Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

20

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

= a

, i, j = 1, 2,... , n

единиц продукции отрасли i. Иными словами,

предполагается, что затраты прямо пропорциональ-

ны выпуску (являются линейно-однородной функцией

выпуска).

При производстве набора продукции Х

= (Х

, ...,

) промежуточные затраты продукции отрасли i соста-

вят в данном случае величину

Это дает возможность переписать систему балансов

(6.1) в виде

Или в матричной форме:

X = AX + Y,

где — конечная продукция отрасли i, а

Y = (Y1, Y2 ,...,Yn). Система линейных уравнений

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.9) — модель межотраслевого баланса (модель Ле-

онтьева) — связывает объемы валовых выпусков с

объемами конечной продукции и может быть исполь-

зована для согласованного расчета этих величин. На-

пример, если известен набор возможных при данных

ресурсах выпусков Х = (Х

, ..., Х

), то система

(6.9) позволит рассчитать набор соответствующих

значений Y = (Y

, Y

,...,Y

). Если же первоначаль-

но задан желаемый набор конечной продукции, то с

помощью модели можно легко определить необходи-

мые для его обеспечения объемы валового выпуска

по отраслям. Для этого достаточно решить систему

(6.9) относительно Х при заданном У. Тем самым

21

Математические методы и модели в экономике

становится возможным строить плановые расчеты

выпусков исходя непосредственно из предваритель-

но установленных потребностей. Наконец, возмож-

но сочетание этих подходов, когда внешним образом

задаются часть значений валовых выпусков и часть

значений конечной продукции (в сумме число зада-

ваемых извне величин должно составлять n), а ос-

тальные значения рассчитываются в рамках модели.

Теоретически для построения модели (6.9), во-

обще говоря, не имеет значения, в каких единицах

измерены величины X

, Y

, x

— в натуральных или

стоимостных. Если эти величины измерены в нату-

ральных единицах, то говорят о модели межотрас-

левого баланса в натуральном выражении, если в

стоимостных, — то о модели в стоимостном выра-

жении. Связь между показателями моделей в стои-

мостном и натуральном выражении довольно проста.

Если Р = (p

, p

,…, p

) — набор цен на продукцию

соответствующих отраслей и звездочка означает, что

измерение производилось по стоимости, то

= p

· X

, x*

·x

, Y

= pi·Yi, i, j = l,2,...,n

и, следовательно:

а*

= х*

/ Х*

= (р

/ р

)а

Если обозначить через A* = (a*

)

n*n

матрицу коэф-

фициентов прямых затрат в стоимостном выражении,

через Р— диагональную матрицу цен и через Р

– 1

—

диагональную матрицу, обратную матрице Р, то связь

между матрицами A и A* можно записать в форме A* =

= Р·А· Р

– 1

и A = Р

– 1

·А*·Р. Переход от натуральной

формы модели межотраслевого баланса к стоимостной

и обратно дается тогда соотношениями:

P ·X = P·A·X + P·Y, Р

– 1

·X * =

= Р

– 1

·А* ·X * + Р

– 1

· Y*.

(6.10)

22

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Рассмотрим некоторые формальные проблемы, свя-

занные с существованием экономически осмысленного

решения уравнений модели межотраслевого баланса.

Пусть на некоторый момент времени задана мат-

рица коэффициентов прямых затрат A. Предположим,

что эта матрица не зависит от объема выпусков. Не-

обходимо по данному вектору конечного выпуска Y

найти вектор валового выпуска X, то есть решить сис-

тему уравнений

X – AX = Y

относительно X, считая Y заданным.

По экономическим соображениям все коэффици-

енты матрицы неотрицательны: а

≥0, i = 1,2,..., п.

В этом случае говорят, что матрица A неотрицатель-

на, и пишут A ≥ 0. Неотрицательны также компонен-

ты заданного вектора Y ≥ 0.

Проблема заключается в том, что решение, которое

предстоит найти, по смыслу также должно иметь не-

отрицательные компоненты, то есть требуется выпол-

нение неравенства Х ≥ 0.

Очевидно, что возможность получения неотрицатель-

ного решения определяется свойствами матрицы A.

Матрицу A принято называть продуктивной, если

существуют два вектора — Y > 0 и Х > 0 — такие, что

X – AX = Y.

Отсюда

(E – A)X = Y.

Продуктивность матрицы означает, что производс-

твенная система способна обеспечить некоторый по-

ложительный конечный выпуск по всем продуктам.

Проблема продуктивности исследована в экономи-

ко-математической литературе достаточно детально.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

2

Математические методы и модели в экономике

Сформулируем основные результаты в виде следую-

щего утверждения.

