Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
230
называется хар ак тер истич еск им п оли но мом матрицы
A
.
Если клеточная матрица
A
является распавшейся или полурас-
павшейся (см. П.1.29, П.1.31), то её характеристический полином равен
произведению характеристических полиномов диагональных клеток. На-
пример, если
][
i
AdiagA =
, то
∏
−λ=−λ=λ
=
k
i
i
AEAEp
1
).det()det()(
П.4.3. Kopни
n
λλ ...,,
1
характеристического уравнения матрицы
A
называются ее сп ектр ом , ха рак терис тич ес кими , соб ст ве н-
ными чи сла ми ил и со бс тв ен ными з нач ени ям и. Они часто обо-
значаются
)(A
i
λ
.
Квадратная
n
n
×
матрица имеет
n
собственных чисел.
Если матрица
][
ik
aA =
имеет диагональную, жорданову или тре-
угольную форму, то элементы главной диагонали
nn
aa ,...,
11
являются
собственными числами матрицы
A
, т.е. если
0=
ik
a
при всех
ki
>
или (и)
ki
<
, то
iii
aA =λ )(
,
ni ...,,2,1
=
.
Если среди собственных чисел
n
λλ ...,,
1
матрицы
A
число
i
λ
встречается
i
ν
раз, то оно называется крат ны м собственным числом, а
величина
i
ν
– его кратностью.
П.4.4. Коэффициенты
10
...,,
−
αα
n
характеристического полинома
(П.18) матрицы
A
связаны с ее собственными числами известными фор-
мулами Виета:
∑ ∑
−=λ−=α
= =
−
n
i
n
i
iiin
a
1 1
1
,
M
∏
=
−=λ−=α
n
i
n
i
n
A
1
0
.det)1()1(
П.4.5. Если
)(
λ
p
полином вида (П.18), то матрица (П.6) называется
сопровождающей матрицей полинома
)(
λ
p
.
231
П.4.6. Если
n
λλλ ...,,,
21
– собственные числа некоторой матри-
цы
A
, то матрица
λλλ
λλλ
λλλ
=
−−− 11
2
1
1
22
2
2
1
21
.........................................
111
n
n
nn
n
n
W
K
K
K
K
(П.19)
называется м ат риц ей Ва нде рмонд а матрицы
A
. Имеет место соот-
ношение
∏
>
λ−λ=
ik
ki
W )(det
. (П.20)
Поэтому, если среди чисел
n
λλ ...,,
1
нет равных, то матрица Ван-
дермонда будет неособенной.
П.4.7. Теорема Кэли-Гамильтона. Каждая квадратная матрица удов-
летворяет своему характеристическому уравнению. Другими словами,
если полином
)(
λ
p
имеет вид (П.18) и является характеристическим
полиномом матрицы
A
, то
)(
А
p
= 0, или
.0)(
0
1
1
=+++=
−
−
EAAAp
n
n
n
αα
K
(П.21)
Из теоремы Кэли-Гамильтона вытекают следующие выражения для
присоединенной матрицы:
)(
12
2
1
1
EAAAAadj
n
n
n
α+α++α+−=
−
−
−
K
,
∑ ∑
α=−
−
= +=
−−
1
0 1
1
)(
n
k
n
ks
kks
s
pAApEadj
,
1=α
n
.
П.4.8. Всякая
n
n
×
матрица
A
преобразованием подобия
ASSA
1
~
−
=
может быть приведена к ф орм е Жо рда на
nAAAdiagA ≤σ=
σ
],
~
,,
~
,
~
[
~
21
K
. (П.22)
232
Здесь
iii
nnA ×−
матрицы вида
=
i
i
i
i
A
λ
λ
λ
K
K
K
K
000
1000
...................................................
010
001
,
σ
=
...,,1i
(П.23)
называются к лет кам и Жо рд ана, причем
nnnn =+++
σ
K
21
.
Разным клеткам Жордана (П.23) могут соответствовать кратные соб-
ственные числа. Поэтому число различных собственных значений мень-
ше или равно числу клеток Жордана –
σ
, а сумма чисел
si
n
, т.е. сумма
размерностей тех клеток Жордана
i
A
, которым соответствует одно и то
же собственное число
i
λ
, равна кратности этого числа.
Пример П.7. Пусть [12] матрица
−
−
−
−−
=
7300
10400
0010
3211
A
.
Возьмем матрицу преобразования
.
3100
5200
0110
1001
=S
Ее определитель равен 1, поэтому существует
1−
S
Вычисляя её од-
ним из указанных выше способов, получим
.
2100
5300
5310
2101
1
−
−
−
−
=
−
S
233
Подвергая матрицу
A
преобразованию подобия (П.17), найдем
.
2000
0100
0010
0011
~
1
−
−
−
−
==
−
ASSA
(П.24)
Полученная матрица, очевидно, имеет форму Жордана, три клетки
которой выделены пунктирными линиями. Двум из них соответствует
1)( −=A
i
λ
, а одной
2)(
2
−=A
λ
.
