Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

ления для границы раздела воздух-сердцевина волокна (точка

А):

кр

sin

. (8.5)

Здесь показатель преломления воздуха. Будем считать

. Угол находим по формуле (7.6):

кр

12кр

n/ncos =θ .

Найдем из (8.5):

sin Ω

1кр

1кр1m

1ncos1nsinnsin −=−=θ−=θ=Ω

Величину называют

числовой апертурой волокна. Чи-

словая апертура имеет обозначение NA. Таким образом, число-

вая апертура равна

sin Ω

nnsinNA −=Ω= . (8.6)

Числовая апертура волокна определяет максимальный угол

ввода в волокно луча, который будет испытывать полное

отражение и распространяться в волокне

Если условие (7.6) полного отражения не выполняется, то

будут распространяться лучи с утечкой или преломленные лучи.

Более подробную информацию об этих лучах можно найти в

книге [2].

8.3. Градиентное волокно. Числовая апертура

Рассмотрим градиентное оптическое волокно (см. рис. 8.3).

Его показатель преломления, в отличие от ступенчатого волок-

на, меняется при изменении r (см. 8.2):

⎩

⎨

⎧

≥=

.arесли,nn

,arесли,)r(nn

Аналогично ступенчатому волокну, можно найти максимальный

угол вода излучения в волокно, только он будет зависеть от рас-

стояния r: . Величину )назовем локаль-

ной числовой апертурой волокна

)r(

Ω=Ω r(sin

n)r(n)r(sin)r(NA −=Ω= . (8.7)

Любой луч, падающий на торец волокна на расстоянии r от оси

и попадающий внутрь апертурного конуса с углом при вершине

, испытывает после ввода полное отражение и рас-

пространяется в волокне. Локальная числовая апертура

максимальна на оси волокна и падает до нуля на границе

сердцевина и оболочки.

)r(

Числовой апертурой градиентного волокна будем назы-

вать максимальной значение локальной числовой аперту-

ры

Для градиентного волокна с квадратичным профилем пока-

зателя преломления (формула (5.8)) определяется эффективная

числовая апертура, которая равна:

n)0(n

eff

−

. (8.8)

8.4. Мощность, вводимая в волокно

Покажем, что только часть света, излучаемая малоразмер-

ным диффузным источником, помещенным на оптической оси

волокна вблизи его торца, может быть введена в волокно.

Рассмотрим малоразмерный диффузный источник света, яркость

которого одинакова во всех направлениях, изображенный на

рисунке 8.8. Пусть - мощность, излучаемая в единицу телес-

ного угла по нормали к источнику, - мощность,

излучаемая под углом θ. Тогда мощность, излучаемая в малый

телесный угол , равна

θ=θ cosI)(I

Ωδ

δθθπθ=δθθ sin2cosIcosI

Рис. 8.8. Диффузный ис-

точник света.

Полная мощность, излучаемая таким источником, находится

интегрированием этого выражения по всем направлениям:

()()()

sin

)(sindsinI2dsin2cosIФ

π=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π=

=θθπ=θθπθ=

=θ

ππ

∫∫

(8.9)

Мощность, введенная в волокно, диаметр сердцевины кото-

рого больше диаметра источника, определяется следующим ин-

тегралом:

()()()

()

.NAФsinI

sin

I2dsin2cosIФ

=Ωπ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π=θθπθ=

=θ

∫

(8.10)

()

NAsin

=Ω=

Мы видим, что мощность, вводимая в волокно, зависит от

числовой апертуры волокна NA

. Преобразуем выражение для

числовой апертуры:

,2n

)nn(n2

n)nn)(nn(

nnNA

12121

Δ=

−

≈

+−

=−=

(8.11)

nn −

=Δ

где

относительная разность показателей пре-

ломления.

Отсюда ясно, что для того чтобы ввести в волокно как можно

больше света, необходимо обеспечить большие значения вели-

чин и . Очевидно, что лучшее, что может быть сделано –

это использовать для изготовления волокна стекло с большим

показателем преломления и не покрывать его оболочкой. Одна-

ко при этом наряду с увеличением мощности, вводимой в во-

локно, возникают две проблемы:

Часть волны даже при полном внутреннем отражении

проникает наружу сквозь отражающую поверхность. А

неизбежное наличие неровностей и неоднородностей на

ней преобразует затухающую в воздухе волну в распро-

страняющуюся, что приводит к большим потерям.

