Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций
Подождите немного. Документ загружается.
Запишем разложение в интеграл Фурье для напряженности
электрического поля сигнала, распространяющегося вдоль оси
Oz:
∫∫
+∞
−ω
+∞
∞−
−ω
ωω=ωω=
0
)zkt(i)zkt(i
de)(Rede)()t,z( EEE . (2.21)
Из-за дисперсии каждая компонента разложения распространя-
ется со своей фазовой скоростью v. Пусть сигнал имеет ограни-
ченный спектр, заключенный в полосе частот (ω
0
-∆ω; ω
0
+∆ω).
Тогда
∫
ωΔ+ω
ωΔ−ω
−ω
ωω=
0
0
de)(Re)t,z(E
)zkt(i
E . (2.22)
Физический смысл (2.22): любой сигнал можно представить в
виде суммы монохроматических волн, частоты которых лежат в
диапазоне (ω
0
-∆ω; ω
0
+∆ω).
Сделаем замену переменных
κ
→
ω
:
∫
Δ+
Δ−
−ω
=
kk
kk
)zkt(i
0
0
dke)k(Re)t,z(E E . (2.23)
Будем считать, что сигнал достаточно узкополосный, то есть
имеет узкий спектр. Разложим частоту ω в ряд Тейлора в окре-
стностях k
0
и ограничимся первыми двумя членами разложения:
)kk(
dk
d
0
kk
0
0
−
ω
+ω=ω
=
. (2.24)
Рассматриваемый сигнал с узким спектром частот и слабой дис-
персией называется группой волн.
Подставим (2.24) в (2.23):
∫
Δ+
Δ−
−
−
−
ω
ω
==
=
kk
kk
zikzik
ikz
t)kk(
dk
d
i
ti
0
0
00
0
0
kk
0
dkeeeee)k(Re)t,z( EE
.dke)k(eRe
kk
kk
)kk(]zt
dk
d
[i
)zkt(i
0
0
0
0
kk
00
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∫
Δ+
Δ−
−−
ω
−ω
=
E
(2.25)
21
Обозначим:
∫
Δ+
Δ−
−−
ω
=
=
kk
kk
)kk(]zt
dk
d
[i
0
0
0
0
kk
dke)k()t,z(S E . (2.26)
Тогда
]e)t,z(S[Re)t,z(
)zkt(i
00
−ω
=E . (2.27)
При этом S(z,t) является медленно меняющейся амплитудой
сигнала (огибающей сигнала), а множитель
выпол-
няет роль высокочастотного заполнения.
)zkt(i
00
e
−ω
Рассмотрим огибающую сигнала S(z,t). Проинтегрировав (2
26) и перейдя к вещественной функции, можно записать S(z,t) в
следующем виде:
zt
dk
d
k]zt
dk
d
sin[2
~)t,z(S
0
0
kk
kk
−
ω
Δ−
ω
=
=
. (2.28)
Мы видим, что огибающая сигнала S(z,t) меняется по гармони-
ческому закону, то есть оказывается модулированной.
Зафиксируем какую-либо фазовую поверхность огибающей:
constk]zt
dk
d
[
0
kk
=Δ−
ω
=
. (2.29)
Продифференцирум по времени (2.29):
0
td
zd
kd
d
=−
ω
,
kd
d
td
zd
ω
=
.
Групповая скорость (скорость группы волн) - это скорость
распространения огибающей
td
zd
v
гр
=
. Таким образом:
kd
d
v
гр
ω
=
. (2.30)
Во всех случаях, когда дисперсия еще не приводит к существен-
ному искажению сигнала, групповая скорость есть скорость
переноса сигнала.
22
Фазовая скорость – это скорость распространения поверх-
ностей с одинаковой фазой. Фазовая скорость соответствует
скорости распространения отдельных гармоник, т.е. монохрома-
тических волн из которых состоит сигнал.
k
v
ф
ω
= . (2.31)
S(z,t)- огибающая
Волны с частотами
высокочасто тное запо лнение
(ω - ωω ω)
)
00
; +
высокочастотное заполнение
Рис. 2.1. Распространение сигнала с огибающей S(z,t) и высоко-
частотным заполнением
.