Пусть A — неотрицательная квадратная матрица.

Тогда одним из условий продуктивности матрицы A яв-

ляется неотрицательная обратимость матрицы (Е – A),

то есть выполнение условия (E – A)

-1

≥ 0.

Пусть имеется матрица коэффициентов прямых за-

трат в натуральном или стоимостном выражении

A = ( a

)

n*n

Для производства единицы продукции отрасли j не-

обходимо затратить набор продуктов а

= (a

, а

2 j

,...,

n j

), который формально описывается j-м столбцом

матрицы A. Но для производства этого набора необ-

ходимо непосредственно затратить набор продуктов,

который мы обозначим через a

j(1)

В силу (6.7)

j(1)

= Aa

Элементы вектора затрат a

j(1)

называются коэф-

фициентами косвенных затрат первого порядка

соответствующих продуктов на производство единицы

продукта j.

Матрица A

(1)

, составленная из столбцов a

j(1)

j = 1,2,..., п, называется матрицей косвенных затрат

первого порядка. Очевидно, что

(1)

= A · A = A

Косвенными затратами второго порядка называ-

ются прямые затраты, необходимые для обеспечения

косвенных затрат первого порядка, то есть

j(2)

= A a

j(1),

или в матричной форме

(6.14)

(6.15)

(6.16)

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

(2)

= A·A

(1)

= A

где A

(2)

— матрица коэффициентов косвенных за-

трат второго порядка. Продолжая по аналогии, назо-

вем косвенными затратами порядка т прямые затра-

ты на обеспечение косвенных затрат порядка (т – 1).

Очевидно, что матрицу коэффициентов косвенных за-

трат т-го порядка получим, умножив матрицу A на

матрицу A

(m-1)

(m)

= A · A

(m-1)

= A

m+1

Определим теперь полные затраты как сумму

прямых и косвенных затрат всех порядков. В соответс-

твии с этим матрица С = (с

)

n*n

, составленная из ко-

эффициентов полных затрат, образуется как сумма:

C = A + A

(1)

+ A

(2)

+...

Учитывая, что A

(k)

= A

k +1

имеем:

C = A + A

+ A

+...

Строго говоря, полные материальные затраты, оп-

ределенные выше, не являются в действительности

полными, то есть не учитывают всех материальных

затрат. Это происходит в основном по двум причинам.

Во-первых, элементы матрицы A не учитывают пря-

мых материальных затрат на восстановление основ-

ных фондов. Во-вторых, при расчете не учитываются

косвенные материальные затраты, необходимые для

воспроизводства рабочей силы.

Коэффициенты прямых и полных материальных

затрат имеют важное значение для характеристики

структуры технико-экономических связей и для ана-

лиза эффективности общественного производства со

стороны затрат овеществленного труда. С этой точки

зрения и матрица A, и матрица С несут одну и ту же

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.20)

2

Математические методы и модели в экономике

информацию, но в разной форме. Существенное отли-

чие коэффициентов полных затрат от коэффициентов

прямых затрат состоит в том, что они являются не

отраслевыми, а народнохозяйственными показателя-

ми, и формируются с учетом технологических связей

между отраслями.

Пример

Рассмотрим пример решения одного из контроль-

ных заданий, которые предлагаются для самостоя-

тельного решения в приложении.

В каждом из контрольных примеров заданы следу-

ющие исходные данные:

•

матрица межотраслевых связей в натуральном

выражении;

•

вектор цен продукции отраслей;

•

вектор конечной продукции;

•

два варианта плана валового выпуска в натураль-

ном выражении;

•

два варианта плана выпуска конечной продукции

в натуральном выражении.

При выполнении каждого из заданий необходимо

дать ответы на следующие вопросы:

•

определить, является ли матрица коэффициентов

прямых затрат A в натуральном выражении про-

дуктивной;

•

перейти от натуральной формы модели к стоимос-

тной;

•

определить, является ли полученная стоимостная

матрица коэффициентов прямых затрат продук-

тивной;

•

рассчитать коэффициенты косвенных затрат 1-го

порядка для 3-й отрасли;

•

определить матрицы полных затрат в натураль-

ном и стоимостном выражениях;

•

определить валовой выпуск продукции в нату-

ральном и стоимостном выражениях;

•

рассчитать по заданным валовым выпускам и

выбрать по критерию максимизации суммарного

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

конечного продукта в натуральном выражении

лучший вариант плана выпуска конечной продук-

ции из трех: исходного и двух плановых;

•

рассчитать по заданным плановым вариантам ко-

нечной продукции валовые выпуски в натураль-

ном выражении и выбрать по критерию миними-

зации валовых затрат лучший из трех: исходного

и двух плановых.

