Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

ЛЕКЦИЯ 6

Распространение волн в направляющих структурах.

6.1. Волны в неоднородной среде.

Классификация волн

В следующих лекциях мы будем рассматривать волны, рас-

пространяющиеся в неоднородной среде, например волны, рас-

пространяющиеся вдоль идеально проводящей плоскости или

волны вдоль границы раздела двух диэлектриков. Выберем на-

правление оси Oz вдоль границы раздела и будем рассматривать

распространение неоднородных волн вдоль оси Oz. Неоднород-

ные волны в отличие от однородных волн имеют не только по-

перечные, но и продольные компоненты векторов напряженно-

стей электрического и магнитного поля

Е и Н. Мы будем разли-

чать следующие типы волн:

Н - волна. Имеет продольную магнитную компоненту

(Другое название: ТЕ - волна или поперечная электрическая

волна, то есть волна, у которой отсутствует продольная

компонента вектора Е.)

Е - волна. Имеет продольную электрическую компоненту

. (Другое название: ТМ - волна или поперечная магнит-

ная волна, то есть волна, у которой отсутствует продольная

компонента вектора Н.)

Гибридная волна. Представляет собой линейную комбина-

цию Н-волны и Е - волны. В зависимости от того, какая про-

дольная компонента преобладает, обозначается как НЕ- вол-

на или ЕН- волна.

Следует добавить, что в рамках данной классификации вол-

на, распространяющаяся в однородном пространстве и не

имеющая продольных компонент электрического и магнитного

поля, называется

поперечной волной или ТЕМ - волной.

Можно показать, что при распространении неоднородных

волн вдоль границы раздела различных сред система уравнений

Максвелла (1.12 - 1.13) разделяется на две независимые системы

из трех уравнений, каждая из которых содержит компоненты

только Н-волны или Е-волны. Поэтому мы будем рассматривать

отдельно распространение Н- и Е-волн, то есть волн перпенди-

кулярной и параллельной поляризации. Также будем использо-

вать

принцип перестановочной двойственности уравнений

Максвелла

. Он заключается в следующем: если рассматривать

уравнения Максвелла в комплексной форме (1.17) и (1.18) при

отсутствии сторонних токов, то замена

μμ

→εε ,

εε→

μμ

, , (6.1)

HE −→ EH →

сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнение

переходит во второе, а второе - в первое. В результате использо-

вания этого принципа можно находить коэффициенты отраже-

ния и прохождения для магнитных полей, зная соответствую-

щие коэффициенты для электрических полей, а также можно

находить выражения для Е-волны, зная выражения для Н-волны,

наоборот.

6.2. Плоский металлический волновод

Рассмотрим в простейшем случае двумерную систему.

Пусть волна распространяется в направлении оси Oz между

двумя бесконечными идеально проводящими плоскостями, па-

раллельными друг другу и оси Oz. Между этими плоскостями

образуется изолированный слой, в котором может распростра-

няться Н- или Е-волна. Это и есть плоский металлический вол-

новод (см. рис. 6.1). В реальности световоды имеют круглое се-

чение. Данный пример мы рассмотрим для того, чтобы уяснить

физические принципы распространения волн в световодах.

Металлический световод пред-

ставлен на рис. 6.1. Он образован

двумя проводящими плоскостями

x = и

x −= . Заполняющая его

среда - вакуум. Выше отмечено,

что Н- и Е-волны можно рассмат-

ривать раздельно. Выберем для

рассмотрения Н-волну, имеющую

компоненты

yxz

E,E,H.

-a

вакуум

Рис. 6.1.

Исследуем плоскую монохро-

матическую волну с длиной волны λ. Волновой вектор k лежит

в плоскости xOz под углом θ к оси Oz. Зависимость от коорди-

наты y отсутствует:

∂

. Вектор напряженности электриче-

ского поля будем считать параллельным оси Oy:

)sinxkcoszkt(i

eEE

θ−θ−ω

= . (6.2)

В результате отражения от верхней плоскости появляется волна

с комплексной амплитудой , где r- коэффициент отражения:

)sinxkcoszkt(i

0отрy

eErE

θ+θ−ω

= . (6.3)

Коэффициент отражения r найдем из граничного условия

axпри0E

== . (6.4)

0ere

sinkaisinkai

θθ−

θ−

−=

sinkai2

. (6.5)

Знак минус перед экспонентой показывает, что фаза отраженной

волны меняется на π. В результате интерференции прямой и от-

раженной волн образуется полное поле, определяемое выраже-

нием:

()

θ−−θ−θ−ω

−=

sin)a2x(kisinxki)coszkt(i

0полн

eeeEE . (6.6)

Должно выполняться также граничное условие

axпри0E

−== . (6.7)

0eee

sinakisinaki2sinaki

=−

θ−θ−θ

sinaik4

θ−

m2sinika4 π=θ ,

sink

=θ

, (6.8)

где m=1, 2, 3 … (тривиальный случай m=0 не удовлетворяет ус-

ловиям задачи).

