Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

rF g

тр

−= - аналог силы трения. Учитывает потери на поглоще-

ние света;

EF e

= - сила Кулона.

Поделим (9.5) на m :

Errr

=ω+

′

γ+

′′

. (10.7)

Это уравнение вынужденных колебаний под действием силы

Кулона. Здесь

)m2/(g=

- коэффициент затухания,

m/k

=ω - собственная частота колебаний.

Вообще говоря, правильную теорию дисперсии дает только

квантовая механика. На самом деле квазиупругих сил и сил тре-

ния, пропорциональных скорости заряженных частиц, в атомах

и молекулах нет. Однако квантовая механика дает поразитель-

ный результат: в отношении дисперсии и поглощения света

атомы и молекулы ведут себя так, как если среда представляла

собой набор осцилляторов с различными собственными часто-

тами и коэффициентами затухания, подчиняющихся законам

законам Ньютона.

Пусть на оптический электрон действует электрическое поле

плоской волны

ti)t(i

e)(e

ω−ω

== rEEE

. (10.8)

Амплитуда поля ) меняется от точки к точке, однако мы

пренебрежем этим обстоятельством. Нас интересует частное

решение уравнения (9.6), представляющее вынужденное коле-

бание осциллятора:

(rE

= rr . (10.9)

Амплитуду колебаний находим, подставляя (10.9) в (10.7).

Если пренебречь отличием микроскопического поля от поля ,

то после подстановки получим:

ωγ−ω−ω

m/e

. (10.10)

Под действием поля электромагнитной волны среда поляризу-

ются. При этом отдельный атом в электрическом поле Е приоб-

ретает дипольный момент

EErp α=

γω−ω−ω

m/e

, (10.11)

где

γω−ω−ω

=α

m/e

- поляризуемость атома.

Пусть N - концентрация атомов (число атомов в единице объе-

ма). Запишем вектор поляризации среды:

NP.

Тогда вектор электрической индукции

EEEEPED

000

1N εε=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ε=α+ε=+ε=

. (10.12)

Диэлектрическая проницаемость среды задается следующим

выражением:

γω−ω−ω

⋅

+=ε

. (10.13)

Таким образом, мы получили зависимость диэлектрической

проницаемости от частоты, причем оказалась комплексной.

Этого и следовало ожидать. так как в данной модели учтено по-

глощение света. Ясно, что и показатель преломления тоже будет

комплексным:

ninn

′

. (10.14)

На рисунке 10.2 приведен типичный

вид кривых

′

и n

′

в окрестности по-

лосы поглощения, соответствующей

резонансу на частоте, равной собст-

венной частоте колебаний электрона

Из рисунка видно, что вдали от

собственной частоты

действитель-

ная часть показателя преломления

′

возрастает с частотой. Это область

нормальной дисперсии. Вблизи

наблюдается резкий рост мнимой час-

ти показателя преломления

′

, что

говорит о сильном затухании (погло-

щении). Действительная часть

′

вблизи

убывает. Это область ано-

мальной дисперсии.

Теоретические соображения, из-

ложенные выше, справедливы не

только для электронов, но и для ио-

нов. Во всех веществах наблюдается

несколько полос поглощения. Чтобы

это учесть, принимается, что вещество построено из частиц раз-

личного типа (электронов, ионов) с различными собственными

частотами. Тогда диэлектрическая проницаемость имеет вид:

Рис. 10.2.

γω−ω−ω

⋅

+=ε

∑

, (10.15)

где - концентрация частиц k-го сорта, и -масса и заряд

частиц k-го сорта,

и - собственная частота и коэффици-

ент затухания частиц k-го сорта.

Рис. 10.3. Зависимость действительной и мнимой части показа-

теля преломления от частоты.

На рисунке 10.3 приведены зависимости действительной и

мнимой части показателя преломления от частоты для идеаль-

ного диэлектрика. На рисунке видны несколько полос погло-

щения. На низких частотах основную роль играют атомы или

ионы с большими массами и малыми собственными частотами

(атомные резонансы). На высоких частотах основное влия-

ние оказывают электроны с малой массой и большой собствен-

ной частотой колебаний (электронные резонансы).

Вдали от резонансных частот влияние мнимой части

мо-

жет быть незначительным, и тогда показатель преломления

можно записать следующим образом:

...EDC

...1n

+λ+λ++

+≈− . (10.16)

Это формула Селмейера, записанная в виде разложения в ряд по

степеням . Коэффициенты A, B, C, D, E на практике подби-

раются так, чтобы получить максимальное соответствие экспе-

риментальным данным. Формула Селмейера дает превосходное

соответствие с экспериментом и применяется для расчета дис-

персии в реальных оптических волокнах.

Выводы

Рассмотрен механизм возникновения межмодовой диспер-

сии в оптическом волокне, выведена формула для расчета меж-

модовой дисперсии в ступенчатом волокне. Отмечено, что в

градиентном волокне с квадратичным профилем показателя

преломления межмодовая дисперсия для меридиональных лучей

отсутствует.

Подробно рассмотрен физический механизм возникновения

материальной дисперсии. С применением квантово-

механической аналогии выведена формула зависимости диэлек-

трической проницаемости (а, следовательно, и показателя пре-

ломления) от частоты.

Вопросы и задачи

10.1. Что такое межмодовая дисперсия? Выведите формулу для

расчета межмодовой дисперсии в ступенчатом волокне.

10.2. В каких единицах измеряется межмодовая дисперсия?

10.3. Чему равна межмодовая дисперсия в градиентном волокне

для меридиональных лучей?

