Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

10

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

•

Z-тестирования выборок (Excel: статистическая-тестирования выборок (Excel: статистическаяExcel: статистическая: статистическая

функция ZТЕСТ).ZТЕСТ).ТЕСТ).

Среднеквадратическое отклонение и дисперсия

оценивают каждую выборку с точки зрения разбро-

са данных относительно средневыборочного значения.

Если эти показатели велики, то велик и разброс дан-

ных и, возможно, целесообразно исключить из соот-

ветствующих выборок пиковые (минимальные и мак-

симальные) значения при переходе к регрессионному

анализу.

Числовые характеристики моды, медианы, миниму-

ма и максимума дают общие представления об уст-

ройстве выборки:

•

минимальное и максимальное значения не требу-

ют специальных пояснений;

•

медиана определяет середину выборки, то есть

указывает такое значение показателя в выборке,

для которого половина оставшихся значений не

превосходит это значение, а вторая половина пре-

восходит медиану.

Z-тестирование выборки применяется для получе--тестирование выборки применяется для получе-

ния стандартной оценки каждого из элементов каждой

выборки. Стандартные оценки позволяют проверить

(оценить) принадлежность этих конкретных наблюде-

ний конкретной генеральной совокупности. При при-

менении Z-тестирования априорно устанавливаетсяZ-тестирования априорно устанавливается-тестирования априорно устанавливается

правило оценки репрезентативности выборки, напри-

мер, выборка считается репрезентативной, если в ней

не более 10% данных должны иметь вероятностные

оценки < 0,7 согласно Z-тесту.Z-тесту.-тесту.

Если приведенное правило не выполняется, то вы-

борку считают не представительной и соответственно

дальнейший анализ проводить с такими данными счи-

тается нецелесообразным.

Второй этап — корреляционный анализ данных.

На этом этапе осуществляется парное сравнение

выборки результирующего показателя с выборками

11

Математические методы и модели в экономике

показателей, которые, согласно теоретической модели

рассматриваются как факторные, а также проверяется

степень коррелируемости факторных показателей.

Для этих целей рассчитываются коэффициенты

парной корреляции (R) (Excel: статистическая фун-R) (Excel: статистическая фун-) (Excel: статистическая фун-Excel: статистическая фун-: статистическая фун-

кция КОРРЕЛ), которые изменяются от –1 до 1. Чем

ближе значение коэффициента корреляции к 1 или –1,

тем выше степень коррелируемости соответствующих

случайных величин.

Однако при R, близких к –1 или 1, регрессионныеR, близких к –1 или 1, регрессионные, близких к –1 или 1, регрессионные

связи между соответствующими случайными величи-

нами устанавливаться не могут, поскольку эта ситу-

ация означает фактически функциональную взаимо-

связь показателей. Поэтому те показатели, которые

исходно были выбраны в качестве факторных и для

которых коэффициенты корреляции с результирую-

щим показателем оказались очень близки к –1 или

1, из дальнейшего рассмотрения целесообразно ис-

ключать.

Знак коэффициента парной корреляции указывает

на характер взаимосвязи величин: «+» — на прямую

зависимость; «–» — на обратную.

Аналогично поступают с факторными показателями,

для которых коэффициенты корреляции очень близки

к нулю. Их исключают из дальнейшего рассмотрения,

исходя из того, что соответствующие случайные вели-

чины слабокоррелируемы и, следовательно, в качестве

факторных не могут быть использованы.

Для оценки тесноты связи между двумя выборками

как множествами данных рассчитываются коэффици-

енты ковариации, на основе анализа которых делается

вывод о том, насколько сильно влияние того или иного

факторного показателя на результирующий.

И, наконец, на третьем шаге этого этапа анализа

рассчитываются безразмерные коэффициенты Пирсо-

на (Excel: статистическая функция ПИРСОН), на ос-Excel: статистическая функция ПИРСОН), на ос-: статистическая функция ПИРСОН), на ос-

нове которых оценивается степень линейной зависи-

мости между двумя множествами данных (выборками).

