Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы

Подождите немного. Документ загружается.

Эти уравнения образуют ма темати че скую м оде ль системы. В сис-

темном подходе реальной динамической системе ставится в соответст-

вие, как показано на рис. 1.6, её математическая модель, как эквивалент

данной системы. При этом численные значения и характер решений

уравнений математической модели соответствуют, в некотором масшта-

бе, характеру движений исследуемой системы. Поэтому характеристики

решений, такие как амплитуда и частота колебаний, время затухания и

т.п. соответствуют аналогичным характеристикам движений реальной

динамической системы.

Число моделей невелико по сравнению с числом реальных объектов,

поэтому, изучив свойства математических моделей, характер решений их

уравнений, взаимосвязи между структурой модели и характером реше-

ний, можно сделать выводы о свойствах реальных или еще только созда-

ваемых динамических систем.

Вообще говоря, модели систем могут отражать различные свойства

систем, а не только их движения. Например, модели систем на рис. 1.3,

рис. 1.5, в виде блок-схем, отражают лишь количество входных воздейст-

вий и выходных величин. Поэтому такие модели являются моделями

вход-выход типа “че рн ый ящи к”. Это название связано с тем, что эти

схемы, в отличие от схемы, например, на рис. 1.2, не отражают внутрен-

ней структуры представляемых систем.

Физическая

система

соответствие

Движения

системы

Характер

движений

Свойства

системы

Математическая

модель

Решения

уравнений

Характер

решений

Характеристики

решений

Рис. 1.6

В соответствии с рис. 1.6 в процессе изучения и создания систем на

основе системного подхода возникают следующие задачи:

1. Изучение системы и формирование её математической модели

(задача мо де ли рова ния или и дентифи кац ии ).

2. Изучение характера решений уравнений модели и зависимости

их свойств от ее параметров и структуры системы (задача анал иза ).

3. Выбор структуры и параметров математической модели созда-

ваемой системы так, чтобы ее качество удовлетворяло заданным требо-

ваниям (задача с инте за).

4. Переход от математической модели системы к реальным устрой-

ствам, которые бы описывались синтезированной моделью (задача р еа -

ли зац ии).

В целом можно сказать, что в основе системного подхода лежат по-

нятия математической модели и информации, так как математические

модели и решения их уравнений, фактически, учитывают и описывают

лишь информационную сторону процессов, протекающих в исследуемых

системах, т.е. информацию лишь о характере движений (изменениях тех

или иных переменных). Природу же этих переменных, конструктивные,

энергетические и другие особенности элементов системы, эти модели

обычно учитывают лишь опосредованно, в той мере, в какой они влияют

на характер движений системы.

§ 1.2. Общие формы моделей динамических систем

Математические модели систем в переменных состояния. Наи-

более общей формой математических моделей непрерывных динамиче-

ских систем в переменных состояния можно считать дифференциальные

уравнения в форме Коши следующего вида

),,( gxfx

(1.1)

),,( gxy ϕ=

(1.2)

где

dtdxx /

][

1 n

xxx K=

– вектор-строка, результат транспо-

нирования вектора x; g, y – векторы входных воздействий и выходных

переменных, соответственно.

В общем случае

























)(

где

)()(

1 nii

xxfxf K=

– нелинейные скалярные функции переменных

xx ,,

ni ,1=

. Такого типа функции

)(xf

называются нелинейными

вектор-функциями.

Аналогичным образом определяются вектор-функции













),(

gxf













=ϕ

),(

где

,),(),(

11 knii

ggxxfgxf KK=

),(),(

11 knii

ggxxgx KKϕ=ϕ

xn dim

gk dim

dimq

Уравнение (1.1) называется ур авн ени ем со сто яния . Оно опре-

деляет или описывает связь между входными воздействиями и вектором

состояния. Уравнение (1.2) называется ура вне нием в ыхо до в. Оно

описывает связи выходных величин системы с ее состоянием.

Если модель системы включает уравнения (1.1) и (1.2), то система

является динамической. Модель данного типа статической системы все-

гда состоит только из одного уравнения (1.2), в котором вектор состояния

x отсутствует. Такая система является б ез ынер ци он ной.