При увеличении увеличивается межмодовая диспер-

сия, что приводит к искажению сигнала.

8.5. Траектория световых лучей

а) Ступенчатое волокно.

Показатель преломления сердцевины ступенчатого волокна

есть постоянная величина. Угол θ, под которым луч распро-

страняется в волокне, является постоянным. Луч распространя-

ется, испытывая полное отражение на границе раздела сердце-

вина-оболочка. Между двумя последовательными полными от-

ражениями траектория луча прямолинейная.

Рис. 8.9. Траектория лучей в ступенчатом многомодовом волок-

не.

Траектория состоит из равных отрезков, получаемых один из

другого путем смещения вдоль оси Oz на определенное рас-

стояние и поворота на угол ψ вокруг оси Oz. В поперечной про-

екции они касаются одной и той же окружности радиусом R.

б) Градиентное волокно.

Из-за того, что показатель преломления сердцевины меняет-

ся, траектория лучей в градиентном волокне носит сложный ха-

рактер и зависит от конкретного вида зависимости ). В част-

ном случае волокна с квадратичным показателем преломления

r(n

1(nn

−=

траектория луча в поперечной проекции

представляет собой замкнутую кривую (эллипс). В продольном

разрезе траектории являются плавными линиями (рис. 8.10).

Особенностью такого градиентного волокна является то, что

оптические длины путей для всех лучей одинаковы, что соот-

ветствует отсутствию межмодовой дисперсии.

Рис. 8.10. Траектория лучей в градиентном волокне

Выводы

Рассмотрены типы оптических волокон. На основе закона

преломления ведено понятие числовой апертуры. Показано, что

мощность, вводимая в волокно, зависит от величины числовой

апертуры. Для случаев, допускающих лучевую трактовку, рас-

смотрен ход лучей в оптических волокнах.

Вопросы и задачи

8.1. Что такое сердцевина оптического волокна? Оболочка? Ка-

кие преимущества дает покрытие волокон оболочкой?

8.2. Какие волокна называются ступенчатыми? Градиентными?

8.3. Какой показатель преломления больше: сердцевины или

оболочки? Почему?

8.4. Что такое числовая апертура для ступенчатого волокна?

Выведите формулу для ее расчета.

8.5. Как определяется числовая апертура для градиентного во-

локна? Что такое локальная числовая апертура?

8.6. От чего зависит мощность излучения, вводимая в волокно?

Как можно увеличить эту мощность? Почему такое увели-

чение мощности нецелесообразно?

8.7. Опишите вид траектории при распространении лучей в сту-

пенчатом волокне и в градиентном волокне (для случая,

когда применима лучевая трактовка).

8.8. К чему приводит увеличение разности показателей прелом-

ления ? Почему изготавливают волокна с очень

малыми значениями разности показателей преломления

? (Указание: более подробное рассмотрение во-

проса будет дано в лекции № 10 при изучении межмодо-

вой дисперсии).

nn −

8.9. Вычислите значения числовой апертуры NA и максималь-

ного угла ввода излучения в волокно для ступенчато-

го волокна с параметрами а) , ; б)

, .

483,1n

= 479,1n

483,1n

= 460,1n

ЛЕКЦИЯ 9

Решения уравнений Максвелла для оптического во-

локна. Число мод в оптическом волокне.

9.1. Моды распространения в оптическом волокне.

Формулы для полей

В случае световых лучей, распространяющихся в идеальном

волокне, потери отсутствуют. Мы установили условия ввода,

нашли постоянную распространения, рассмотрели траекторию

лучей в ступенчатом и градиентном волокне. Однако необходи-

мо помнить, что в реальном волокне наряду с волной, распро-

страняющейся в сердцевине, существует волна, распростра-

няющаяся в оболочке, причем это волна той же фазы. Если ме-

няются условия распространения в оболочке, то меняется рас-

пространение света и в сердцевине. Например, если у двух сред

разный коэффициент поглощения (а на практике так обычно и

бывает), то в одной из них волна будет затухать быстрее, и рас-

пространение будет нарушено! Даже при одинаковом поглоще-

нии чисто геометрическая оптика не позволяет оценивать поте-

ри, обусловленные лучами утечки, для этого необходимо знать

выражение для полей в сердцевине и в оболочке. Таким обра-

зом, в некоторых случаях нужно рассчитывать электромагнит-

ное поле в волокне.