)zkt(i
00
e
−ω
Преобразуем выражение для групповой скорости:
dk
dv
v
dk
)kv(d
dk
d
v
ф
ф
ф
гр
+==
ω
= . (2.32)
Из (2.32) видно, что в зависимости от знака групповая
скорость может быть как больше, так и меньше фазовой. Однако
групповая скорость не может превышать скорость света.
dk/dv
ф
Выводы
Волновое сопротивление - это отношение амплитуд напря-
женности электрического и магнитного поля. Понятие волново-
го сопротивления используется при решении задач распростра-
нения электромагнитных волн.
23
Групповая скорость - скорость движения огибающей группы
волн, образующей в каждый момент времени локализованный в
пространстве волновой пакет. Групповая скорость определяет
скорость и направление переноса энергии волнами. Фазовая
скорость - это скорость перемещения фазы волны в определен-
ном направлении. Если среда не обладает дисперсией, группо-
вая скорость совпадает с фазовой скоростью.
Вопросы и задачи
2.1. Как записывается оператор Лапласа в декартовой сис-
теме координат? (см. Глоссарий)
2
∇
2.2. Что такое волновое сопротивление?
2.3. Чему равно волновое сопротивление вакуума?
2.4. Что такое дисперсия? (имеется в виду дисперсия материала).
2.5. Что такое группа волн?
2.6. Дайте определения фазовой и групповой скорости.
2.7. Может ли фазовая скорость превышать скорость света в
среде? А групповая скорость?
2.8. Фазовая скорость волны изменяется по закону
ω
α
−= 1vv
0
, где v
0
=const, α=const. Найти групповую
скорость волны.
ЛЕКЦИЯ 3
Отражение и прохождение света через границу раздела
двух сред
3.1. Законы отражения и преломления
В данном разделе мы будем пользоваться понятиями гео-
метрической оптики.
Для описания распространения света
геометрическая оптика оперирует понятием луча. В случае од-
нородной изотропной среды
луч есть прямая, указывающая на-
правление распространения света. С точки зрения распростра-
нения плоской однородной волны, луч является нормалью к
волновой поверхности.
24
Из геометрической оптики известны законы отражения и
преломления света (или закон Снеллиуса). С точки зрения элек-
тродинамики они являются следствиями уравнений Максвелла.
Закон отражения све-
та
.
Луч падающий, луч
отраженный и перпенди-
куляр к границе раздела
двух сред, восстановлен-
ный в точке падения, ле-
жат в одной плоскости.
Причем угол падения ϕ равен
углу отражения
ϕ
′
(рис. 3.1).
Рис. 3.1
Плоскость, в которой
лежат падающий луч, луч
отраженный и перпендику-
ляр к границе раздела двух
сред, называется плоскостью
падения.
Закон преломления
света.
Преломленный луч лежит в
плоскости падения. Причем
отношение синуса угла па-
дения ϕ (рис. 3.2) к синусу угла преломления ψ подчинено соот-
ношению:
1
2
n
n
sin
sin
=
ψ
ϕ
, (3.1)
где n
1
- показатель преломления первой, n
2
- второй сред.
Относительный показатель преломления двух сред:
1
2
21
n
n
n =
. (3.2)
25
3.2. Нормальное падение на границу раздела
Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны на
границу раздела двух сред. Начнем с частного случая, когда па-
дающая волна распространяется по нормали к границе раздела.
Направления распространения отраженной и прошедшей волн
коллинеарны. Необходимо найти решение уравнений Максвелла
для каждой среды, удовлетворяющие граничным условиям.
Пусть в первой среде распространяется так называемая
падаю-
щая волна
(она распространяется к границе раздела), отражен-
ная волна
(распространяется от границы). Во второй среде су-
ществует
прошедшая волна (она уходит от границы). Тогда
падпад
, HE
- напряженность электрического и магнитного поля в
падающей волне,
отротр
, HE - в отраженной волне,
прошпрош
, HE - в прошедшей волне.
