Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике
Подождите немного. Документ загружается.
200
С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко
Рис. 5.3. Диалоговое окно Мастера диаграмм:
параметры диаграммы
6) укажите место размещения диаграммы на отде-
льном или на имеющемся листе (рис. 5.4). Щел-
кните по кнопке Далее. Готовая диаграмма выве-
дется на указанное место;
Рис. 5.4. Диалоговое окно Мастера диаграмм:
размещение диаграммы
201
Математические методы и модели в экономике
•
на основе визуального изучения графика делается
предположение об аналитической форме кривой,
которая наилучшим образом способна аппрокси-
мировать ломаную на графике;
•
применяется метод наименьших квадратов для
построения прогнозирующей кривой;
•
оценивается среднее значение погрешности полу-
ченных прогнозных оценок;
•
принимается решение об использовании или не-
использовании выбранной кривой для построения
прогноза.
Наиболее часто употребимым методом построения
прогнозирующей функции является метод наимень-
ших квадратов.
Метод наименьших квадратов позволяет подобрать
некоторую непрерывную аналитическую функцию для
аппроксимации дискретного набора исходных данных.
Выбор функции считается наилучшим, если сведено к
минимуму стандартное отклонение по рассматриваемой
временной выборке, которое определяется по формуле:
где d
t
— фактический спрос, наблюдаемый в t-й
период времени;
d
t
*
—значение прогнозирующей функции для
того же момента времени;
п — число периодов (наблюдений), то есть
длина временной выборки;
f — число степеней свободы.число степеней свободы.
Суммирование ведется по всей выборке, поэтому,
как это принято в статистике, нижний и верхний ин-
дексы суммирования опущены.
Минимизация S
dt
эквивалентна минимизации
Σ(d
t
– d
t
*
)
2
. Поэтому задача сводится к минимизации
суммы квадратов разностей между фактическим зна-
чением спроса в момент t и тем значением, которое
принимает прогнозирующая функция.
(5.1)
202
С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко
Наиболее часто для построения прогнозирующей
функции используют:
линейную функцию у = а
0
+ aa
1
t,,
параболу у = а
0
+ aa
1
t + a + aa
2
t
2
,
гиперболу у = а
0
+ aa
1
/ t,t,,
многочлены более высоких порядков.
Если предположить, что выбрана линейная форма
прогнозирующей функции, то есть у = а
0
+ aa
1
t,, то для
определения исходно неизвестных параметров а
0
и
а
1
необходимо минимизировать
Для этого определяют первые частные производные Е
по а
0
и а
1
и приравнивают их к нулю, то есть решают
следующую систему уравнений:
откуда и получают искомые значения параметров
а
0
и а
1
.
Аналогично получают параметры для гиперболы и
параболы.
Поведение спроса часто носит циклический (перио-
дический) характер. Тогда прогнозирующая функция
может быть представлена в виде:
у = а + u cos(2 cos(2cos(2(2π / N) tN) t) tt + sin(2 sin(2sin(2(2π / N) t,N) t,) t,t,,
где N — число периодов в одном цикле.
Суперпозиция линейной и циклической функций
позволяет получить линейно-циклическую функцию:
у = а + bt + u cos(2π / N) t + sin(2π / N) t.
Определение фигурирующих в формулах констант
осуществляется методом наименьших квадратов.
(5.2)
(5.3)
(5.4)
20
Математические методы и модели в экономике
замечание
При выборе прогнозирующей функции предпоч-
тение отдается той аналитической форме, которая
обеспечивает минимальное из стандартных отклоне-
ний как погрешность оценки аппроксимации. Поэтому
если нет уверенности, что тот или иной вид прогно-
зирующей функции заведомо предпочтительнее дру-
гих, то следует испытать несколько различных форм
прогнозирующей функции и выбрать наилучшую в
соответствии с критерием минимизации стандартного
отклонения.
Пример
Пусть известна статистика валового выпуска про-
дукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет —Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет — (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет —
табл. 5.1.
Таблица 5.15.1.1
Y 22,4 25,8 26,1 26,9 27,4 25,7 28,3 27,6 28
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Необходимо провести статистический анализ ис-
ходных данных в соответствии с алгоритмом, изложен-
ным выше. Методом наименьших квадратов опреде-
лить параметры аналитической кривой для линейной
и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В
соответствии с критерием минимизации стандартного
отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирую-
щей функции, а затем построить прогноз на один, два
и три временных интервала времени.
Решение
Строится график (рис. 5.5).
20
С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко
Рис. 5.5
1. На основе визуального анализа графика делаетсяНа основе визуального анализа графика делается
вывод о форме аналитической кривой, способной
наилучшим образом аппроксимировать ломаную
на графике. В данном случае это квадратичная
функция. Но для подтверждения нашего вывода
построим методом наименьших квадратов, кроме
квадратичной, еще и линейную функцию.