Уравнения (1.1) и (1.2) в общем случае векторные. Если в них от

векторов перейти к их компонентам, то получим координатную форму

математической модели. Пусть n=3, q=2, k=1, тогда модель (1.1), (1.2)

принимает вид











),,,,(

32133

32122

32111

gxxxfx

(1.3)







ϕ=

).,,(

),,,(

32122

32111

xxxy

(1.4)

Уравнения (1.3), (1.4) – координатная форма записи математической

модели динамической системы для данных n, q, k. В системе (1.3), (1.4)

выходные величины непосредственно не зависят от входных воздейст-

вий, но в общем случае это может быть не так.

Приведем конкретные примеры нелинейных моделей в переменных

состояния. Математическая модель спутника

.),(

,),(

34314

44323

212

,121

xxxxx

gxx

−ω=

+ω−=

+−=

(1.5)

Здесь

,1),(

343

xxxx −−=ω

≤+ xx

– переменные состоя-

ния, связанные с углами ориентации спутника в пространстве;

, gg

–

управляющие воздействия, создаваемые двигателями ориентации

спутника (1.5).

Модель самолета

θε+θ−= cossin

ggx

1sincos

−θε+θ= ggy

g=θ

где

– координаты центра тяжести самолета,

– угол тангажа,

– управляющие воздействия, создаваемые пилотом.

Линейные модели в переменных состояния. Если в уравнениях

(1.1), (1.2) или (1.3), (1.4) разложить нелинейные функции в ряд Тэйлора

в окрестности некоторой точки

),(

и сохранить только линейные

члены, то получатся линейные модели в переменных состояния, которые

имеют вид

,BgAxx

(1.6)

.DgCxy

(1.7)

Здесь













nnn

MOM

111

–

матрица постоянных коэффициентов, причем B, C, D – тоже чи-

словые матрицы. Их размерности:

,knB ×−

nqС

−

kqD

−

Уравнение (1.6) называется также ура вне ние м с остояни я, а (1.7)

– ура внени ем в ых одо в. В случае статической системы линейная модель

включает только уравнение (1.7), которое в этом случае принимает вид

.Dgy

Решением уравнений (1.1), (1.3) или (1.6) является вектор-функция

),,,()(

gxtxtx =

)(

txx

где

– вектор начальных условий, t=0

– начало отсчета времени. Это решение и описывает изменение состоя-

ния динамических систем (1.1), (1.2); (1.3), (1.4) или (1.6), (1.7) во време-

ни. Подставляя это решение в соответствующие уравнения выходов, по-

лучим вектор-функцию

),,,()(

gxtyty =

которая будет описывать из-

менения во времени выходных величин (вы ход ны х п ер ем ен ны х) этих

же систем.

Структурные схемы систем по уравнениям в переменных со-

стояния. Графическое изображение, отражающее элементы системы,

математические преобразования переменных в этих элементах, связи

элементов между собою, а также входные воздействия и выходные вели-

чины называется с тр ук ту рно й с хемо й системы.

Структурная схема динамической системы, соответствующая урав-

нениям (1.6), (1.7), приведена на рис. 1.7.

Эта схема раскрывает внутренние математические преобразования

над переменными состояния и входными воздействиями, которые совер-

шаются в системах, в полном соответствии с уравнениями (1.6), (1.7).

Матрица D определяет пр яму ю с вя зь выхода системы с ее входом.

Если какая-либо матрица вся или ее отдельные элементы равны ну-

лю, то соответствующие связи на структурной схеме не изображаются.

Справедливо и обратное утверждение: если какой-либо связи на струк-

турной схеме нет, то соответствующий элемент в уравнениях системы

равен нулю.

C∫

Рис. 1.7

Например, структурная схема электронного усилителя имеет вид,

приведенный на рис. 1.8. Здесь нет прямой связи входа

с выходом

Это значит, что в уравнениях

электронного усилителя, запи-

санных в форме (1.6), (1.7),

матрица D будет отсутство-

вать.

