Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

ЛЕКЦИЯ 5

Гауссовы пучки в различных средах

5.1. Гауссов пучок в линзоподобной среде. Лучевые

матрицы

Во многих случаях приходится иметь дело с линзоподобной

средой, показатель преломления которой изменяется по закону:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

1n)z(n

, (5.1)

где

- расстояние от оси z, ( ),

222

yxr +=

n - показатель преломления на оси Oz,

- некоторая постоянная, характеризующая среду, k - волно-

вое число.

Например, показатель преломления градиентных волокон

приблизительно описывается выражением (5.1). Если показатель

преломления n=const, то решение волнового уравнения ищем в

виде плоских волн. Если n зависит от координат, то плоские

волны не будут являться решением волнового уравнения. Одна-

ко в том случае, когда n медленно меняется с расстоянием, ре-

шение можно искать в виде, близком к плоской волне настоль-

ко, насколько это возможно (см. п. 4.1).

Воспользуемся уравнением эйконала (4.11):

)(n)(Sgrad

rr = .

Рассмотрим

параксиальные лучи, то есть лучи, составляющие

очень малые углы с осью z. Можно показать, что в случае лин-

зоподобной среды, описываемой выражением (5.1), уравнение

эйконала для лучей записывается в следующем виде:

=⋅+ , (5.2)

где r - расстояние от оси Oz.

Напряженность электрического поля в гауссовом пучке для

среды с цилиндрической симметрией выражается через некото-

рый комплексный параметр q(z) (см. (4.16)).Для него верно:

n)z(

)z(R

)z(q

ωπ

−=

. (5.3)

Поведение светового луча можно описать при помощи вектора-

столбца , где r - по-прежнему расстояние от оси Oz,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

r =

′

. Можно доказать, что эволюция параметра пучка q(z) и

параметра луча

′

происходит одинаково. Таким образом, най-

дя закон изменения

′

, мы найдём закон изменения q(z), а с по-

мощью q(z) мы с помощью выражения (4.16) полностью опи-

шем гауссов пучок.

Рассмотрим две произвольные плоскости 1 и 2, перпендику-

лярные направлению распространения пучка, то есть перпенди-

кулярные оси Oz. С учетом уравнения (5.2) можно записать

связь между параметрами луча, относящимися к 1 и 2 плоско-

сти, следующим образом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

. (5.4)

Выражение (5.4) можно записать в следующем виде:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

. (5.5)

Коэффициенты А, B, C, D образуют

лучевую матрицу.

Аналогично (5.5) происходит эволюция параметра q(z):

D)z(qC

B)z(qA

)z(q

. (5.6)

Рассмотрим распространение гауссова пучка через две лин-

зоподобные среды, примыкающие друг к другу. Пусть первая

среда описывается лучевой матрицей , вторая матри-

цей (см. рис. 5.1)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Среда 1

Среда 2

Вход Выход

Рис. 5.1. Прохождение гауссова пучка через две среды.

Запишем преобразование параметра q. Параметр q

на выходе из

первой среды связан с параметром q

на входе посредством лу-

чевой матрицы 1:

111

DqC

BqA

Аналогично параметр q

на выходе из второй среды связан с па-

раметром q

посредством лучевой матрицы 2:

222

DqC

BqA

Параметры q

на выходе и параметр q

на входе связаны через

результирующую лучевую матрицу :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

DqC

BqA

Таким образом, результирующая матрица находится как произ-

ведение матриц, описывающих среду 2 и среду 1:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (5.7)

Приведем лучевые матрицы для некоторых простейших элемен-

тов и сред.

1. Однородная среда длиной d:

Вход

Выход

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Тонкая линза с фокусным расстоянием f:

Вход Выход

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− 1

3. Граница раздела диэлектриков с показателями преломления n

и n

Вход

Выход

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

4. Сферическая граница раздела диэлектриков радиуса R:

Вход

Выход

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5. Сферическое зеркало с радиусом кривизны R

5. Среда с квадратичным профилем показателя преломле-

ния

1(nn

−= :

Вход

Выход

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− 1

Вход

Выход

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− d

cosd

cos

sin

cos

5.2. Фокусировка гауссова пучка линзоподобной

средой

Согласно классическим законам оптики, теоретически идее-

альная линза - это оптическая система, преобразующая одну

сферическую волну в другую сферическую волну (или в част-

ном случае, плоскую волну в сферическую). Следовательно,

идеальная линза представляет собой устройство "квадратичной

задержки", такое, что в каждой точке плоскости z=0 формируе-

мая комплексная амплитуда приобретает множитель

)

iexp(

⋅

± , где f-фокусное расстояние линзы. Таким обра-

зом, линза вносит фазовый сдвиг, точно соответствующий квад-

ратичному закону, то есть работает как среда с квадратичным

показателем преломления.

Рассмотрим гауссов пучок. Будем считать, что при выпол-

нении условия

πω

он остается практически парал-

лельным. Будем считать, что далее он расходится. Если мы хо-

тим скорректировать эту расходимость, то достаточно помес-

тить на достаточно большом расстоянии линзу с фокус-

ным расстоянием z(на достаточно большом расстоянии

от перетяжки гауссов пучок является практически сферической

волной, а линза преобразует сферическую волну, выходящую из

ее фокуса, в плоскую). Таким образом, на выходе из линзы пу-

чок станет параллельным, а поскольку ширина пучка стала

больше, он дольше останется параллельным.

zz >>

Rf ≈=

парал.

