Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

Распределение амплитуды полей в сердцевине в зависимо-

сти от r описывает цилиндрическая функция Бесселя. Подроб-

ные характеристики функции Бесселя можно найти в справоч-

нике по специальным функциям. Графики функций Бесселя

приведены на рисунке 9.1. Функция Бесселя является осцилли-

рующей функцией. Модифицированная функция Ганкеля, опи-

сывающая поведение полей в оболочке, является монотонно

убывающей, что говорит о затухании волны при удалении от

границы раздела с сердцевиной.

Если наблюдать за поведением полей в оболочке, можно

убедиться, что проникновение волны в оболочку. Тем больше,

чем меньше параметр w. В пределе при

распростране-

ние света в волокне не происходит. При 0

0w →

решение в обо-

лочке имеет вид плоской волны.

Рассмотрим предельную форму решения (9.6) на граничной

частоте при . Получаются разные типы решений, среди

которых присутствуют поперечные волны, у которых равна ну-

лю компонента или , а также гибридные волны и

, у который ни , ни не являются нулевыми. Данные

типы мод можно классифицировать следующим образом со-

гласно критической частоте:

0w →

E EH

Обозначение моды

Критическая частота

НЕ

ТЕ

или ТМ

m-й корень уравнения

0)u(J

m-й корень уравнения

0)u(J

НЕ

или

m-й корень уравнения

)1(

≠

)u(J

)u(J1

ν−ν

−ν

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Таким образом, существует мода , граничная частота

которой равна нулю. Следовательно, в волокне возможно рас-

пространение только одной этой моды – одномодовый режим.

Одна мода будет распространяться при выполнении условия

405,2V

(9.8)

Здесь

V- нормированная частота

⋅

NAd

V , (9.9)

nnNA −=

- числовая апертура,

d=2a - диаметр сердцевины.

9.2. Количество мод в многомодовом волокне

Как было показано в предыдущем разделе, число мод, рас-

пространяющихся в волокне, определяется параметром V или

нормированной частотой. В таблице 9.1 приведены значения V

и соответствующее им количество мод в волокне. Значения па-

раметра V определяются корнями функций Бесселя.

Нормированная Число мод

частота V

0 - 2,405 1

2,405 - 3,832 4

3,832 - 5,136 7

5,136 - 5,52 9

5,52 - 6,38 12

6,38 - 7,02 14

Таблица 9.1. Количество мод в волокне при малых значениях

нормированной частоты V.

При больших значениях V количество мод для ступенчатого

волокна можно приближенно оценить по формуле:

. (9.10)

Количество мод для градиентного волокна с параболическим

профилем показателя преломления для больших V:

. (9.11)

Значение N, вычисленное по формулам (9.10) и (9.11) может

быть как целым, так и дробным. В действительности число мод

может быть только целым. В реальном волокне может распро-

страняться от одной до нескольких тысяч мод.

9.3. Параметры оптических волокон

Оптические волокна производятся различными способами,

имеют различные характеристики и выполняют разные задачи.

Следуя [3], кратко охарактеризуем типы и параметры оптиче-

ских волокон. Более полную характеристику и список литерату-

ры можно найти в книге Убайдуллаева Р.Р. [3].

Все оптические волокна можно разделить на две основные

группы: многомодовые MMF (multi mode fiber) и одномодовые

SMF (single mode fiber).

Многомодовые волокна подразделяются на ступенчатые

(step index multi mode fiber) и градиентные (graded index multi

mode fiber).

Одномодовые волокна подразделяются на ступенчатые од-

номодовые волокна (step index single mode fiber) или стандарт-

ные волокна SF (standard fiber), на волокна со смещенной дис-

персией DSF (dispersion-shifted single mode fiber), и на волокна с

ненулевой смещенной дисперсией NZDSF (non-zero dispersion-

shifted single mode fiber). Размеры производимых оптических

волокон приведены на рисунке 9.2.

Если сравнивать многомодовые волокна между собой, то

градиентное волокно имеет лучшие технические характеристи-

ки, чем ступенчатое, по дисперсии. Это связано с тем, что меж-

модовая дисперсия в градиентном волокне значительно меньше,

чем в ступенчатом, что приводит к большей пропускной спо-

собности у градиентного волокна

Рис. 9.2. Типы оптических волокон

Оптическое волокно

Название

и диаметр

NA 1550

нм

1310

нм

850

нм

step MMF

200/240

- - 0,39 V=158,09 187,06 288,29

step MMF - - 0,29 58,77 69,54 107,18

100/140

grad MMF 2,1 1,47 0,28 35,46 41,96 64,67

62,5/125

grad MMF 1,25 1,46 0,20 20,26 23,98 36,95

50/125

SF 0,36 1,468 0,13 2,187 2,588 3,99

8,3/125

Таблица 9.2. Основные параметры оптических волокон и значе-

ния нормированной частоты V (значения, приведенные в [3] для

волокон производства фирмы Corning).