12

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Иными словами, коэффициенты Пирсона позволя-

ют сделать вывод о возможности и целесообразности

использования линейной формы регрессионной взаи-

мосвязи между результирующим и факторным пока-

зателем.

Третий этап — регрессионный анализ.

На этом этапе, используя метод наименьших квад-

ратов, строится многофакторная регрессионная зави-

симость результирующего показателя от оставшихся

после предшествующих шагов анализа факторных по-

казателей.

Перед построением многофакторной регрессион-

ной зависимости целесообразно еще раз убедиться

в правильности выбора факторных показателей для

моделирования производственной функции. Для этой

цели применяется анализ по Ф-критерию (Excel:Excel::

статистическая функция ФТЕСТ). Ф-критерий —

это результат дисперсионного анализа, позволяю-

щий сделать вывод о степени влияния каждого фак-

торного признака в совокупности выбранных для

регрессионного моделирования на результирующий

показатель. Чем больше влияние факторного при-

знака на результирующий — тем больше значение

Ф-критерия.

В результате анализа по Ф-критерию ряд фактор-

ных показателей, первоначально включенных в рег-

рессионную зависимость, может быть исключен из-за

слабой степени влияния на результирующий показа-

тель, что позволяет упрощать форму производствен-

ной функции.

Кроме того, стандартные функции Excel «ЛИ-Excel «ЛИ- «ЛИ-

НЕЙН» и «ЛГРФПРИБЛ» дают возможность полу-

чать дополнительные статистические характеристики

регрессионной зависимости:

•

стандартные значения ошибок регрессионных

коэффициентов и стандартное значение ошибки

результирующего фактора: чем меньше соответс-

1

Математические методы и модели в экономике

твующие величины, тем, очевидно, более точно

построенное уравнение аппроксимирует факти-

ческие данные;

•

коэффициент детерминирования, который из-коэффициент детерминирования, который из-

меняется от 0 до 1, и чем ближе значение этого

коэффициента к 1, тем сильнее корреляционная

зависимость, а чем ближе к 0, тем слабее, то есть

выбранная форма регрессионной связи неудачна

для предсказаний;

•

F-статистику, которая в совокупности с вспо-F-статистику, которая в совокупности с вспо-

могательной характеристикой степени свободы

позволяет по стандартным таблицам F-крити-

ческих значений этого критерия определить,

насколько установленная между факторами вза-

имосвязь случайна, то есть определяет уровень

надежности регрессионной модели: чем больше

превышает наблюдаемая (расчетная) F-статис-

тика табличную, тем надежней выбранная мо-

дель.

Порядок вычисления с помощью функции «ЛИ-

НЕЙН» следующий:

1) введите исходные данные или откройте существу-

ющий файл, содержащий анализируемые данные;

2) выделите область пустых ячеек 5х3 (5 строчек, 3

столбца) для вывода результатов регрессионной

статистики;

3) активизируйте Мастер функций любым из спо-

собов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните

по кнопке Вставка функции;

4) в окне Категория (рис. 3.5) выберите Статисти-

ческие, в окне Функция — ЛИНЕйН. Щелкните

по кнопке ОК;

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Рис. 3.5. Диалоговое окно «Мастер функций»

5) заполните аргументы функции (рис. 3.6):

Известные_значения_у — диапазон, содержа-

щий данные результативного признака;

Известные_значения_х — диапазон, содержа-

щий данные факторов независимого признака;

Константа — логическое значение, которое ука-

зывает на наличие или отсутствие свободного чле-

на в управлении; если Константа = 1, то свобод-

ный член рассчитывается обычным образом, если

Константа = 0, то свободный член равен 0;

1

Математические методы и модели в экономике

Рис. 3.6. Диалоговое окно ввода аргументов функции

ЛИНЕЙН

Статистика – логическое значение, которое

указывает, выводить дополнительную информа-

цию по регрессионному анализу или нет. Если

Статистика = 1, то дополнительная информа-

ция выводится, если Статистика = 0, то выво-

дится только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК;

