Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

γ−=−θ−=ψ=θ i1cos

kicosksink

2222

, (7.8)

где

1cos

−θ=γ . (7.9)

Запишем напряженность электрического поля во второй среде:

)zt(ix

)xsinkzcoskt(i

)2(

eeEeEE

2222

β−ωγ−

θ−θ−ω

== . (7.10)

Из (7.10) видно, что неоднородная волна в среде 2 быстро зату-

хает по экспоненциальному закону при удалении от границы

световода. Говорят, что во второй среде существует поверхно-

стная волна. Таким образом, во внешних средах световода име-

ем две экспоненциально затухающие волны. А внутри световода

в среде 1 формально все происходит так же, как и в металличе-

ском световоде. Суперпозиция падающей и отраженной волны

дают бегущую волну вдоль оси Oz и стоячую волну вдоль оси

Ox:

)xsinkzt(i

)1(

отр

)1(

пад

)1(

eEreE

EEE

θ+β−ωθ−β−ω

=+=

. (7.11)

Можно показать, что отражение волны от границы рассмат-

риваемого диэлектрического световода соответствует отраже-

нию от металлической границы, расположенной на некотором

расстоянии от границы раздела двух сред (см. рис. 7.2).

На рисунке 7.2. (1) и (2) -

металлические идеально прово-

дящие плоскости. Если ввести

эти плоскости, внутри светово-

да сохранится картина полей.

Распространение волн между

этими плоскостями происходит

так же, как и в металлическом

световоде, заполненном ди-

электрической средой с по-

казателем преломления .

-a

(1)

(2)

Рис. 7.2.

Получим дисперсионное уравнение для одномерного ди-

электрического световода.

k χ+β= , (7.12)

k γ−β=

. (7.13)

Исключим

kk γ+=χ− ,

k,n

2211

)nn(

−

=γ+χ . ( 7.14)

Запишем условие согласования фаз. Пусть - фазовый сдвиг,

возникающий при отражении от каждой границы раздела двух

сред. Рассмотрим полный сдвиг фазы при прохождении волны

от нижней стенки до верхней и обратно. Он равен:

. Полный сдвиг фазы с учетом фазового

сдвига при отражении должен быть кратен 2

π:

⊥

θ=⋅θ⋅ sinka4xsink

m22sinka4

π=δ+θ

⊥

. (7.15)

Найдем фазовый сдвиг из формул 3.29:

cos

1sinn/n

cos

n/nsinn/n(

cos

n/nsin

±=

−ψ

−ϕ

⊥

)(arctg2)

cos

i(arctg2

−=

−=δ

⊥

. (7.16)

Подставляя (7.16) в (7.15), получим дисперсионные уравнения:

.1p2mномеромсмоддляactg

,p2mномеромсмоддляatg

+=γ=χχ−

(7.17)

Это трансцендентные уравнения, которые можно решить только

численными методами. Подробности решения можно найти в

книге [2]. Нас же интересует то, что в диэлектрическом светово-

де, как и в металлическом, существует бесконечная последова-

тельность решений, зависящих от номера m, то есть существует

бесконечная последовательность четных и нечетных мод.

7.3. Поведение мод при изменении частоты.

Критические частоты

Критические частоты для диэлектрического световода нахо-

дим так же, как и в металлическом световоде:

mπ

=χ

Тогда при 0=

из (7.14) следует:

кр

nna2

−

=ω

, (7.18)

где m=0, 1, 2 … . Если перейти к длине волны то критическая

длина волны рассчитывается следующим образом:

1кр

−=λ . (7.19)

Мы видим, что, в отличие от металлического световода, здесь

существует нулевая мода с номером m=0. Это означает, что для

диэлектрического световода нет частотного порога.

Когда возникает новая мода распространения, мы имеем

, откуда в силу формулы (7.10) , то есть угол

- критический. В этом случае распространение волны возмож-

но, так как мы находимся на пределе преломления. Но условие

n/ncos =θ

означает, что волна полностью распространяется вне све-

товода, то есть в среде 2. При увеличении частоты величина

возрастает, а угол убывает. Поле не так глубоко проникает во

внешнюю среду, и волна концентрируется внутри световода. В

пределе, когда частота

стремится к бесконечности, величина

также устремляется к бесконечности, , и волна полно-

стью удерживается в среде 1.

