крупных народно-

хозяйственных комплексов, научными исследования-

ми, конструкторской и технологической подготовкой

производства, новых видов изделий, строительством

и реконструкцией, капитальным ремонтом основных

фондов путем применения сетевых графиков.

СПУ основано на моделировании процесса с помо-

щью сетевого графика и представляет собой совокуп-

ность расчетных рядов, организационных и контроль-

ных мероприятий по планированию и управлению

комплексом работ.

Система СПУ позволяет:

•

формировать календарный план реализации неко-

торого комплекса работ;

•

выявлять и мобилизовывать резервы времени,

трудовые, материальные и денежные ресурсы;

•

осуществлять управление комплексом работ по

принципу «ведущего звена» с прогнозированием

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

и предупреждением возможных срывов в ходе

работ;

•

повышать эффективность управления в целом при

четком распределении ответственности между ру-

ководителями разных уровней и исполнителями

работ.

Диапазон применения СПУ весьма широк: от задач,

касающихся деятельности отдельных лиц, до проектов,

в которых участвуют сотни организаций и десятки ты-

сяч людей (например, разработка и создание крупного

территориально-промышленного комплекса).

Под комплексом работ (комплексом операций,

или проектом) мы будем понимать всякую задачу,

для выполнения которой необходимо осуществить до-

статочно большое количество разнообразных работ.

Это может быть и строительство некоторого здания,

корабля, самолета или любого другого сложного объ-

екта, и разработка проекта этого сооружения, и даже

процесс построения планов реализации проекта.

Для того чтобы составить план работ по осущест-

влению больших и сложных проектов, состоящих из

тысяч отдельных исследований и операций, необходи-

мо описать его с помощью некоторой математической

модели. Таким средством описания проектов (комп-

лексов) является сетевая модель.

6.5.2. Сетевая модель и ее основные

�лементы

Сетевая модель представляет собой план выпол-

нения некоторого комплекса взаимосвязанных работ

(операций), заданного в специфической форме сети,

графическое изображение которой называется сете-

вым графиком. Отличительной особенностью сетевой

модели является четкое определение всех временных

взаимосвязей предстоящих работ.

Главными элементами сетевой модели являются

события и работы.

2

Математические методы и модели в экономике

Термин «работа» используется в СПУ в широ-

ком смысле. Во-первых, это действительная рабо-

та — протяженный во времени процесс, требующий

затрат ресурсов (например, сборка изделия, испыта-

ние прибора и т. п.). Каждая действительная работа

должна быть конкретной, четко описанной и иметь

ответственного исполнителя.

Во-вторых, это ожидание — протяженный во вре-

мени процесс, не требующий затрат труда (например,

процесс сушки после покраски, старения металла,

твердения бетона и т. п.).

В-третьих, это зависимость, или фиктивная ра-

бота — логическая связь между двумя или несколь-

кими работами (событиями), не требующими затрат

труда, материальных ресурсов или времени. Она ука-

зывает, что возможность одной работы непосредствен-

но зависит от результатов другой. Естественно, что

продолжительность фиктивной работы принимается

равной нулю.

Событие — это момент завершения какого-либо

процесса, отражающий отдельный этап выполнения

проекта. Событие может свершиться только тогда,

когда закончатся все работы, предшествующие ему.

Последующие работы могут начаться только тогда,

когда событие свершится. Предполагается, что собы-

тие не имеет продолжительности и свершается как бы

мгновенно.

Среди событий сетевой модели выделяют исход-

ное и завершающее события. Исходное событие не

имеет предшествующих работ и событий, относящих-

ся к представленному в модели комплексу работ. За-

вершающее событие не имеет последующих работ и

событий.

События на сетевом графике (или, как еще гово-

рят, на графе) изображаются кружками (вершинами

графа), а работы — стрелками (ориентированными

дугами), показывающими связь между работами.

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

6.5.3. �орядок и правила построения

сетевых графиков

Сетевые графики составляются на начальном этапе

планирования. Вначале планируемый процесс разбива-

ется на отдельные работы, составляется перечень ра-

бот и событий, продумываются их логические связи и

последовательность выполнения, работы закрепляются

за ответственными исполнителями. С их помощью оце-

нивается длительность каждой работы. Затем составля-

ется (сшивается) сетевой график. После упорядочения

сетевого графика рассчитываются параметры событий и

работ, определяются резервы времени и критический

путь. Наконец, проводятся анализ и оптимизация сете-

вого графика, который при необходимости вычерчивает-

ся заново с пересчетом параметров событий и работ.

