Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

где Ом377Z

≈

= - волновое сопротивление вакуума,

εε

μμ

Z - волновое сопротивление среды.

Если α - угол между на-

правлением колебаний

вектора

пад

в падающей

волне и плоскостью паде-

ния (см. рис 3.3), то пер-

пендикулярная и парал-

лельная составляющие

выражаются следующим

образом

пад

⊥пад

||пад

Рис. 3.3.

α=

⊥

sinЕE

падпад

, (3.26)

α= cosЕE

пад||пад

Аналогичные соотношения можно записать для отраженной и

прошедшей волны. Необходимо помнить, что угол наклона в

них будет другим: и .

отр

прош

Если луч попадает из среды, оптически более плотной, в

среду, оптически менее плотную ( ), то возможно полное

отражение луча (полное внутреннее отражение). При этом луч

не проходит во вторую среду, и угол преломления в 3.1 равен

нулю 0

nn >

. Отсюда можно найти предельный угол падения

луча, соответствующий полному внутреннему отражению

кр

sin =ϕ

. (3.27)

При полном отражении модуль коэффициента отражения по ам-

плитуде равен единице, но меняется фаза волны:

||пад||отр

eЕE

, (3.28)

⊥

⊥⊥

падотр

eЕE,

где и - сдвиг фаз для волны параллельной и перпендику-

лярной поляризации соответственно при полном внутреннем

отражении. При этом

⊥

−ϕ

cosn

nsin

, (3.29)

−ϕ

⊥

cos

nsin

Выводы

Формулы Френеля позволяют проводить расчет коэффици-

ентов отражения и прохождения для волн параллельной и пер-

пендикулярной поляризации при распространении света через

границу раздела двух сред.

Вопросы и задачи

3.1. Сформулируйте законы отражения и преломления света.

3.2. Как определяется коэффициент отражения (преломления)

света по амплитуде? О чем говорит отрицательной значе-

ние коэффициента отражения по амплитуде?

3.3. Что такое угол Брюстера? Как его рассчитать?

3.4. В чем заключается явление полного внутреннего отражения

света? При каком соотношении между показателями пре-

ломлений сред наблюдается полное отражение?

3.5. При каком значении угла падения θ луч, отраженный от по-

верхности воды, будет перпендикулярен к преломленному

ЛЕКЦИЯ 4

Распространение света в неоднородных средах.

Гауссовы пучки

4.1. Уравнение эйконала

В среде с однородным показателем преломления реше-

ниями уравнений Максвелла являются плоские волны. В случае

неоднородной среды, когда , таких решений в виде

плоских волн не существует. Мы знаем, что однородная плоская

волна, распространяющаяся в среде с показателем преломления

n в направлении, описываемом волновым вектором

k, описыва-

ется следующими выражениями:

(

zyxnn ,,=

)

rκ

ErЕ

e)(

−

⋅= , (4.1)

rκ

HrH

e)(

−

⋅= , (4.2)

где

r - радиус-вектор рассматриваемой точки. Запишем волно-

вой вектор в следующей форме:

sk nk

= , (4.3)

где c/k

= , с-скорость света в вакууме, s - единичный век-

тор, сонаправленный с волновым вектором

k. Тогда плоские

волны (4.1-4.2) будут выглядеть так:

),(nki

e)(

ErЕ

−

⋅= , (4.4)

),(nki

e)(

HrH

−

⋅= . (4.5)

В случае неоднородной среды разумно предположить, что

электромагнитное поле можно приближенно описать при помо-

щи "локально" плоских волн (то есть их можно приближенно

считать плоскими в окрестностях данной точки):

)(Ski

e)()(

rErЕ

−

⋅= , (4.6)

, (4.7)

)(Ski

e)()(

rHrH

−

⋅=

где и )-медленно меняющиеся амплитуды, завися-

щие от координат,

)(

rE (

r) - некоторая вещественная скалярная функция положения.

Функция S(

r) называется эйконалом.