Запишем волновое уравнение в комплексной форме для изо-

тропной среды, в которой отсутствуют токи и заряды:

.0k

=+∇

EkE

(9.1)

По-прежнему, мы рассматриваем распространение волны в во

будут присутствовать продольные компоненты полей

то есть в волокне будут распространяться гибридные волны.

Используем цилиндрическую систему координат. Из уравнений

(9.1) получится шесть скалярных уравнений. Будем искать ре-

шение этой системы уравнений в виде гармонических функций

переменной z. Зависимость от времени по-прежнему останется

экспоненциальной:

. Итак, решение волнового уравнения

ищем в виде произведения:

21z

e)()r(E

β−

⋅ϕψ⋅ψ= , (9.2)

где - постоянная распространения (продольное волновое чис-

ло), r,

ϕ и z - цилиндрические координаты. В аналогичной форме

ищем решение и для Н.

Решение уравнений (9.1) является достаточно слож-

ным. Поэтому мы приведем результат решения без выво-

да. Более подробное описание можно найти в [1] и [2]. Чи-

татель, не желающий вникать в подробности вывода, мо-

жет сразу перейти к разделу "Решение волнового уравне-

ния для ступенчатого волокна".

Итак, подставляя (9.2) в (9.1) и разделяя переменные,

получаем отдельные уравнения для радиальной состав-

ляющей )

и для азимутальной составляющей )(

nk(

222

=ψ

−β−+

, (9.3)

Решение для азимутальной составляющей имеет вид

ϕν

=ϕψ

e)( . (9.4)

Здесь

ν - некоторая константа, которая определяется на-

чальными условиями падения луча на оптоволокно:

sinrsink

, (9.5)

где -угол, под которым свет падает на торец оптоволок-

на, - расстояние от оси волокна до точки падения луча

на торец,

- угол между радиус-вектором, проведенным

от центра волокна к точке падения луча на торец, и следом

плоскости падения.

Решения ищем для компонент полей и , а ос-

тальные компоненты выражаем через них, используя со-

отношения

)

(

ϕ∂

∂

ω+

∂

−= ,

)

(

∂

μω−

ϕ∂

∂

−=

)

(

ϕ∂

∂

ω−

∂

−= , (9.5)

)

(

∂

ε+

ϕ∂

∂

−=

Решения волновых уравнений должны удовлетворять гра-

ничным условиям. Накладываемое волокном граничное

условие следует из закона изменения показателя прелом-

ления ). Решения также подчиняются требованиям,

чтобы поля были конечными на оси волокна и обращались

в нуль на бесконечности. Эти условия обусловливают ре-

шения в собственных значениях для )

r(n

,r(

, каждое из ко-

торых имеет конкретное значение постоянной распро-

странения

. Это приводит к дискретным картинам рас-

пространяющихся в волокне электромагнитных волн или

мод.

Решение волнового уравнения для ступенчатого волокна

Рассмотрим ступенчатое волокно. Показатель преломления

меняется по следующему закону

⎩

⎨

⎧

≥=

.arесли,nn

,arесли,nn

Решения уравнений (9.1) для сердцевины записываются через

хорошо известные функции Бесселя:

ϕν

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

uJAE,

ϕν

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

uJBH

, (9.6)

222

a)nk(u β−= .

Здесь

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

- функция Бесселя первого рода, c/k

а - радиус сердцевины.

Решения для оболочки:

≥

ϕν

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

wKCE,

ϕν

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

wKDH , (9.7)

a)nk(w −β=

Здесь

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

- модифицированная функция Ганкеля.

Постоянные А, В, С, D находятся из граничных условий. Гра-

ничные условия, накладываемые на компоненты , ,

на границе раздела сердцевина-оболочка, приводят к тому,

что для каждого значения параметра существует только опре-

деленный дискретный набор значений u и w. Обозначим их

и . k и m являются целыми числами. Соответственно по-

стоянная распространения

также принимает только дискрет-

ные значения. Таким образом, решения (9.6) и (9.7) для ступен-

чатого волокна представляют собой моды, зависящие от номе-

ров k и m.

-0,5

0,5

0 2 4 6 8 10 12 14

J(v)

Рис. 9.1. График функций Бесселя низких порядков.