замечание

При выполнении задания должны использоваться

стандартные функции Excel, а результаты расчетов и

их экономического анализа оформлены так, как это

показано в табл. 6.3.

Последовательность вычислений и анализа

результатов следующая

По заданной матрице межотраслевых связей и век-

тору конечной продукции рассчитывается прямым

счетом валовой выпуск.

По заданному вектору цен и векторам конечной и ва-

ловой продукции рассчитываются матрица межотрасле-

вых связей в стоимостном выражении, а также стоимос-

тные вектора конечной продукции и валового выпуска.

Для того чтобы найти элементы i-ой строки матрицы

межотраслевых связей в стоимостном выражении, надо

соответствующие элементы i-ой строки матрицы межот-

раслевых связей в натуральном выражении умножить на

i-ый элемент вектора цен (I = 1, 2, 3, 4).

Рассчитываются матрицы коэффициентов прямых

затрат в натуральном и стоимостном выражениях. Для

того чтобы найти элементы i-ого столбца матрицы ко-

эффициентов прямых затрат, надо соответствующие

элементы i-ого столбца матрицы межотраслевых свя-

зей разделить на i-ый элемент вектора валовой про-

дукции (I = 1, 2, 3, 4).

Рассчитываются обратные матрицы для матриц

(Е – А) в стоимостном и натуральном выражениях

(с помощью Мастера функций Excel: математическая

2

Математические методы и модели в экономике

Таблица 6.3.

Задание №… по теме “Межотраслевой баланс”

Исходные данные

М-ца межотраслевых связей (нат) Y Вал(нат) P Y(стоим) Вал(стоим)

345 299 327 406 48 1425 3,46 166,08 4930,5

672 443 988 0 516 2619 17,55 9055,8 45963,45

902 108 56 371 300 1737 29,88 8964 51901,56

477 533 209 66 277 1562 205,05 56798,85 320288,1

М-ца коэф-тов прямых затрат (нат) Единичная матрица

0,242105 0,11417 0,188256 0,25992 1 0 0 0

0,471579 0,16915 0,568797 0 0 1 0 0

0,632982 0,04124 0,032239 0,23752 0 0 1 0

0,334737 0,20351 0,120322 0,04225 0 0 0 1

Матрица (Е – А) (нат) Обратная матрица (нат)

0,757895 –0,11417 –0,18826 -0,25992 3,633075 0,895091 1,398526 1,332808

–0,471580,47158 0,83085 –0,5688 0 4,244904 2,335758 2,416315 1,751259

–0,632980,63298 –0,04124 0,967761 -0,23752 3,188491 0,911683 2,370062 1,453088

–0,334740,33474 –0,20351 –0,12032 0,95775 2,572354 0,923702 1,29999 2,06462

2

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

М-ца межотрасл. связей (стоим) М-ца коэф-тов прямых затрат (стоим)

1193,7 1034,54 1131,42 1404,76 0,242105 0,022508 0,021799 0,004386

11793,6 7774,65 17339,4 0 2,391968 0,169149 0,334082 0

26951,76 3227,04 1673,28 11085,5 5,466334 0,070209 0,032239 0,034611

97808,85 109292 42855,45 13533,3 19,83751 2,377795 0,825706 0,042254

Матрица (Е – А) (стоим) Обратная матрица (стоим)

0,757895 –0,02251 –0,0218 –0,00439 3,633075 0,176468 0,161944 0,02249

–2,391972,39197 0,83085 –0,33408 0 21,53123 2,335758 1,419221 0,149888

–5,466335,46633 –0,07021 0,967761 –0,03461 27,53529 1,552198 2,370062 0,211745

–19,837519,8375 –2,37779 –0,82571 0,95775 152,4454 10,79231 8,921115 2,06462

Косвенные затраты 3-й отрасли Y

(нат) Y

(стоим) X

(нат) X

(стоим)

0,017122 48 166,08 1425 4930,5

0,119424 516 9055,8 2619 45963,45

0,172236 300 8964 1737 51901,56

1,288334 277 56798,85 1562 320288,1

2

Математические методы и модели в экономике

1425 1500 1300 48 50 30

2619 2700 2500 516 550 400

1737 1600 1750 300 400 250

1562 1550 1300 277 300 220

*�

48 124,505 32,5014 1425 1633,206 1109,878

516 625,856 468,682 2619 2988,816 2051,006

300 119,453 458,84 1737 2044,801 1372,523

277 240,401 90,5664 1562 1776,036 1225,865

1141 1110,2 1050,6 7343 8442,86 5759,27