2. Для определения исходно неизвестных парамет-Для определения исходно неизвестных парамет-
ров параболы а
0
, а
1
и а
2
, согласно методу на-
именьших квадратов, необходимо решить систе-
му уравнений:
(5.5)
20
Математические методы и модели в экономике
Таблица 5.25.2
t y t^2 t^3 t^4 yt yt^2
1 22,4 1 1 1 22,4 22,4
2 25,8 4 8 16 51,6 103,2
3 26,1 9 27 81 78,3 234,9
4 26,9 16 64 256 107,6 430,4
5 27,4 25 125 625 137 685
6 25,7 36 216 1296 154,2 925,2
7 28,3 49 343 2401 198,1 1386,7
8 27,6 64 512 4096 220,8 1766,4
9 28 81 729 6561 252 2268
45 238,2 285 2025 15333 1222 7822,2
Матрица системы (парабола)
9 45 285 238,2
45 285 2025 1222
285 2025 15333 7822,2
20
С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко
Обратная матрица параметры
1,6190476 – 0,67857140,6785714 0,0595238 a
0
22,05
– 0,6785714 0,341342 – 0,0324675 a
1
1,51666667
0,0595238 – 0,03246750,0324675 0,0032468 a
2
– 0,1
Матрица системы (прямая)
9 45 238,2
45 285 1222
Обратная матрица параметры
0,5277778 – 0,08333330,0833333 a
0
23,8833333
– 0,0833333 0,0166667 a
1
0,51666667
Парабола: y = 22,05 + 1,52t – 0,1t^2: y = 22,05 + 1,52t – 0,1t^2– 0,1t^20,1t^2
Прямая: y = 23,88 + 0,52t
20
Математические методы и модели в экономике
Расчеты для диаграмм
Квадратичная зависимость Линейная зависимость
t t^2 1,52t
,
–0,1t^2 y(квадр.) y(исх.) 0,52t y(лин.) y(исх.)
1 1 1,52 –0,1 23,47 22,4 0,52 24,4 22,4
2 4 3,04 –0,4 24,69 25,8 1,04 24,92 25,8
3 9 4,56 –0,9 25,71 26,1 1,56 25,44 26,1
4 16 6,08 –1,6 26,53 26,9 2,08 25,96 26,9
5 25 7,6 –2,5 27,15 27,4 2,6 26,48 27,4
6 36 9,12 –3,6 27,57 25,7 3,12 27 25,7
7 49 10,64 –4,9 27,79 28,3 3,64 27,52 28,3
8 64 12,16 –6,4 27,81 27,6 4,16 28,04 27,6
9 81 13,68 –8,1 27,63 28 4,68 28,56 28
Сумма квадратов разностей Сумма квадратов разностей
6,6665 9,7456
замечание. Расчет коэффициентов a
0
, a
1
и a
2
производят по формуле X=A
-1
B, где Х= ( a
0
,
a
1
, a
2
)
т
— столбец искомых коэффициентов, A
-1
— обратная матрица системы, B — столбец
свободных членов, используя математическую функцию МУМНОЖ Мастера функций Excel.математическую функцию МУМНОЖ Мастера функций Excel.Excel..
20
С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко
3. Для определения исходно неизвестных параметров
линейной функции а
0
и а
1
,согласно методу на-
именьших квадратов, необходимо решить систему
уравнений:
4. Расчеты представлены в табл. 5.2. (Они проводятся
с помощью Мастер функций Excel).).
Вывод
Согласно критерию минимизации стандартного откло-
нения (функция СУММКВРАЗН в Excel) можно утверж-Excel) можно утверж-) можно утверж-
дать, что квадратичная функция точнее, чем линейная,
аппроксимирует исходные данные. Это же можно видеть
и на графиках аппроксимации (рис. 5.6, рис. 5.7).
Рис. 5.6
Рис. 5.7
(5.6)
20
Математические методы и модели в экономике
Таким образом, прогнозирующее уравнение име-
ет вид:
у = 22,05 + 1,52 t – 0,1 t
2
.
Прогноз осуществляется на основе экстраполяции
значений прогнозирующей функции. Например, про-
гноз выпуска продукции на следующий (10-й) год при
предположении, что условия функционирования пред-
приятия будут такими же, как в предшествующих пе-
риодах, составит:
у = 22,05 + 1,52 • 10 – 0,1•10
2
;
у = 22,05 + 15,2 – 10;
у = 27,25.
Вопросы по теме
Основные особенности прогноза.
Основные принципы прогнозирования.
Функции прогнозирования.
Методы и приемы прогнозирования.
Классификация прогнозов.
Этапы прогнозирования.
Категории надежности информации для прогнози-
рования.
Суть метода наименьших квадратов?
Алгоритм прогнозирования по временному ряду.