Определим коэффициент отражения r и коэффициент прохож-
дения t по амплитуде:
пад
отр
r
Е
E
= ,
пад
прош
t
Е
E
= . (3.3)
Это отношения комплексных амплитуд вектора
Е на границе
раздела. Здесь и в дальнейшем мы будем опускать точку
вверху и нижний индекс m для указания комплексной
амплитуды.
Волновое сопротивление в 1 и 2 среде (см.(2.19)):
пад
пад
1
Z
Н
E
=
,
прош
прош
2
Z
Н
E
= ,
отр
отр
1
Z
Н
E
−= . (3.4)
В отсутствие токов и зарядов на границе раздела запишем
граничные условия для нормального падения:
21
EE
ττ
=
, , (3.5)
21
HH
ττ
=
где и - тангенциальные компоненты векторов Е и Н
(везде подразумеваются комплексные амплитуды векторов).
Следовательно:
τ
E
τ
H
26
.
,
прошотрпад
прошотрпад
ННН
ЕЕЕ
=+
=+
Найдем коэффициент отражения по амплитуде для случая нор-
мального падения:
=
−
=
−
==
пад1
пад1прош2
пад
падпрош
пад
отр
Z
ZZ
r
Н
НН
Е
ЕЕ
Е
Е
=−+=
−+
= 1
Z
Z
Z
Z
Z
Z)(Z
пад
отр
1
2
1
2
пад1
пад1отрпад2
Н
Н
Н
ННН
.1r
Z
Z
Z
Z
1
)Z/(
)Z/(
Z
Z
Z
Z
1
2
1
2
1пад
1отр
1
2
1
2
−+=−
−
+=
Е
Е
Из полученного уравнения
1r
Z
Z
Z
Z
r
1
2
1
2
−+=
выразим r:
12
12
ZZ
ZZ
r
+
−
=
. (3.6)
Аналогично можно получить выражение для коэффициента
прохождения по амплитуде:
12
2
ZZ
Z2
t
+
=
. (3.7)
Запишем (3.6) и (3.7) через показатели преломления:
21
21
nn
nn
r
+
−
=
,
21
1
nn
n2
t
+
=
. (3.8)
Мы видим, что коэффициент прохождения t всегда больше ну-
ля. Это означает, что векторы
и в каждый момент
времени имеют одинаковое направление (в непосредственной
близости от границы раздела). Колебания в прошедшей и па-
дающей волне происходят в одной фазе.
прош
Е
пад
Е
Коэффициент отражения r принимает значения меньше нуля
при . Это означает, что векторы и направле-
ны противоположно. Их колебания вблизи границы раздела
12
nn >
отр
Е
пад
Е
27
происходят в противофазе. Если же , то изменения фазы
при отражении не происходит.
21
nn >
3.3. Наклонное падение. Формулы Френеля.
Рассмотрим плоскую волну, падающую на границу раздела
двух сред под углом ϕ. Необходимо, как и в случае нормального
падения, записать формулы для коэффициента отражения и
прохождения. Эти формулы позволяют находить комплексные
амплитуды полей отраженной и прошедшей волны, когда па-
дающая волна задана. Результирующие формулы зависят от по-
ляризации падающей волны. Мы отдельно рассмотрим две орто-
гональные поляризации. В одном случае вектор
Е перпендику-
лярен плоскости падения, в другом - параллелен плоскости па-
дения. Ясно, что все другие типы поляризации можно рассмат-
ривать в виде суперпозиции решений, полученных для случаев
перпендикулярной и параллельной поляризации.
Будем использовать в качестве обозначения индексы
⊥ - для величин в случае перпендикулярной поляризации,
|| - для величин в случае параллельной поляризации.
Дадим определения используемых понятий.