10.4. Что такое материальная дисперсия?

10.5. Как зависит диэлектрическая проницаемость среды от час-

тоты? Какие частоты называются резонансными? Как их

определить по графику зависимости диэлектрической

проницаемости среды от частоты?

10.6. Рассчитайте межмодовую дисперсию для волокна из зада-

чи 8.9. Ответ выразите в нс/км. Сделайте вывод: как изме-

няется величина межмодовой дисперсии при увеличении

числовой апертуры.

ЛЕКЦИЯ 11

Учет совместного влияния различных видов дисперсии

11.1. Расчет материальной дисперсии в объемной среде

В предыдущей лекции мы рассмотрели механизм возникно-

вения материальной дисперсии, то есть зависимости показателя

преломления от частоты. Теперь проведем расчет уширения им-

пульса света, прошедшего через среду с дисперсией. В даль-

нейшем под термином "материальная дисперсия" будет пони-

маться именно уширение импульса, возникшее в дисперсионной

среде.

Любой сигнал распространяется с групповой скоростью, ха-

рактеризуемой соотношением

гр

, (11.1)

где

nω

=β

В среде с дисперсией показатель преломления n зависит от час-

тоты. Проведем расчет:

. (11.2)

Если учесть, что

=λ

, то

−=

. Подставляя полу-

ченное выражение в (11.2), находим:

−=

. (11.3)

Тогда групповая скорость находится следующим образом:

λ−

гр

. (11.4)

Найдем время, за которое световой импульс проходит рас-

стояние L:

)

гр

λ−==

. (11.5)

Если свет имеет ширину спектра относительно

λΔ

, и ес-

ли среда дисперсионная, то световой импульс расширяется в

процессе распространения и поступает на выход на протяжении

интервала t, определяемого соотношением:

λΔ

λ−=λΔ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ−

−

=λΔ

=Δ

. (11.6)

Таким образом, за уширение импульса ответственна величина

, а не

λd

Определим ширину спектра источника излучения

как диапазон длин волн, в пределах которого излучаемая им

мощность превышает 50 % максимального значения

. Часто

удобно использовать относительную ширину спектра из-

лучения , равную

ωΔ

λΔ

=γ

. (11.7)

Таким образом, после прохождения световым импульсом

расстояния L в дисперсионной среде импульс расширяется,

причем его длительность на уровне половинной мощности оп-

ределяется выражением:

mat

λΔ

=Δ

, (11.8)

)(M

mat

λ⋅λΔ=

⋅λΔ=

=τ . (11.9)

Нижний индекс

mat

показывает, что уширение импульса про-

изошло из-за наличия материальной дисперсии.

На рисунке 11.1 и 11.2 представлены зависимость диспер-

сионного параметра

и параметра

от длины вол-

ны для чистого кварца [1].

Рис. 11.1.

Как видно из рис. 11.1 и 11.2, кривая

из чистого кварца

изменяет знак на длине волны

мкм276,1

. В литературе ино-

гда эту длину волны называют длиной волны нулевой диспер-

сии (об использовании этого термина см. ниже в п. 11.2).

Рис. 11.2.

11.2. Хроматическая дисперсия

Хроматическая дисперсия состоит из материальной диспер-

сии и волноводной дисперсии.

Материальной дисперсией мы

называем уширение импульса, происходящее из-за того, что по-

казатель преломления среды зависит от длины волны или часто-

ты. Расчет материальной дисперсии представлен в предыдущем

пункте (формула (11.8)). В дальнейшем будем обозначать мате-

риальную дисперсию

mat

Волноводной дисперсией называется уширение импульса,

происходящее из-за того, что постоянная распространения моды

зависит от длины волны или частоты [3]:

)(N

λ⋅λΔ=

⋅λΔ=

=τ

, (11.10)

где - уширение длины волны вследствие некогерентности

источника излучения,

λΔ

nn −

=Δ

- относительная разность показателей преломле-

ния.

Результирующее уширение импульса, возникающее в ре-

зультате влияния хроматической дисперсии находится следую-

щим образом:

wmatchr

. (11.11)

С учетом формул (11.9) и (11.11) хроматическая дисперсия вы-

числяется по формуле

)(D

chr

, (11.12)

где )(N)(M)(D

=λ - результирующий коэффициент удель-

ной хроматической дисперсии.

)(D

измеряется в )кмнм/(пс

⋅

Если волноводная дисперсия, рассчитанная по формуле

(11.10) всегда больше нуля, то материальная дисперсия (11.8)

может быть как положительной, так и отрицательной. При оп-

ределенной длине волны

(примерно нм101310

для сту-

пенчатого волокна) происходит взаимная компенсация матери-

альной и волноводной дисперсии, и хроматическая дисперсия

становится равной нулю.

Эта длина волны, на которой хрома-

тическая дисперсия обращается в ноль, называется "длиной

волны нулевой дисперсии"

. Однако не следует забывать,

что реальный световой импульс содержит в себе не одну длину

волны, а спектр длин волн, которые распространяются с груп-

повыми скоростями, лежащими в некотором интервале. Поэто-

му на практике хроматическая дисперсия не обращается в ноль,

но принимает очень маленькое значение для источников, кото-

рые излучают на длинах волн, близких к

11.3. Совместное влияние межмодовой и

хроматической дисперсии

До сих пор рассматривалось два независимых эффекта, ко-

торые обусловливают дисперсию в оптических волокнах: меж-

модовая дисперсия и хроматическая дисперсия. В волокне оба

100