Введем понятия:

θ=

sink - поперечное волновое число, (6.9)

θ=

cosk - продольное волновое число

или постоянная распространения. (6.10)

Тогда:

222

k=β+χ . (6.11)

Из (6.8) следует, что поперечное волновое число может прини-

мать только дискретные значения, при которых может распро-

страняться волна в световоде:

mπ

=χ

, m=1, 2, 3 … (6.12)

Выразим продольное волновое число β из (6.11):

222

−=χ−=β

. (6.13)

С учетом

εμ

k получим:

εμω

−=

−=β

222

ka4

или

кр

−=β , (6.14)

где

кр

- критическая частота для волны с номером m,

εμ

=ω

кр

. (6.15)

Распространение волны вдоль оси Oz описывается множителем

β−θ−

icoszik

ee .

При выполнении условия

кр

продольное волновое

число β является действительным, что соответствует распро-

страняющейся волне. При

кр

продольное волновое число β

является чисто мнимым:

1ik

кр

−

±=β . Этот случай соответ-

ствует затухающей волне.

Таким образом, в плоском металлическом световоде суще-

ствует бесконечная последовательность решений, зависящих от

номера m. Каждое такое решение называется модой распро-

странения

. При этом m - номер моды.

Рассмотрим полное поле в световоде:

(

)

()

.e)1(eeE

eeeE

eeeEE

x)a2/m(imx)a2/m(i)zt(i

)a2x(ixi)zt(i

sin)a2x(kisinxki)coszkt(i

0полн

ππ−β−ω

χ−−χ−β−ω

θ−−θ−θ−ω

−−=

=−=

(6.16)

Или:

.нечетноеmесли,)x

cos(eE2E

,четноеmесли,)x

sin(eEi2E

)zt(i

0полн

)zt(i

0полн

−

−=

β−ω

(6.17)

Таким образом, в световоде вдоль оси Oz распространяется бе-

гущая волна, а вдоль оси Ox - стоячая волна. При этом соотно-

шение (6.14) можно рассматривать как дисперсионное уравне-

ние:

−=β

. (6.18)

Найдем угол θ, под которым распространяется волна на за-

данной частоте. Из (6.8) получаем:

ωεμ

=θ

ka2

sin

, или

=θ

кр

sin . (6.19)

Так как критические частоты

кр

для мод с различными номе-

рами разные (6.15), то и углы, под которыми распространяются

различные моды на одной и той же частоте, будут разными. Из

формулы (6.19) видно, что с увеличением частоты наклон волн

уменьшается. В пределе, когда частота ω очень велика или ко-

гда длина волны мала, получается волна, распространяющаяся

под углом , то есть практически вдоль оси Oz. Так и долж-

но быть, поскольку отражающие стенки световода в данном

0≈θ

случае находятся очень далеко друг от друга, если расстояние

измерять в длинах волн, следовательно, влиянием стенок можно

пренебречь.

При частотах, равных критическим

1кр

2кр

3кр

,… ,

появляется дополнительная мода. На частотах, равным критиче-

ским, угол , то есть волна является поперечной, и рас-

пространения нет.

2/π=θ

Фазовая скорость волны в металлическом световоде:

кр

sin1k

cosk

−

θ−

.(6.20)

Критическая частота

кр

зависит от номера моды m, значит,

фазовая скорость тоже зависит от номера моды.

Групповая скорость:

кр

гр

−=

. (6.21)

Мы видим, что фазовая скорость может превышать скорость

света с, групповая же скорость всегда меньше с (см. рис. 6.2).

гр

кр1

кр2

m=1 m=2

Рис. 6.2. Зависимость

фазовой и групповой

скорости от частоты

для мод с различными

номерами.

Выводы

Приведена классификация волн, распространяющихся в не-

однородных средах. Рассмотрено распространение световых

волн в идеальном плоском металлическом световоде. Решение

задачи на распространение световых волн в рассмотренной

идеализированной модели позволяет подробно проследить воз-

никновение модовых решений, рассчитать критическую часто-

ту, вычислить фазовую и групповую скорость. Простой и на-

глядный расчет параметров волн в плоском металлическом све-

товоде поможет в дальнейшем понять особенности распростра-

нения волн в оптических волокнах.

Вопросы и задачи

6.1. В чем заключается принцип перестановочной двойственно-

сти уравнений Максвелла?

6.2. Что такое поперечное и продольное волновое число для

плоского металлического световода? Какие значения мо-

жет принимать поперечное волновое число?

