Грицюк С.Н., Мирзоева Е.В., Лысенко В.В. Математические методы и модели в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

10

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

6. В соответствии с результатами применения Ф-кри-В соответствии с результатами применения Ф-кри-

терия следует, что влияние факторных признаков

на результирующий в совокупности выбранных

невелико, то есть при наличии совокупности не-

которых других признаков факторные показатели

К и L могли бы быть исключены из дальнейшего

рассмотрения как малозначащие для содержатель-

ного анализа производственного процесса и заме-

нены на другие, более значимые. Однако в силу

условности примера, которая отмечалась выше, и

отсутствия других данных в заданиях эти факто-

ры будут оставлены.

замечание

При выполнении контрольных заданий все этапы и

шаги статистического анализа необходимо выполнить

полностью независимо от частных удовлетворительных

или неудовлетворительных результатов статистичес-

кого анализа, которые в значительной степени обус-

ловлены условностью контрольных примеров и малым

числом значений в рассматриваемых выборках.

Регрессионный анализ данных и выбор формы

производственной функции

Дополнительная статистика, полученная при пост-

роении линейной и степенной регрессионных зависи-

мостей, позволяет сделать следующие выводы:

•

стандартные ошибки коэффициентовстандартные ошибки коэффициентов A

и A

для

линейной зависимости незначительны (0,452 и

0,795). Вместе с тем стандартные ошибки ко-

эффициентов экспоненциальной зависимости

(0,267 и 0,303) существенно ниже, что говорит

о предпочтительности выбора степенной зави-

симости для моделирования рассматриваемого

производственного процесса;

•

аналогичный вывод можно сделать и по значе-аналогичный вывод можно сделать и по значе-

ниям стандартных ошибок для Y: для линейной

зависимости она составляет 1,968, а для степен-

ной — 0,142;

11

Математические методы и модели в экономике

•

коэффициенты детерминированности обеих зави-коэффициенты детерминированности обеих зави-

симостей (0,039 и 0,109) невелики, то есть, скорее

всего, на стадии вербального моделирования при

отборе факторных признаков были не включены в

исходное рассмотрение какие-то более существен-

но влияющие факторы;

•

при проверке надежности моделей по F-статистикепри проверке надежности моделей по F-статистике

получаем следующие неутешительные результаты:

как для линейной, так и для экспоненциальной за-

висимости табличное значение 3,88 существенно

превышает расчетные: 0,27 и 0,73 соответственно;

поэтому обе зависимости обладают слабой надеж-

ностью, т. е. установленные взаимосвязи по вы-

боркам носят случайный характер и непригодны

для прогнозирования развития производственного

процесса. (Табличные значения F-статистики оп-

ределяются по любому справочнику.)

Вывод. Согласно рассматриваемому примеру, в ка-

честве производственной функции более целесообраз-

но выбрать экспоненциальную форму регрессионной

взаимосвязи.

Экономический анализ производственной

функции

Структуру экономического анализа производствен-

ной функции продемонстрируем на примере линейной

зависимости, которая имеет следующий вид:

Y = 0,�43L + 1,�06� = 0,�43L + 1,�06�L + 1,�06� + 1,�06��.

Определяется масштаб производственной функции.

Поскольку функция имеет линейную форму, оче-

видно, что при изменении масштаба факторов масш-

таб Y изменится на такую же величину.Y изменится на такую же величину. изменится на такую же величину.

Строятся графики «затраты-выпуск».

Фиксируем три значения фактора L = 3, 4 и 5. Со-

ответственно получим уравнения:

12

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Y = 1,�06� + 2,�3; = 1,�06� + 2,�3;� + 2,�3; + 2,�3;

Y = 1,�06� + 3,��; = 1,�06� + 3,��;� + 3,��; + 3,��;

Y = 1,�06� + 4,�2. = 1,�06� + 4,�2.� + 4,�2. + 4,�2.

Вид графиков представлен на рис. 3.7. Аналогич-

ным образом могут и должны быть построены при вы-

полнении задания графики для фиксированных значе-

ний другой независимой переменной.

Рис. 3.7. График «затраты-выпуск»

при фиксированных L

Рассчитываются формулы для определения средней

эффективности (отдачи) производственных ресурсов:

= Y/� = 0,�43(L/�) + 1,�06;

= Y/L = 1,�06(�/L) +0,�43.

Рассчитываются предельные эффективности ре-

сурсов:

= 1,806; M

= 0,943.

Для линейной функции предельные эффективности

ресурсов постоянны.

1

Математические методы и модели в экономике

Рассчитываются коэффициенты эластичности вы-

пуска по ресурсам:

= M

= 1,�06/( 0,�43(L/�) + 1,�06);

= M

= 0,�43/( 1,�06( �/L) + 0,�43).