Волновая поверхность - геометрическое место точек, ко-

леблющихся в одинаковой фазе. С использованием понятия эй-

конал, волновая поверхность - это совокупность точек, удовле-

творяющих условию:

const)(S =r . (4.8)

Представление (4.6-4.7) в виде "локально" плоских волн

справедливо лишь при выполнении условия медленности изме-

нения амплитуд поля:

Δ x

, (4.9)

Δ x

. (4.10)

Это означает, что когда относительное изменение амплитуды

напряженностей поля должны быть малы по сравнению с разме-

рами системы Δ , выраженными в длинах волн . x λ

Таким образом, на каждом малом участке волну можно рас-

сматривать как плоскую, то есть волновую поверхность можно

заменить частью плоскости, касательной к ней в рассматривае-

мой точке. В результате мы приходим к концепции световых

лучей, направленных по нормали к волновой поверхности, то

есть к геометрической оптике.

Если разложения (4.6-4.7) подставить в уравнения Максвел-

ла для случая отсутствия сторонних токов и зарядов, получим

так называемое

уравнение эйконала:

() ()

nSgrad = , (4.11)

или

()

zyxn

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Величина S(r) определяет световой луч в каждой точке волно-

вой поверхности. Следовательно, уравнение эйконала является

основным уравнением геометрической оптики.

4.2. Распространение лазерных пучков

Следующие несколько лекций посвящены проблемам рас-

пространения лазерных пучков в различных средах, так как ла-

зеры широко применяются для передачи сигналов по оптоволо-

конным линиям связи. Лазерный пучок, в отличие от бесконеч-

ных плоских волн, ограничен в поперечном направлении и уши-

ряется по мере распространения. Лазерный пучок представляет

собой когерентное электромагнитное излучение, и его распро-

странение описывается уравнениями Максвелла. Лазерный пу-

чок имеет высокую степень монохроматичности, поэтому есте-

ственно по-прежнему предположить следующую временную

зависимость:

, (4.12)

По-прежнему, рассматриваем волны как решения уравнений

Максвелла (2.4):

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+∇

. 0

, 0

HkH

EkE

4.3. Гауссовы пучки в однородной среде

(1)

Активная

среда

Выходной пучок

(

)

Рис. 4.1

Рассмотрим лазер и генерируемый им пучок излучения (см.

рис. 4.1). Цифрами (1) и (2) на рисунке обозначены плоскопа-

раллельные зеркала, (1) - непрозрачное, (2) - полупрозрачное

зеркало. Зеркала (1) и (2) составляют лазерный резонатор или

резонатор Фабри-Перо. Излучение, возникающее в активной

среде, испытывает многократное отражение от зеркал. При каж-

дом отражении от зеркала происходит дифракция. После много-

кратного отражения лазерное излучение выходит наружу через

зеркало (2), имея в результате дифракции гауссово распределе-

ние амплитуды и уширение вдоль оси Oz.

Гауссовым пучком называется пучок, поперечное распре-

деление напряженности электрического поля в котором опреде-

ляется функцией Гаусса:

)

exp(E)y,x(E

−=

, (4.13)

где - амплитуда напряженности электрического поля на оси

пучка,

yxr += -есть расстояние от оси пучка в плоско-

сти, перпендикулярной оси Oz, ω

- радиус пучка в перетяжке.

Рис. 4.2. Распределе-

ние напряженности в

гауссовом пучке в

плоскости y=0 в зави-

симости от координа-

ты x=r. Радиусом

пучка

является

такое расстояние от

оси. На котором ам-

плитуда убывает в е

раз по сравнению со

своим значением на

оси.

Интенсивность пучка пропорциональна квадрату ам-

плитуды и описывается соответственно также

функцией Гаусса:

)y,x(E~I

)

exp(I)y,x(I

−=

, (4.14)

где I

- интенсивность на оси пучка.

Перетяжка - самое узкое место пучка (см. рис. 4.3).

ω(z)

Рис. 4.3. Ход лучей в гауссовом пучке в однородной среде.

Здесь z=0 - плоскость перетяжки, пунктиром изображены вол-

новые поверхности.