При построении сетевого графика необходимо соб-

людать ряд правил:

1) все стрелки сетевого графика имеют общее на-

правление (слева направо);

2) между парой событий может быть изображена

только одна работа;

3) используются возможные варианты следования

событий и работ (табличная запись и пути пере-

хода приведены на рис. 6.3);

Работа

Опорная

работа aa

Работа

Опорная

работа aa

Работа

Опорная

работа aa

– a

–

Рис. 6.3

2

Математические методы и модели в экономике

4) в сетевой модели не должно быть «тупиковых» собы-

тий, то есть событий, из которых не выходит ни одна

работа, за исключением завершающего события;

5) в сетевом графике не должно быть «хвостовых»

событий (кроме исходного), которым не предшес-

твует хотя бы одна работа;

6) все события, кроме исходного и завершающего,

должны иметь как входящие, так и выходящие

стрелки;

7) если две работы начинаются в одно и то же время,

в одном событии и оканчиваются в другом событии,

то вводят фиктивное событие и фиктивную работу.

При этом одна из параллельных работ замыкает-

ся на это фиктивное событие. Фиктивные работы

имеют нулевую продолжительность и изображают-

ся на графике пунктирными линиями;

8) в сети не должно быть замкнутых контуров и пе-

тель, то есть путей, соединяющих некоторые со-

бытия с ними же самими.

6.5.4. Упорядочение сетевого графика.

�онятие о пути

Предположим, что при составлении некоторого

проекта выделено 12 событий — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11 и 24 связывающие их работы — (0, 1), (0, 2),

(0, 3), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 6),

(3, 7), (3, 10), (4, 8), (5, 8), (5, 7), (6, 10), (7, 6), (7, 8),

(7, 9), (7, 10), (8, 9), (9, 11), (10, 9), (10, 11). Необ-

ходимо составить и упорядочить сетевой график.

Рис. 6.4

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Как следует из перечня работ, исходным событием

сетевого графика является событие 0 (ему не пред-

шествуют никакие работы), а завершающим — собы-

тие 11 (за ним не следует ни одна работа). Полагая на

сетевых графиках изменение времени слева направо,

поместим событие 0 в левую часть графика, а событие

11 — в правую часть, разместив между ними проме-

жуточные события в некотором порядке, соответству-

ющем их номерам (рис. 6.4). События свяжем работа-

ми-стрелками в соответствии с перечнем работ.

Упорядочение сетевого графика заключается в

таком расположении событий и работ, при котором

для любой работы предшествующее ей событие рас-

положено левее и имеет меньший номер по сравне-

нию с завершающим эту работу событием. Другими

словами, в упорядоченном сетевом графике все рабо-

ты-стрелки направлены слева направо: от событий с

меньшими номерами к событиям с большими номера-

ми (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Одно из важнейших понятий сетевого графика —

понятие пути.

Путь — любая последовательность работ, в кото-

рой конечное событие каждой работы совпадает с на-

чальным событием следующей за ней работы. Среди

различных путей сетевого графика наибольший инте-

2

Математические методы и модели в экономике

рес представляет полный путь L — любой путь, на-

чало которого совпадает с исходным событием сети,

а конец — с завершающим.

Наиболее продолжительный полный путь в сетевом

графике называется критическим. Критическими на-

зываются также работы и события, расположенные на

этом пути.

Например, для рассматриваемого нами сетево-

го графика (рис. 6.5) полными путями будут: путь

0→1→2→7→10→11 продолжительностью 8+9+3+5+13=38

суток, путь 0→1→3→4→6→10→11 продолжительностью

8+4+10+3+5+13=43 сутки, путь 0→5→8→9→11 продол-

жительностью 9+10+4+17=40 суток, путь 0→3→5→6→

9→10→11 продолжительностью 13+7+9+13+6+13=61

сутки и т. д.

Можно убедиться в том, что последний путь име-

ет наибольшую продолжительность (не только среди

приведенных четырех полных путей, но и среди всех

полных путей, которых в данном случае насчитывает-

ся 64), поэтому он и является критическим. Продол-

жительность критического пути составляет 61 сутки,

то есть для проведения комплекса работ понадобятся

61 сутки. Быстрее комплекс выполнить нельзя, так

как для достижения завершающего события критичес-

кий путь надо пройти обязательно.

Действительно, для достижения события 11 надо

выполнить работу (10, 11), то есть достичь события 10;

для достижения события 10 надо провести работу (9, 10),

то есть достичь события 9; для достижения события 9

надо провести работу (6, 9), то есть достичь события 6,

и т. д.

Определив критический путь, мы тем самым уста-

новили критические события сети 0, 3, 5, 6, 9, 10 и 11 и

критические работы (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10),

(10, 11).

Критический путь имеет особое значение в системе

СПУ, так как работы этого пути определяют общий

цикл завершения всего комплекса работ, планируе-