0=θ

С точки зрения дисперсии в диэлектрическом световоде. как

и в металлическом. желателен

одномодовый режим. Для этого

необходимо обеспечить условие:

1кр

. (7.20)

максимальный размер такого одномодового световода в соот-

ветствии с (7.19) определяется выражением:

одномод

)a2(

−

≤

. (7.21)

Таким образом,

можно получить одномодовый световод с по-

перечными размерами во много длин волн, если достаточно

мала разность показателей преломления .

То же

самое будет показано для цилиндрических оптических волокон.

nnn −=Δ

Однако, из-за сложного характера дисперсии основной моды

или по каким-либо причинам практического характера может

оказаться необходимым работать с многомодовом режиме и

учитывать одновременно дисперсию каждой моды и многомо-

довые эффекты.

Выводы

Рассмотрена задача распространения световых волн в идеа-

лизированном плоском диэлектрическом световоде. В решении

использованы результаты, полученные в прошлой лекции. По-

лучено условие одномодового режима, рассчитаны размеры све-

товода, работающего в одномодовом режиме на данной длине

волны.

Вопросы и задачи

7.1. Что такое мода? (см. лекцию № 6 и 5)

7.2. При каком условии в плоском металлическом световоде бу-

дет распространяться одна мода?

7.3. Почему выгодно работать в одномодовом режиме?

7.4. Что такое Н-волна? (см. лекцию № 6)

7.5. В чем заключается явление полного внутреннего отражения

(см. лекцию № 3)

7.6. Чем качественно отличается распространение волн в плос-

ком диэлектрическом световоде от случая плоского метал-

лического световода? Как зависит от координат напря-

женность электрического поля волны во внешней среде

при выполнении условия полного отражения? Какой ха-

рактер имеет волна во внешней среде при выполнении ус-

ловия полного отражения?

7.7. Как определяются критическая частота и критическая длина

волны для плоского диэлектрического световода? Что та-

кое критическая частота? (см. лекцию № 6)

7.8. При каком условии в плоском диэлектрическом световоде

будет распространяться одна мода?

7.9. Каким образом можно увеличить размеры диэлектрического

световода, работающего в одномодовом режиме на данной

длине волны?

7.10. Найдите число мод, распространяющихся в плоском ди-

электрическом световоде с размерами сердцевины

на длине волны 0,85 мкм ( ,

мкм10a2 =

490,1n

485,1n

ЛЕКЦИЯ 8

Оптические волокна

8.1. Типы оптических волокон

В следующих лекциях мы изложим основы, необходимые

для понимания явления распространения света в оптических

волокнах с учетом элементов теории оптики и электродинамики,

представленных в лекциях 1-7.

Оптическое волокно представляет собой внутреннюю ди-

электрическую среду (кварц, стекло и др.), в которой содержит-

ся основная часть световой энергии, передаваемой по волокну, и

которая называется

сердцевиной. Сердцевина может быть ок-

ружена слоем с более низким показателем преломления, кото-

рый называется оболочкой. Для защиты от внешних воздейст-

вий и для повышения механической прочности сердцевина с

оболочкой может быть покрыта дополнительным слоем пласт-

массы.

Оболочка

Сердцевина

Рис. 8.1. Оптическое волокно

Существуют различные типы волокон. Оптические волокна

без оболочки представляют собой просто стеклянную или квар-

цевую нить. Они хрупки и неэффективны. У них большие поте-

ри, поскольку на границе двух сред электрическое поле не равно

нулю, а граница весьма несовершенна. Притом, чтобы такое во-

локно было одномодовым, его диаметр должен быть менее 1

мкм (см. (7.21)). Такие волокна в настоящее время практически

не применяются.

Оптические волокна с оболочкой. Сердцевина в таких оп-

тических волокнах покрыта оболочкой с более низким показате-

лем преломления. потери в волокнах с оболочкой существенно

меньше потерь в волокнах без оболочки. Как мы увидим в даль-

нейшем, распространение света в таких волокнах зависит от

приведенной частоты V. И самое существенное: технологически

возможно изготовление таких волокон, в которых будет распро-

страняться только одна мода распространения. В дальнейшем

мы будем рассматривать в основном только волокна с оболоч-

кой.

По профилю показателя преломления волокна можно выде-

лить два наиболее часто встречающихся типа:

ступенчатые и

градиентные.

Рис. 8.2. Ступенча-

тое волокно. Пока-

затель преломления

в сердцевине оста-

ется постоянным.