лучи

Опять

расх.

перетяжка

Практическая сфе-

рическая

Чтобы не был нужен целый каскад линз, было предложено ком-

пенсировать естественную ширину пучка непрерывно. С этой

целью используют среду с показателем преломления, меняю-

щимся по квадратичному закону:

1(nn

−=

, (5.8)

или

1(nn

−=

. (5.9)

Направим на такую среду гауссов пучок. В вакууме лучи в пуч-

ке сначала идут почти параллельно. Будем считать, что на гра-

нице зоны, где пучок является параллельным,

= . (напоми-

наем, что z- расстояние от перетяжки,

-радиус пучка в пере-

тяжке). Радиус кривизны волновой поверхности в гауссовом

пучке:

)

1(zR

≈≈+=

. (5.10)

Среда с квадратичным показателем преломления (5.9) толщины

dz действует как линза, создающая следующий радиус кривиз-

ны:

⋅−=

. (5.11)

При выполнении условия

RR = (5.12)

естественная расходимость гауссова пучка будет полностью

скомпенсирована благодаря свойству квадратичной среды осу-

ществлять самофокусировку. На выходе получается пучок с га-

уссовым распределением амплитуды по сечению, но с плоским

волновым фронтом.

Условие (5.12) выполняется при

z =

, если принять

. Это означает, что должно выполняться следующее соот-

ношение между параметрами

и λ, характеризующими гаус-

сов пучок, и параметрами квадратичной среды n

и n

=ω

. (5.13)

5.3. Моды гауссова пучка

До сих пор мы рассматривали гауссов пучок с цилиндриче-

ской симметрией в линзоподобной среде и исследовали поведе-

ние комплексного параметра q. Рассмотрим среду квадратичным

с показателем преломления (5.8). При этом волновое уравнение

(4.15) приобретет вид

0)r

1(k

=−+∇ EE

, (5.14)

где

= . Ищем решение уравнения (5.14) в виде произведе-

ния:

e)y,x()z,y,x(E

β−

⋅ψ= . (5.15)

Подставляя (5.15) в (5.14) и разделяя переменные [5], получим

уравнение, совпадающее с уравнением Шредингера, возникаю-

щим при рассмотрении колебаний гармонического осциллято-

ра. Его решение имеет вид:

(

,ziexp

exp

2HE

z)y,(x,E

0 ml,ml

ml,

β−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)

(5.16)

где r - расстояние от оси Oz,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

- поли-

номы Эрмита, индексы принимают целые значения:

ml и

....3,2,1,..3,2,1 ==

Таким образом, имеется бесконечное множество решений

волнового уравнения, зависящих от номеров .

Каждое та-

кое решение называется

модой (модой распространения).

ml и

ml,

называется постоянной распространения. Постоянная

распространения играет роль волнового числа, если рассматри-

вать распространение сигнала вдоль оси Oz. Постоянная рас-

пространения принимает ряд дискретных значений, зависящих

от номеров моды :

ml и

2/1

)]1(

1[k ++−=β ml

ml,

. (5.17)

Особенности модовых решений:

В однородной среде распространение вдоль оси Oz описы-

вается множителем , где k - волновое число - может

принимать любые значения. В среде с квадратичным показа-

телем преломления могут распространяться моды только с

определенными значениями постоянной распространения

(см. 5.17).

β−

ml,

В однородной среде радиус пучка

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ω=ω

1)z(

зави-

сит от координаты z. В среде с квадратичным показателем

преломления радиус пучка

4/1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=ω

(см. формулу.

(5.13)) не зависит от z. Это объясняется фокусирующим дей-

ствием среды, которое противодействует уширению пучка.

Постоянная распространения

ml,

зависит от модовых ин-

дексов , следовательно, разные моды имеют различ-

ные фазовые и групповые скорости, зависящие от :

ml и

ml,

фаз

v , (5.18)

ml,

гр

. (5.19)

Выводы

Применение формализма лучевых матриц позволяет просто

решить задачу распространения светового луча при

распространении в различных сложных средах, лучевые

матрицы для которых известны. Применение лучевых матриц

облегчает и решение задачи на распространение гауссовых

пучков в линзоподобной среде, обладающей фокусирующими

свойствами и компенсирующей естественную расходимость

гауссова пучка. Как будет показано в следующих лекциях,

рассмотренный выше квадратичный показатель преломления

описывает профиль показателя преломления в градиентном

оптическом волокне.

Для среды с квадратичным профилем показателя

преломления рассмотрено возникновение модовых решений

(мод). Рассмотрены особенности модовых решений.

Вопросы и задачи

5.1. Какие лучи называются параксиальными?

5.2. Опишите, как можно найти элементы лучевой матрицы?

5.3. Для чего применяются лучевые матрицы?

5.4. Как найти лучевую матрицу для сложной среды, состоящей

из сред, лучевые матрицы которых известны?

5.5. Определите элементы A,B,C,D лучевой матрицы для луча,

прошедшего через однородную среду длиной d и границу

раздела диэлектриков. Показатели преломления сред

. 1n

5.6. Каким свойством обладает среда с квадратичным показате-

лем преломления, описываемым формулой (5.9) при рас-

пространении в ней гауссова пучка?

5.7. Ознакомьтесь с видом решения волнового уравнения для

среды с квадратичным показателем преломления. Ответьте

на вопрос: какое решение называется модовым решением

(или модой)?

5.8. Перечислите особенности модовых решений для среды с

квадратичным показателем преломления.