6) в левой верхней ячейке выделенной области по-

явится первый элемент итоговой таблицы. Что-

бы раскрыть всю таблицу, нажмите на кла-

вишу <F2>, а затем – на комбинацию клавишF2>, а затем – на комбинацию клавиш2>, а затем – на комбинацию клавиш

<C�RL>+<SHIF�>+<EN�ER>.C�RL>+<SHIF�>+<EN�ER>.>+<SHIF�>+<EN�ER>.SHIF�>+<EN�ER>.>+<EN�ER>.EN�ER>.>.

Дополнительные статистические характеристики

регрессионной зависимости будут выводиться в поряд-

ке, указанном в следующей схеме (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Значение коэф-

фициента А

Значение коэффи-

циента А

Значение коэффи-

циента А

Среднеквадрати-

ческое отклоне-

ние А

Среднеквадрати-

ческое отклонение

Среднеквадрати-

ческое отклонение

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Коэффициент

детерминации R

Среднеквадрати-

ческое отклонение

F-статистика Число степеней

свободы

Регрессионная

сумма

квадратов

Остаточная сумма

квадратов

замечание

В нижеизложенных контрольных заданиях постро-

ение производственных функций предлагается осу-

ществлять в линейной и степенной формах с помощью

стандартной функции Excel «ЛИНЕЙН» из разделаExcel «ЛИНЕЙН» из раздела «ЛИНЕЙН» из раздела

статистических функций:

где A

— исходно неизвестные коэффициенты рег-

рессии.

Пример построения и анализа

производственной функции

Даны статистические данные по производственно-

му процессу некоторого предприятия за 15 лет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3,45 3,48 3,06 3,66 3,79 3,85 3,44 4,08 4,5 4,31 3,57 3,55 4,61 3,99 4,78

6,17 7,55 6,93 6,55 6,71 7,73 7,43 7,55 7,6 6,88 6,54 4,37 6,92 7,33 6,01

10,11 13,65 13,75 11,64 12,87 12,43 14,33 15,26 15,9 18,21 13,22 13,45 12,22 12 13,07

Провести статистический анализ исходных дан-

ных, построить линейную и степенную формы произ-

водственных функций Y=Y(K, L) для заданного про-Y=Y(K, L) для заданного про-=Y(K, L) для заданного про-Y(K, L) для заданного про-(K, L) для заданного про-K, L) для заданного про-, L) для заданного про-L) для заданного про-) для заданного про-

изводственного процесса. На основе статистического

анализа сделать вывод о предпочтительности формы

регрессионной зависимости и провести экономический

анализ выбранной производственной функции.

(3.23)

(3.24)

1

Математические методы и модели в экономике

В табл. 3.3 приведена последовательность статисти-

ческих расчетов, необходимых для построения и выбо-

ра аналитической формы производственной функции.

Соответствующие расчеты по контрольным заданиям

необходимо представлять в аналогичной или сходной

по подзаголовкам форме при подготовке отчета.

замечание

Для построения степенной регрессионной зависи-

мости необходимо исходную формулу

прологарифмировать, что приведет к представлению

новой зависимости в линейной форме:

lnY = lnA

+ A

ln� + A

lnL,

для которой опять следует использовать функцию

«ЛИНЕЙН». При возврате к степенной зависимости

не забыть, что (это значение занести в таб-

лицу рядом с коэффициентом lnA0).

Статистический анализ данных

1. Стандартные отклонения выборок исходных дан-

ных по сравнению со значениями самих данных не-

велики, то есть разброс точек в выборках невелик.

2. Отклонения максимальных и минимальных значе-

ний выборок от соответствующих медиан и сред-

него значения также невелики. Это означает, что

точки выборок расположены достаточно плотно.