П.4.9. Если
nnA
×
−
матрица;
ncb
−
,
-мерные векторы, a
µ
– це-
лое положительное число, то
∑
−λ±−λ=
∑
±−λ
µ
=
µ
= 11
)()det()det(
i
i
T
i
T
i
bAEadjcAEcbAE
. (П.25)
При любых векторах
i
c
имеет место тождество
,)()(
1
bAEadjbbcAEadj
i
T
i
−λ=
∑
±−λ
µ
=
(П.26)
а при любых
i
b
– тождество
).()(
1
AEadjccbAEadjc
i
TT
i
T
−λ=±−λ
∑
µ
=
(П.27)
Соотношения (П.25) – (П.27) используются обычно при исследовании
динамических систем с обратными связями на основе уравнений этих
систем в переменных состояния.
П.5. Функциональные матрицы
П.5.1. Пусть
)]([)( tftF
ik
=
функциональная
m
n
×
матрица, при-
чем функции
)(tf
ik
непрерывно дифференцируемы в некотором ин-
тервале
bta
≤
≤
. Тогда производная от F(t) есть матрица
234
,
)(
)(
)(
=
′
=
dt
tdf
tF
dt
tdF
ik
а интеграл от
)(tF
есть матрица
),()()()( aФbФdfdF
b
a
b
a
ik
−=
∫
∫
ττ=ττ
если
./)()( dttd
Ф
tF
=
По отношению к матрицам справедливы обычные правила
дифференцирования и интегрирования: если
C
– постоянная мат-
рица, то
[ ]
);()]([);()()()(;0][ tFCtCF
dt
d
tDtFtDtF
dt
d
C
dt
d
&&&
=+=+==
);()()()()]()([ tDtFtDtFtDtF
dt
d
&&
+=
∫ ∫ ∫∫
ττ≤ττττ=ττ
b
a
b
a
b
a
b
a
dFdFdFCdCF )()(;)()(
,
[ ]
∫ ∫
ττ+ττ=τ
∫
τ+τ
b
a
b
a
b
a
dDdFdDF .)()()()(
П.5.2. Если
[
]
)(...,),()(
1
xfxfxf
n
T
=
– вектор-функция, то произ-
водной функции
)(xf
по вектору
]...,,[
21
xxx =
называется м ат риц а
Як оби (яко биа н)
).(
)(
)(
)(
1
1
1
1
xJ
x
f
x
f
x
f
x
f
x
xf
xf
dx
xdf
f
n
nn
n
k
i
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
′
=
L
MOM
L
П.5.3.
Ма три чн ый э кс по не нци ал
это матрица
At
eAt =)exp(
,
где
A
– квадратная матрица, при этом
235
∑
=+++=
∞
=0
22
!!2!1
k
kk
At
k
tAtAAt
Ee K
. (П.28)
Отсюда следует, что при
t
=0 матрица
Ee
A
=
0
независимо от вида мат-
рицы
A
.
В теории динамических систем матрицу
tA
e
называют п ер ех одно й
матр ицей .
П.5.4. Пусть матрица
A
имеет Жорданову форму, т.е.
],
~
...,,
~
[
~
1 σ
= AAdiagA
(П.29)
где
i
A
–
ii
nn ×
клетки Жордана типа (П.23),
σ
– их число.
Тогда матрица
],...,,[
~
~
~
1
tA
tA
tA
eediage
σ
=
(П.30)
причем
t
i
n
i
n
tA
i
i
i
i
e
n
tt
n
ttt
e
λ
−
−
−
−
=
1...000
................................................
)!2(
...
!1
10
)!1(
...
!2!1
1
2
1
2
~
. (П.31)
Пример П.8. Если матрица
A
~
имеет вид
,
30000
02000
00200
00120
00012
~
=A
то согласно (П.30) и (П.31) матрица
236
=
t
t
t
tt
ttt
At
e
e
e
tee
ettee
e
3
2
2
22
2222
0000
0000
0000
000
005,0
. (П.32)
Определение матрицы
At
e
для случая диагональной (П.2) и сопрово-
ждающей (П.6) матрицы
A
рассмотрено в § 2.4.
П.5.5. Если 2
×
2 матрица
A
имеет вид (П.6), т.е. является сопрово-
ждающей, и
а) кратные собственные числа
σ−=λ=λ
21
, то
;
1
1
2
tAt
e
tt
tt
e
σ−
σ−σ−
σ+
=
б)
различные собственные числа
2211
,
σ−=λσ−=λ
,
21
σ≠σ
, то
.
1
)(
21
2121
21
2121
1212
σ−σ
σ−σ−σσ
−σ−σ
=
σ−σ−σ−σ−
σ−σ−σ−σ−
tttt
tttt
At
eeee
eeee
e
в)
комплексные собственные числа
ω±σ−=λ j
2,1
, то
ω
ϕ−ωω+σ−ωω+σ−
ωϕ+ωω+σ
=
σ− t
At
e
tt
tt
e
)sin(sin)(
sin)sin(
2222
22
,
(П.33)
где
σω=ϕ
arctg
.