6.3. Как зависит продольное волновое число (или постоянная

распространения)

от частоты? При каком условии волна

может распространяться? При каком условии волна зату-

хает?

6.4. Что такое критическая частота?

6.5. Что такое мода?

6.6. Как определяется угол, под которым распространяется вол-

на на заданной частоте? От чего зависит этот угол?

6.7. Чем отличаются друг от друга различные моды, распростра-

няющиеся в плоском металлическом световоде на задан-

ной частоте?

6.8. Найдите угол, под которым распространяется в плоском ме-

таллическом световоде мода с номером 2.

6.9. Как меняется угол, под которым распространяется волна,

при увеличении частоты?

6.10. Дайте определение фазовой и групповой скорости (см.

лекцию № 2). Чему равны эти скорости в плоском метал-

лическом световоде?

ЛЕКЦИЯ 7

Плоский диэлектрический волновод

7.1. Поведение мод при изменении частоты

Мы знаем, что в плоском металлическом световоде сущест-

вует бесконечное множество решений уравнений Максвелла,

зависящих от номера m. Каждое такое решение называется мо-

дой. Каждой моде соответствует распространяющаяся волна.

Какая же мода будет распространяться в световоде на заданной

частоте? На каждой частоте может распространяться опреде-

ленное число мод, для которых

кр

. Общее решение урав-

нений Максвелла будет линейной комбинацией этих мод с ко-

эффициентами, зависящими в основном от условий на концах

световода, где подсоединяются излучатель и приемник излуче-

ния.

При выполнении условия

2кр1кр

≤

мы имеем одну моду распространения (

одномодовый режим)

(см. рис. 6.2). При более высоких частотах одновременно рас-

пространяется сразу несколько мод. Каждая мода имеет свою

фазовую и групповую скорость, то есть является дисперсной.

При распространении различные моды взаимодействуют друг с

другом, что в конечном итоге приводит к искажению сигнала.

Поэтому теоретически выгодно работать как можно ближе к од-

номодовому режиму при сравнительно низких частотах.

7.2. Плоский диэлектрический волновод

Рассмотрим диэлектрический световод в виде диэлектриче-

ской полосы толщиной 2а с диэлектрической проницаемостью

и показателем преломления , заключенной между двумя

диэлектрическими полупространствами с с диэлектрической

проницаемостью и показателем преломления . Будем сле-

довать логике изложения, представленной в книге [2]. Пусть

ε>ε , то есть . Это необходимо для того, чтобы в

рассматриваемом световоде могло выполняться условие полно-

го отражения.

nn >

2а

Ср

еда 2

еда 1

Рис. 7.1. Одномерный диэлектрический световод.

По-прежнему, рассмотрим Н-волну, имеющую компоненты

. Это волна перпендикулярной поляризации. Волно-

вой вектор

k волны лежит в плоскости xOz под углом θ к оси

Oz. Зависимость от координаты y отсутствует:

yxz

E,E,H

∂

. По

прежнему, продольное волновое число (постоянная распро-

странения) в первой среде:

θ=

cosk

, (7.1)

поперечное волновое число в первой среде:

θ=

sink

. (7.2)

На границе со средой 2 волна преломляется, при этом тангенци-

альная компонента волнового вектора остается постоянной, а

нормальная меняется:

=θ=θ coskcosk

122

. (7.3)

Здесь - поперечное волновое число в среде 2.

cosk θ

Нам необходимо добиться случая полного внутреннего от-

ражения, так как только в этом случае волна будет оставаться

внутри световода. Для этого должно выполняться следующее

условие для угла

ϕ, который является углом падения на границу

раздела среды 1 и 2 (см. рис. 7.1):

кр

, (7.4)

где

кр

- угол полного отражения. Он находится из условия ра-

венства

угла преломления ψ:

sin

, ,

190sinsin

==ψ

кр

sin

=ϕ

. (7.5)

Полное отражение может наблюдаться только при . Если

рассмотреть связь углов: , можно записать эквива-

лентное (7.4) условие, при котором наблюдается полное отра-

жение:

nn >

θ−=ϕ

кр

θ<θ , где . (7.6)

12кр

n/ncos =θ

Что же происходит при углах падения, больших

кр

? При

таких углах падения

1sin

sin

>ϕ=ψ

. Тогда

cos становится

мнимым:

1sin

isin

1sin1cos

−ϕ±=ϕ−=ψ−=ψ . (7.7)

Выберем знак "–" перед

cos , что соответствует отражению от

плоскости

x = , знак "+" соответствовал бы отражению от

плоскости . Итак:

ax −=

1cos

i1sin

icos

−θ−=−ϕ−=ψ .

Выразим - поперечное волновое число во второй среде:

sink θ