3. Результаты Z-теста показывают, что в выборкеРезультаты Z-теста показывают, что в выборке Y

вероятности попадания значений Y

, YY

, ��

, LL

в соответствующие генеральные совокуп-

ности очень малы, особенно для YY

и L

, поэтому

при решении реальных практических задач со-

ответствующие строки данных нужно удалить из

дальнейшего рассмотрения и начать статистичес-

кий анализ для измененных выборок снова.

4. Коэффициент парной корреляцииКоэффициент парной корреляции Y и � равен 0,28,

что говорит о наличии не очень сильной корреля-

ционной зависимости этих выборок. Корреляция

(3.25)

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

между Y и L также достаточно слабая, поскольку их

коэффициент парной корреляции равен 0,24. Кор-

релируемость независимых факторов К и L очень

слабая, коэффициент их парной корреляции равен

0,09. Это говорит о том, что факторные показатели

слабо связаны между собой, то есть достаточно не-

зависимы и соответственно правильно выбраны для

моделирования регрессионной зависимости.

5. Коэффициенты Пирсона по своей величине не-Коэффициенты Пирсона по своей величине не-

большие. Это говорит о том, что, скорее всего,

между результирующим показателем Y и фактор-

ными показателями К и L не существует устойчи-

вой линейной зависимости.

Таблица 3.3

Результаты расчетов

Исходные данные Z-тест

XX Y K L Y K L

10,11 3,45 6,17 8,47E-12E-12-12 0,000451 0,001971

13,65 3,48 7,55 0,63764 0,001018 0,99955

13,75 3,06 6,93 0,70961 9,63E-11E-11-11 0,703123

11,64 3,66 6,55 0,000121 0,04668 0,12006

12,87 3,79 6,71 0,11342 0,254052 0,324378

12,43 3,85 7,73 0,018357 0,423556 0,999982

14,33 3,44 7,43 0,956622 0,00034 0,997289

15,26 4,08 7,55 0,999824 0,94575 0,99955

15,9 4,5 7,6 0,999999 0,999999 0,999804

18,21 4,31 6,88 1 0,999666 0,621208

13,22 3,57 6,54 0,305647 0,008623 0,111301

13,45 3,55 4,37 0,48085 0,005579 0

12,22 4,61 6,82 0,006052 1 0,515538

12 3,99 7,33 0,001592 0,816338 0,990134

13,07 4,78 6,01 0,209441 1 0,000158

1

Математические методы и модели в экономике

Числовые характеристики

выборок

Коэффициент парной

корреляции

Min

10,11 3,06 4,37 K L

Max

18,21 4,78 7,73 Y 0,28342547 0,242615

Ме-

диа-

на

13,22 3,79 6,88 K 0,091686

Ст.

откл.

1,935628 0,495492 0,861625

Коэффициенты Пирсона

Дис-

перс.

3,746654 0,245512 0,742398 K L

Y 0,28342547 0,242615

K 0,091686

LnY LnK LnL

Ф-тест-тесттест

2,313525 1,238374 1,819699 K L

2,61374 1,247032 2,021548 Y 8,2E-06 0,004578

2,621039 1,118415 1,93586 K 0,04705

2,454447 1,297463 1,879465

2,554899 1,332366 1,903599

Линейная

регрессия

2,520113 1,348073 2,045109 0,943477 1,805948

2,662355 1,235471 2,005526 0,45217 0,794747

2,725235 1,406097 2,021548 0,039416 1,968711

2,766319 1,504077 2,028148 0,266715 13

2,901971 1,460938 1,928619

2,581731 1,272566 1,877937

Степенная регрессия

2,598979 1,266948 1,474763 0,186233 0,275795 1,864359 6,451802

2,503074 1,528228 1,919859 0,267494 0,303091 0,619078

2,484907 1,383791 1,991976 0,109086 0,142496 #Н/Д

2,57032 1,564441 1,793425 0,73466 12 #Н/Д

0,029835 0,243662 #Н/Д

Уравнение линейной

регрессии

Уравнение степенной регрессии

Y=0,943L+1,806K Y=6,452*L^0,186*K^0,275