П.5.6. Если
2
2
×
матрица имеет вид
−
−
=
1
0
1
0
α
α
A
(П.34)
и различные собственные числа
,)(
11
σ−=λ A
,)(
22
σ−=λ A
21
σ≠σ
, то
матрица
237
.
1
)(
21
21
2121
2112
2112
σ−σ
σ−σ−
−σσσ−σ
=
σ−σ−σ−σ−
σ−σ−σ−σ−
tttt
tttt
At
eeee
eeee
e
Если собственные числа матрицы (П.34) кратные, т.е.
σ−=λ=λ
21
, то
.
1
1
2
tAt
e
tt
tt
e
σ−
σ−
σ−σ+
=
Если же собственные числа матрицы (П.34) комплексные, то
ω
ϕ−ωω+σ−ω
ωω+σ−ϕ+ωω+σ
=
σ− t
At
e
tt
tt
e
)sin(sin
sin)()sin(
22
2222
.
Таким образом, справедлива формула
TAttA
ee
T
)(=
.
П.5.7
. Если
2
2
×
матрица имеет вид
α−
α−
=
0
1
0
1
1
A
и различные собственные числа
,)(
111
σ−=λ
A
,)(
212
σ−=λ
A
21
σ≠σ
,
то матрица
.
1
)(
21
2121
21
1221
1221
1
σ−σ
σ−σ−σσ
−σ−σ
=
σ−σ−σ−σ−
σ−σ−σ−σ−
tttt
tttt
tA
eeee
eeee
e
Если собственные числа матрицы
1
A
кратные, то
t
tA
e
tt
tt
e
σ−
σ+σ−
σ−
=
1
1
2
1
.
238
П.5.8. Если матрица
][
ik
aA =
верхняя треугольная (см. П.1.13), то
матрица
)]([ tФe
ik
At
=
тоже верхняя треугольная. Ее элементы
)(t
Ф
ik
можно найти по формулам:
,0)( =t
Ф
ik
,ki
>
(П.35а)
,)(
ta
ii
ii
et
Ф
=
(П.35б)
∫
∑
τ=
+
+=
τ−
++
t
si
ik
a
sikik
ta
sii
de
Ф
aet
Ф
iiii
0
1
,,
)(
, (П.35в)
где
;...,,2,1 ni
=
ins
−
=
...,,2,1
.
Пример П.9. Найти матрицу
tA
e
, если матрица
A
имеет вид
−
−−
=
30
61
A
. (П.36)
Решение. По формуле (П.35б) имеем
t
et
Ф
−
=)(
11
,
t
et
Ф
3
22
)(
−
=
;
по формуле (П.35,в) при
1
=
i
,
1
=
s
имеем
∫
ττ=
τ−
t
t
de
Ф
aet
Ф
0
221212
)()(
или
∫
−=τ−=
−−τ+τ−−
t
ttt
eedeet
Ф
0
33
12
).(36)(
Следовательно, с учетом (П.35а) искомая матрица
.
0
)(3
3
3
−
=
−
−−−
t
ttt
At
e
eee
e
(П.37)
Найдем ее производную
−
+−−
=
−
−−−
t
ttt
At
e
eee
dt
de
3
3
30
39
. (П.38)
239
Нетрудно проверить, что матрица, равная произведению
At
Ae
, сов-
падает с матрицей в правой части (П.38). Следовательно, матрица (П.37)
удовлетворяет условию 3 из параграфа 2.4. Удовлетворяет она и всем
остальным свойствам переходной матрицы.
П.5.9. Рассмотренные выше
методы вычисления матрицы
At
e
яв-
ляются точными, но все они предполагают, что собственные числа мат-
рицы
A
известны. В общем случае нахождение собственных чисел мат-
рицы представляет собой довольно сложную задачу. В связи с этим раз-
работаны приближенные метода построения матрицы
At
e
, не требующие
вычисления собственных значений.
В книге [1] показано, что матрица
]612[]612[)(
22122
AAEAAE δ+δ+δ+δ−=δΛ
−
(П.39)
аппроксимирует матрицу
At
e
с точностью до величины
)(0
5
δ
. Причем,
всегда можно выбрать достаточно малое число
δ
, чтобы матрица
22
612 AAE δ+δ−
имела обратную.
Поэтому, обозначив
),(δΛ≈
δA
e
найдем с помощью (П.39), что вычисление значений матрицы
At
e
, соот-
ветствующих дискретным моментам времени
,δ= kt
k
...,,2,1
=
k
можно
производить по формуле
)(δΛ≈≈
δ
kkAAt
ee
. (П.40)
Если матрица
A
устойчива и
δ
достаточно мало, то матрицу
At
e
с
помощью формулы (П.40) можно вычислить при любых t , полагая
),()( δ−ΛδΛ≈
kte
kAt
где
k
– целое число такое, что
.δ<δ−kt
Другие методы приближенного вычисления переходной матрицы
At
e
можно найти в [4].
П.5.10. Если
n
λλ ...,,
1
– собственные числа матрицы
A
и
i
i
λ=γ Remax
0
, то справедливо неравенство