. Одномодовое волокно имеет значительно меньший диа-

метр сердцевины по сравнению с многомодовым и, как следст-

вие, из-за отсутствия межмодовой дисперсии, более высокую

пропускную способность. Большинство устройств волоконной

оптики используют область инфракрасного спектра в основном

на трех длинах волн: 850, 1310 и 1550 нм.

В таблице 9.2 приведены основные параметры некоторых

оптических волокон. Как видно из этой таблицы, в одномодовом

волокне SF при длине волны 1550 нм выполняется критерий

(9.4), и поэтому распространяется только одна мода. При длине

волны 1310 нм этот критерий не выполнен, что означает распро-

странение нескольких мод на этой длине волны. Однако на

практике волокно помещается в кабель, который при проклады-

вании приобретает множество изгибов. Искривление волокна

приводит к быстрому затуханию неосновных мод, поэтому на

длине волны 1310 нм рассматриваемое волокно SF проявляет

себя как одномодовое. Однако для длины волны 850 нм крите-

рий нарушается для всех типов волокон.

Выводы

Рассмотрено строгое решение уравнений Максвелла в опти-

ческом волокне, выражающееся через специальные функции.

Показано, что число мод в волокне определяется корнями функ-

ций Бесселя и рассчитывается через нормированную частоту V.

Рассмотрены условия одномодового режима при распростране-

нии волны в оптическом волокне.

Вопросы и задачи

9.1. Влияют ли параметры затухающей волны, существующей в

оболочке, на волну в сердцевине волокна?

9.2. Ознакомьтесь с решениями (9.6) и (9.7) волнового уравне-

ния для ступенчатого волокна. Почему их называют мода-

ми? Что такое мода? (см. лекцию № 6 и 5).

9.3. Опишите вид волны в сердцевине, определяемой функцией

Бесселя? Как можно охарактеризовать волну в оболочке?

9.4. При каком условии в оптическом волокне будет распро-

страняться только одна мода?

9.5. Что такое нормированная частота?

9.6. Как можно рассчитать количество мод, распространяющих-

ся в ступенчатом и градиентном волокне при больших

значениях нормированной частоты V?

9.7. Определите число мод, которое будет распространяться в

градиентном волокне с диаметром сердцевины 50 мкм и

диаметром оболочки 125 мкм на длине волны 1310 нм.

Показатель преломления сердцевины 1,490, показатель

преломления оболочки 1,485.

9.8. Имеется ступенчатое волокно с показателем преломления

сердцевины 1,46;

%27,0

. Найти диаметр сердцевины

волокна, в котором будет распространяться только одна

мода на длине волны 1550 нм.

ЛЕКЦИЯ 10

Влияние межмодовой и материальной

дисперсии на распространение сигнала

10.1. Межмодовая дисперсия в ступенчатом волокне

Любой световой импульс, введенный в волокно, состоит из ряда

лучей, которые распространяются и вдоль оси волокна и по тра-

екториям, очень наклоненным к ней. Рассмотрим, следуя [1],

два крайних луча (рис.

10.1.). Луч 1 - осевой. Луч 2

- распространяющийся под

углом

кр

, соответствую-

щим полному отражению от

границы раздела с оболоч-

кой. Пусть осевой луч №1

пройдет путь L вдоль во-

локна. На это он затратит

время

Рис. 10.1.

== . (10.1)

Здесь v - скорость света в сердцевине. Чтобы сместиться вдоль

оси волокна на то же расстояние, наиболее наклонный луч №2

должен пройти путь

кр

cos/L

. На это он затратит время

ccos

vcos

кр

= . (10.2)

Таким образом, лучи, введенные в волокно одновременно,

пройдя расстояние L, на выход придут с запаздыванием

211

(

ttt

−

=−=−=Δ

. (10.3)

В результате световой импульс, содержащий лучи под всеми

возможными углами, окажется размытым во времени на вели-

чину, определяемую выражением

211

)nn(

−

. (10.4)

Такое уширение светового импульса при его распростране-

нии, возникающее из-за того, что лучи в волокне распро-

страняются под разными углами и проходят при этом раз-

ные расстояния, называется

межмодовой дисперсией.