Строятся изокванты модели. Для построения изок-

вант фиксируются некоторые значения Y, например:

10, 5 и 3.

Соответствующие изокванты изображены (масшта-

бы условны) на рис. 3.8.

При неизменных YY изокванты линейной производс-

твенной функции имеют линейную форму.

Рис. 3.8. Изокванты линейной функции

Определяется эластичность замещения ресурсов,

которые в линейном случае равны бесконечности.

Проводятся имитационные расчеты планируемых

вариантов изменения производства.

Фрагмент таких расчетов выглядит следующим

образом. Допустим, что в базовом периоде выпуска-

лось 10 ед. (одна единица, например, соответствует

100 000 руб.) продукции, то есть Y

= 10. Плани-

руется в следующем плановом периоде увеличить

объем выпуска на 25%, то есть выпускать соот-

ветственно 12,5 ед. Предполагается, что ограниче-

ний по ресурсам нет (К — это затраты основных

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

производственных фондов — ОПФ, а L — ресурсы

трудозатрат).

Так как в рассматриваемой экономической системе

имеет место постоянная отдача от расширения произ-

водства, то очевидно, что для очередного планового пе-

риода следует планировать затраты ресурсов, пропорци-

ональные затратам в базовом периоде. Если, например,

в базовом периоде на выпуск 10 единиц продукции рас-

ходовалось 5 единиц стоимости ОПФ и соответственно

1,03 единиц трудозатрат, то в очередном плановом пе-

риоде их потребуется соответственно K = 5K = 5= 5·1,25 = 6,25

и L = 1,03L = 1,03= 1,03·1,25 = 1,29 единиц. Объем выпуска при этом

составит Y = 0,943Y = 0,943= 0,943·1,29+1,806·6,25 = 12,51. Средняя

эффективность ресурсов в базовом периоде: производи-

тельность труда 9,71 и фондоотдача 2. В плановом пе-

риоде, соответственно, они не изменятся. Не изменятся

и эластичности ресурсов.

Аналогично рассчитываются характеристики лю-

бых других плановых вариантов, которые необходимо

выполнить при подготовке отчета по контрольным за-

даниям.

3.4. Анализ функций спроса

и потребления

Важным классом эконометрических функций являют-

ся функции потребления и спроса. Функции потребления

отражают конечные результаты использования различ-

ных потребительских благ. Регрессионные параметри-

ческие модели потребления часто называют «целевыми

функциями потребления» и используют в качестве гло-

бальных критериев оптимальности в экстремальных зада-

чах. Функции потребления называют также функциями

уровня жизни, функциями благосостояния, функциями

общественной полезности и т. п. Функция потребления

характеризует совместное потребление некоторого набо-

ра благ и определяет уровень потребления.

1

Математические методы и модели в экономике

В пространстве благ каждой функции потребления

соответствует некоторое семейство непересекающихся

поверхностей безразличия, соответствующих опреде-

ленным уровням потребления набора благ. Уровень

потребления удобно выражать в единицах стоимости

затрат на приобретение благ. Соотношение предель-

ных полезностей благ, взятое с обратным знаком, в

теории функций потребления носит название нормы

эквивалентной заменяемости благ.

Функции потребления могут быть преобразованы в

функции покупательского спроса. При этом предпола-

гается, что потребитель максимизирует потребление

в рамках своего дохода с учетом цены каждого блага.

Функции спроса могут охватывать всю сферу потреб-

ления (макроэкономические функции) и отражать ин-

дивидуальный спрос (микроэкономические функции).

При анализе функций спроса важное значение имеет

определение эластичности факторов, особенно элас-

тичности относительно дохода и цен.

Эластичность по доходу представляет собой про-

центное значение увеличения (уменьшения) спроса

на блага (товар) при увеличении (уменьшении) дохо-

да на один процент.

Благо или товар называют благом (товаром) с не-

эластичным спросом по доходу, если эта эластич-

ность меньше +1, и с эластичным спросом по доходу,

если она больше +1. Предметы роскоши являются бла-

гами с эластичным спросом по доходу. Неэластичный

с неотрицательной эластичностью спрос характеризу-

ет предметы первой необходимости. Отрицательная

эластичность по доходу присуща второстепенным (ма-

лоценным) благам.

Эластичность спроса по цене является анало-

гичной мерой чувствительности спроса на изменение

цены. Различают прямые и перекрестные эластич-

ности по цене. В первом случае измеряется изменение

спроса на благо при изменении на 1% его же цены, во

втором — при изменении также на 1% цены другого

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

блага. Эластичный спрос по цене наблюдается, если

эластичность по цене меньше –1. Если эластичность

больше –1, спрос по цене неэластичный. При равенс-

тве эластичности по цене –1 имеет место нормальный

спрос по цене.