ступенчатом волокне показатель преломления в сердце-

вине остается постоянным (см. рис. 8.2):

⎩

⎨

⎧

≥=

.arесли,nn

,arесли,nn

(8.1)

градиентном волокне показатель преломления сердцеви-

ны меняется в зависимости от r - расстояния от оси волокна (см.

рис. 8.3):

(8.2)

⎩

⎨

⎧

≥=

.arесли,nn

,arесли,)r(nn

Как мы увидим позже, в градиентном волокне, в котором пока-

затель преломления меняется по параболическому закону, опти-

ческие пути различных лучей будут практически одинаковыми,

что существенно уменьшает дисперсию волокна. Градиентное

волокно по сравнению со ступенчатым имеет лучшие техниче-

ские характеристики по дисперсии и поэтому имеет большую

пропускную способность.

Рис. 8.3. Градиентное

волокно. Показатель

преломления сердце-

вины плавно умень-

шается при увеличе-

нии r.

Рис. 8.4. Волокно с

W-образным профи-

лем показателя пре-

ломления. Между

точками a и d имеет-

ся провал, который

облегчает выделение

доминирующей мо-

ды.

Выбранный закон изменения показателя преломления может

быть более или менее сложным. Например, на рис. 8.4 показано

волокно с W-образным профилем показателя преломления. На-

правленное распространение света возможно также и в одно-

родном материале, если ему придать определенную форму. Мы

же рассмотрим механизмы распространения света в наиболее

часто используемых ступенчатых и градиентных волокнах.

8.2. Ступенчатое волокно. Числовая апертура

Рассмотрим ступенчатое оптическое волокно (рис.8.2). пусть

а - радиус сердцевины, b - радиус оболочки. Показатель прелом-

ления ступенчатого волокна задается формулой (8.1). Если диа-

метр волокна порядка нескольких десятков микрометров, а раз-

ница показателей преломления порядка , то можно исполь-

зовать понятия геометрической оптики и говорить о распро-

странении световых лучей.

−

Рассмотрим механизм распространения света в волокне,

пренебрегая поглощением в материале, которое, вообще говоря,

необходимо учитывать. Пусть луч света в сердцевине распро-

страняется под углом θ к оси Oz, ось Oz направлена по оси во-

локна (рис. 8.7).

Продольное волновое число или постоянная распростране-

ния:

constcosn

cosk

=θ

=θ=β . (8.4)

Волна, введенная в сердцевину волокна, будет удерживаться в

ней за счет полного внутреннего отражения при выполнении

условия , где - предельный угол (см. (7.6)). При вы-

полнении условия полного внутреннего отражения волна в обо-

лочке является чисто мнимой и быстро затухает по экспоненци-

альному закону при удалении от границы раздела сердцевина -

оболочка. При увеличении угла условие полного отражения

перестает выполняться, и волна в оболочке становится действи-

тельной. В соответствии с вышесказанным можно выделить три

вида лучей:

кр

θ<θ

кр

1) направляемые лучи (лучи, распространяющиеся в волокне),

2) лучи, распространяющиеся с утечкой (с потерями),

3) преломленные лучи.

Если выполняется условие полного внутреннего отражения,

и единственной областью, где луч является действительным,

является сердцевина, луч считается

направляемым (рис.8.5).

Если луч оказывается действительным в некоторой части

оболочки, то он распространяется

с утечкой (рис. 8.6).

Если луч оказывается действительным во всем объеме обо-

лочки, то мы имеем дело с

преломленным лучом .

Рис. 8.5. Направ-

ляемый луч. Проис-

ходит полное отра-

жение от оболочки.

Рис. 8.6. Луч, рас-

пространяющийся с

утечкой. Часть луча

проникает в обо-

лочку.

Рассмотрим более подробно лучи, распространяющиеся в

волокне. Пусть луч падает из воздуха на торец волокна под уг-

лом Ω. Найдем максимальный угол , под которым можно

ввести этот луч в волокно, чтобы луч в дальнейшем распростра-

нялся в волокне. При этом луч в сердцевине будет распростра-

няться под углом , соответствующем случаю полного отра-

жения от границы раздела с оболочкой (см. рис. 8.7).

кр

Запишем

закон прелом-

Рис. 8.7. Рас-

пространение

света в сту-

пенчатом во-

локне.