Дисперсия

имеет размерность времени. Обычно диспер-

сия нормируется в расчете на 1 км, тогда под названием "дис-

персия" понимается величина

mod

=τ

, измеряемая в

км

нс

Таким образом, межмодовая дисперсия для ступенчатого волок-

на рассчитывается по формуле

211

mod

)nn(

−

=τ

. (10.5)

Для стеклянного волокна без оболочки (показатель прелом-

ления ):

5,1n

км

мкс

5,2

нс

5,2

)15,1(

c/м103

5,1

)nn(

211

mod

−

⋅

−

=τ

Покрытие сердцевины волокна стеклянной оболочкой с показа-

телем преломления , лишь намного меньшим , приводит к

возникновению трех эффектов:

1) существенному уменьшению потерь в том случае, если по-

крытие имеет высокое качество и необходимую толщину;

2) уменьшению межмодовой дисперсии;

3) уменьшению вводимой в волокно мощности света (см. (8.10-

8.11)).

Пример. Рассмотрим ступенчатое волокно. Пусть 5,1n

01,0nnn

−=Δ . Числовая апертура такого волок-

на:

173,0sin

. Тогда доля мощности, вводимая в во-

локно от диффузного источника света равна

03,0

(или 3%).

Межмодовая дисперсия при этом равна

км/нс34

mod

Мы рассмотрели только такие лучи, которые проходят через

ось волокна (так называемые меридиональные лучи). Обычно в

волокне существуют также лучи, не проходящие через ось (ко-

сые лучи). Некоторые из косых лучей могут сохраняться в серд-

цевине волокна. Однако на практике такие лучи быстро рассеи-

ваются на изгибах и неоднородностях и покидают сердцевину,

не внося большого вклада во временную дисперсию.

10.2. Межмодовая дисперсия в градиентном волокне

Строгое рассмотрение распространения света в градиентном

волокне приводит к значительным математическим трудностям.

Поэтому просто отметим, что применение градиентного волокна

с показателем преломления

arпри,]

1[n)r(n

<Δ

′

−= ,

где - показатель преломления на оси,

−

=Δ

′

, может

устранить межмодовую дисперсию для меридиональных лучей.

При этом лучи, идущие в волокне по разным траекториям и

проходящие при этом разный путь (см. рис. 8.10), затрачивают

на это одинаковое время, что и говорит об отсутствии межмодо-

вой дисперсии. Временную дисперсию для косых лучей устра-

нить невозможно. Необходимо помнить также о том, что в лю-

бом случае дисперсия волокна не будет равной нулю из-за нали-

чия материальной дисперсии.

10.3. Материальная дисперсия

Материальная дисперсия

- это зависимость показателя

преломления среды от длины волны (или частоты).

В ре-

зультате наличия материальной дисперсии скорость распро-

странения электромагнитных волн с различными частотами ока-

зывается различной.

Результатом такой дисперсии является

уширение светового импульса при распространении в дис-

пергирующей среде.

Ниже будет показано, что те же самые

процессы, которые приводят к зависимости показателя прелом-

ления от частоты, вызывают также и затухание в среде электро-

магнитных волн.

При распространении электромагнитная волна, распростра-

няющаяся в диэлектрике, поляризует его молекулы, в результате

чего они или их электронные структуры начинают колебаться с

частотой волны. При совпадении частоты электромагнитной

волны с собственной частотой колебаний отдельного атома или

электрона наблюдается резонанс, в результате чего электромаг-

нитная волна испытывает сильное затухание. Для того, чтобы

исследовать теоретически зависимость показателя преломления

от частоты, достаточно найти зависимость от частоты для ди-

электрической проницаемости

. Показатель преломления свя-

зан с

ε (см.1.22):

με=n

Проведем теоретический расчет ), следуя [11] и [1]. Рас-

смотрим сначала взаимодействие электромагнитной волны с

отдельным атомом среды. Электроны, входящие в атом, можно

разделить на периферийные или

оптические и электроны внут-

ренних оболочек. На поглощение света оказывают влияние

практически только оптические электроны. Для простоты пред-

положим, что в атоме находится всего один оптический элек-

трон. В классической теории дисперсии его можно рассматри-

вать как затухающий гармонический осциллятор. Его колебания

описываются вторым законом Ньютона:

(ωε

Errr egkm

−

′

−

′

, (10.6)

где m - масса электрона, e - его заряд,

r - радиус-вектор электрона,

′

−= k

упр

- квазиупругая возвращающая сила, стремящаяся

вернуть электрон в положение равновесия,