Коэффициент отражения света по амплитуде для света
перпендикулярной поляризации
:
⊥
⊥
⊥
=
пад
отр
Е
E
r
. (3.9)
Коэффициент отражения света по амплитуде для света
параллельной поляризации
:
||пад
||отр
||
Е
E
r =
. (3.10)
Коэффициенты пропускания по амплитуде для света
перпендикулярной и параллельной поляризации
:
⊥
⊥
⊥
=
пад
прош
Е
E
t
,
||пад
||прош
||
Е
E
t =
. (3.11)
28
Коэффициент отражения света по интенсивности:
пад
отр
I
I
R =
. (3.12)
Коэффициент пропускания света по интенсивности:
пад
прош
I
I
T =
. (3.13)
При этом: . (3.14) 1TR =+
Относительный показатель преломления :
1
2
21
n
n
n =
. (3.15)
Формулы Френеля
позволяют рассчитать коэффициенты
отражения и пропускания:
,
)sin(
)sin(
cosncos
cosncos
cosZcosZ
cosZcosZ
r
21
21
12
12
ψ+ϕ
ψ
−
ϕ
−=
ψ+ϕ
ψ
−
ϕ
=
ψ+ϕ
ψ
−
ϕ
=
⊥
(3.16)
)sin(
sincos2
cosncos
cos2
cosZcosZ
cosZ2
t
2112
2
ψ+ϕ
ψ
⋅
ϕ
=
ψ+ϕ
ϕ
=
ψ+ϕ
ϕ
=
⊥
, (3.17)
)tg(
)tg(
coscosn
coscosn
cosZcosZ
cosZcosZ
r
21
21
21
21
||
ψ+ϕ
ψ
−
ϕ
=
ψ+ϕ
ψ
−
ϕ
=
ψ+ϕ
ψ
−
ϕ
= , (3.18)
)cos()(sin
sincos 2
coscosn
cos2
cosZcosZ
cosZ2
t
2121
2
||
ψ−ϕ⋅ψ+ϕ
ϕ⋅ϕ
=
=
ψ+ϕ
ϕ
=
ψ+ϕ
ϕ
=
. (3.19)
Ранее найденные формулы (3.6-3.8) для нормального падения
являются частным случаем формул Френеля.
Можно показать, что для волны параллельной поляризации
для любых соотношений диэлектрических проницаемостей сред
коэффициент отражения при некотором угле падения меняет
знак, проходя через нуль. Это означает, что отражение отсутст-
||
r
29
вует и происходит полное прохождение волны параллельной
поляризации во вторую среду.
Угол падения, при котором происходит полное прохож-
дение волны параллельной поляризации, называется
углом
Брюстера.
Величина угла Брюстера
бр
ϕ
находится из закона
Брюстера:
1
2
бр
n
n
tg =ϕ
. (3.20)
В случае падения неполяризованной волны под углом Брюстера
отраженная волна будет полностью поляризованной, причем
колебания в отраженной волне будут происходить в плоскости,
перпендикулярной плоскости падения.
Коэффициенты отражения и прохождения по интенсивно-
сти, найденные для случая, когда в падающей волне присутст-
вует только одна - параллельная или перпендикулярная - поля-
ризация:
2
12
12
cosZcosZ
cosZcosZ
R
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ+ϕ
ψ−ϕ
=
⊥
,
2
21
21
||
cosZcosZ
cosZcosZ
R
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ+ϕ
ψ−ϕ
=
(3.21)
2
12
21
)cosZcos(Z
coscosZZ4
T
ψ+ϕ
ψ
⋅
ϕ
=
⊥
,
2
21
21
||
)cosZcos(Z
coscosZZ4
T
ψ+ϕ
ψ
ϕ
= (3.22)
Если в падающей волне присутствуют как параллельная, так
и перпендикулярная поляризации, коэффициенты отражения и
прохождения по интенсивности нужно рассчитывать по форму-
лам (3.12) и (3.13).
Интенсивность падающего, отраженного и прошедшего све-
та:
ϕ+=
⊥
cos)EE(
Z2
nс
I
2
||пад
2
пад
0
1
пад
, (3.23)
ϕ+=
⊥
cos)EE(
Z2
nс
I
2
||отр
2
отр
0
1
отр
, (3.24)
ψ+=
⊥
cos)EE(
Z2
nс
I
2
||прош
2
прош
0
2
прош
, (3.25)
30