Наконец, важное значение при анализе имеет расчет

частной эластичности замены одного блага другим.

Если эта эластичность отрицательная, то блага явля-

ются дополняющими, если равна нулю — независи-

мыми, если положительная — конкурирующими.

Алгоритм и особенности анализа рассмотрим на

примере исследования функции потребления.

Пример

При разработке плана заказа путевок для оздоро-

вительных мероприятий коллектива фирмы проведе-

ны исследования потребностей сотрудников фирмы в

путевках по туристическим маршрутам (qq

) и путев-

ках санаторно-курортного лечения (qq

). В результате

регрессионного анализа получена следующая зависи-

мость денежных средств, вносимых сотрудниками за

путевки, от числа путевок указанных видов:

U(q(qq

,qq

) = �0qq

– qq

+ 50qq

– qq

Определить, может ли эта зависимость служить

целевой функцией потребления, и если да, построить

карты безразличия и потреблений, выполнить имита-

ционные расчеты вариантов потребления путевок.

Решение

1) Проверяется функция U(qU(q(qq

,qq

) на выпуклость.

Для этого находят значение второго полного диф-

ференциала функции. Первый полный дифференциал

этой функции:

Тогда второй полный дифференциал:

(3.26)

1

Математические методы и модели в экономике

Так как dqq

и dqq

положительны при всех значе-

ниях q1 и q2, то d

U < О, а следовательно, U(q

)

выпукла к осям и может служить целевой функцией

потребления.

2) Строится карта безразличия для заданной фун-

кции.

Кривые безразличия являются линиями равного

уровня затрат U(q(qq

,qq

). Для построения кривых без-

различия следует выразить одно из благ через дру-

гое и уровень затрат, величина которого принимается

за константу. Например, формула для выражения q

имеет вид:

замечание. Данное выражение для q

можно по-

лучить, решив квадратное уравнение (3.26) относи-

тельно q

Подставляя различные значения q

при равных зна-

чениях U(qU(q(qq

,qq

), можно получить расчетные точки и

построить по ним кривые безразличия.

В нашем случае функция U(q(qq

,qq

) представляет со-

бой уравнение окружности:

Центр окружности в точке (45, 25), радиус

. Найдем кривые безразличия для уровней

потребления U(q

), равных 650, 1000, 1800 и 2000.

Радиусы окружностей, определяющих кривые потребле-

ния, соответственно равны: 44,7; 40,6; 29,2; 25,5.

1

С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко

Так как величины q

и q

положительны, дуги кривых

расположены только в первом квадранте системы коор-

динат. Результаты построения приведены на рис. 3.9.

Рис. 3.9

Для построения карты предпочтений определяются

выражения для эквивалентной нормы заменяемости

благ. Оно может быть найдено с помощью уравнения

касательной к кривым безразличия:

Уравнение нормали к этой касательной найдем

как:

Преобразуя последнее выражение, получим: (qq

–

– 25) = c(qc(q(qq

– 45), то есть семейство прямых, сходя-

щихся в точке (45, 25), наклон которых определяется

угловым коэффициентом с.

Построим карту предпочтений для значений с, рав-

ных 0,11; 0,6; 1,0; 5,0. Чтобы построить каждую пря-

мую карты предпочтения, достаточно, кроме извест-

ной точки пересечения всех прямых (45, 25), найти

еще одну точку. Это легко сделать, если подставлять

в уравнение (qq

– 25) = c(q(qq

– 45), например, нулевые

значения q

или q

1

Математические методы и модели в экономике

Для с = 0,11 при q

= 0 получим q

= 20,5. Аналогич-

но можно найти другие точки, определяющие прямые

предпочтения. На рис. 3.10 приведены соответствую-

щие карты предпочтения.

Рис. 3.10

Направления кривых предпочтения к центру ок-

ружности указывают направления наибольшего изме-

нения потребности в рассматриваемой совокупности

благ. В соответствии с заданной функцией потребле-

ния максимальный уровень приобретения путевок со-

ставит q

= 45 и q

= 25 штук.

3) Проводятся имитационные расчеты по функции

потребления.

Предположим, что в базовом периоде в фирме ис-

пользовались 20 туристических путевок и 10 путевок

на курорты и в санатории. Эквивалентная норма за-

меняемости путевок различного типа составляла 0,6, а

расходы на приобретение путевок составляли 1800 руб.

В планируемом периоде предполагается, что расходы

на приобретение путевок увеличатся до 2000 руб.

Рассчитать, сколько путевок будет приобретено,

если эквивалентная норма заменяемости путевок не

изменится. Рассмотреть, каким образом изменится

предельная эквивалентная норма заменяемости, если

предложение путевок санаторно-курортного лече-

ния а) останется на базовом уровне; б) возрастет до

15 штук; в) возрастет до 20 штук.