Гауссов пучок в однородной среде является решением вол-

нового уравнения:

=+∇

EkE

. (4.15)

При этом предполагается, что вдоль оси Oz фаза меняется ли-

нейно Решение уравнения (4.15) для гауссовых

пучков в среде с цилиндрической симметрией получили Ко-

гельник и Ли:

).ikzexp(~ −

[]

()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−η−−

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−η−−⋅

zR2

r)z(kziexp

)z(

)z(q2

i)z(kziexp

)z(

E)z,y,x(E

. (4.16)

Здесь q(z) - некоторый комплексный параметр;

ω(z) - ширина распределения интенсивности или радиус пучка

(см. рис. 4.3) :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ω=ω

1)z(

, (4.17)

πω

λ - длина волны, z - расстояние от перетяжки;

R(z) - радиус кривизны волновой поверхности (см. рис. 4.3). По

мере распространения вдоль оси Oz радиус кривизны R(z) ме-

няется по закону:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1zzR

. (4.18)

На больших расстояниях от начала координат R совпадает с

расстоянием от перетяжки до волнового фронта z. Это означает,

что в дальней зоне волновой фронт гауссова пучка приближает-

ся к волновому фронту сферической волны, распространяющей-

ся из точки, расположенной на оси пучка в месте его фокальной

перетяжки.

Гауссов пучок — это практичеcки сферическая волна,

идущая из центра и обладающая гауссовым распределением ин-

тенсивности в плоскости, перпендикулярной к направлению

распространения.

В фокальной перетяжке волна является плоской, но про-

странственно ограниченной эффективным размером ω

. На

большом расстоянии от перетяжки (z>>π /λ) радиус пучка

вычисляется по формуле:

. (4.19)

Рассмотрим картину распространения гауссова пучка

(рис.4.4). Траектории лучей задаются гиперболами. На

больших расстояниях z от перетяжки гиперболические по-

верхности , задающие траекторию лучей и на-

правление распространения энергии, асимптотически стре-

222

yx ω=+

мятся к коническим поверхностям. Половина угла при вер-

шине такого конуса называется угловой расходимостью

пучка:

=θ

(4.20)

При больших z из формулы (4.17):

)z( ⋅ω=ω

. Тогда угло-

вая расходимость пучка вычисляется по формуле:

)z(

πω

ωπ

⋅

=θ , (4.21)

где λ - длина волны, n - показатель преломления среды.

гипе

бола

(z)

Лазер

плоскость перетяжки

Рис. 4.4. Угловая расходимость θ гауссова пучка.

Угловая расходимость зависит от длины волны и диаметра пуч-

ка в перетяжке. Выясним физический смысл параметра .

Пусть координата вдоль оси Oz равна . Тогда из формулы

(4.17) следует, что

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ω=ω

1)z(

; ,

2)z( ω=ω

2)z( ω=ω . (4.22)

Значит, - это такое расстояние от перетяжки, на котором ра-

диус пучка увеличивается в

2 раз.

Выводы

Уравнение эйконала является основным уравнением геомет-

рической оптики. Оно позволяет решить задачу распростране-

ния световых волн в неоднородной среде в случае, когда отно-

сительное изменение амплитуды напряженностей поля должны

быть малы по сравнению с размерами системы , выражен-

ными в длинах волн

xΔ

Гауссовы пучки формируются в лазерных резонаторах (в ча-

стности, в резонаторе полупроводникового лазера) в результате

многократного отражения излучения от зеркал. Распределение

интенсивности излучения внутри пучка описывается функцией

Гаусса.

Вопросы и задачи

4.1. При каком условии можно описать поведение волн в неод-

нородной среде через эконал? Из какого уравнения опре-

деляется эйконал?

4.2. Что такое гауссов пучок? Где формируется гауссов пучок?

4.3. Что такое перетяжка гауссова пучка?

4.4. Как определяется угловая расходимость гауссова пучка?

4.5. Найдите радиус кривизны волновой поверхности в перетяж-

ке гауссова пучка.

4.6. Найти угловую расходимость гауссова пучка в кварцевом

стекле, если диаметр пучка в перетяжке равен 10 мкм.

( ,

46,1n = нм1550=

)