Так как прямая связь опи-

сывает бе зын ерц ио нн ый

ка на л связи, то данный уси-

литель является инерционным

элементом.

На рис. 1.9 и рис. 1.10 дано изображение с ра вн иваю ще го и су м-

мирую щег о элементов. Причем выходная переменная в случае сравни-

вающего элемента (рис. 1.9) равна

VVy −=

, а в

случае суммирующего элемента (рис. 1.10)

VVy +=

Структурная схема (см. рис. 1.7), соответст-

вующая уравнениям типа (1.6), (1.7), часто исполь-

зуется для физического моделирования динамиче-

ских систем с помощью специальных комплексов,

в состав которых входят интеграторы, сумматоры,

генераторы испытательных сигналов и начальных

условий. Примером такого комплекса является

аналоговый моделирующий комплекс АВК–6, по-

строенный на основе операционных усилителей.

Уравнение одномерной системы в переменных

состояния обычно записывают так

bgAxx

. (1.8)

,gxcy

β+=

(1.9)

где A – матрица; b и c – n-векторы,

– скаляр.

Модели вход-выход динамических систем. Эти модели описывают

связь только между входными воздействия-

ми и выходными величинами (рис. 1.11), т.е.

в этих моделях вектор состояния отсутству-

ет. Общий вид стационарной модели вход-

выход

g x

∫

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Рис. 1.11

0),,,,,,,(

)()(

gggyyyФ K

. (1.10)

Здесь

)(⋅Ф

– нелинейная вектор-функция, размерность которой равна

числу выходов системы, n – порядок системы, m – порядок старшей про-

изводной входных воздействий системы. Для моделей реальных динами-

ческих систем всегда выполняется соотношение

≤

, (1.11)

которое называется у сло ви ем физи ческ ой р еа ли зуемо сти этих

моделей. Это название связано с тем, что если некоторая модель (1.10)

удовлетворяет условию (1.11), то можно, как будет показано ниже, соз-

дать реальную систему, которая будет описываться данной моделью. В

противном случае, т.е. если модель (1.10) не удовлетворяет условию

(1.11), построить соответствующую систему невозможно.

Модель (1.10) является нелинейной моделью. Если рассматривается

одномерная система, то

)(

⋅

в (1.10) является скалярной функцией мно-

гих переменных. В общем случае среди аргументов функции Ф могут

быть и одно- или многократные интегралы от переменных.

Если

, то система (1.10) является безынерционной. В этом

случае выражение (1.10) вырождается в нелинейное алгебраическое

уравнение

0),(

. (1.12)

Если

≠

, то система будет инерционной. Например, уравнение

вход-выход бортовой качки корабля на тихой воде имеет вид

0)()()sgn()(

=−++ tMyfyyy

&&&&

, (1.13)

то есть является нелинейным. Однако на практике чаще используются

модели, которые представляют собой линейные дифференциальные

уравнения.

Пусть, как показано на рис. 1.12,

1dim

2 dim

то есть система имеет третий порядок,

один выход и два входа. Тогда линей-

ное дифференциальное уравнение ее

модели вход-выход может иметь сле-

дующий вид

Рис. 1.12

++=+++

bgbya

1111001

21220

bgb +++

. (1.14)

Здесь

jii

ba ,

– коэффициенты данного уравнения – параметры модели

и самой системы.

Если число выходов системы больше одного, то ее математическая

модель будет состоять из соответствующего числа уравнений типа (1.14)

(для каждой выходной переменной).

Запишем уравнение (1.14) в операторной форме, для чего введем

обозначения

K , , ,

===

В этих обозначениях уравнение (1.14) примет вид

)(

2221201

)(

1110

)(

)()( gpbpbbgpbby)apapap(a

pBpBpA

444 3444 21434214444 34444 21

++++=+++

. (1.15)

Часто полиномы от

в уравнениях такого типа обозначают как не-

которые операторы

),(pA

),(

pB ),(

как показано в предыдущем

выражении. В этом случае уравнение (1.15) принимает еще более ком-

пактный вид

.)()()(

2211

gpBgpBypA +=

(1.16)

Подчеркнем, что выражение (1.16) это все то же дифференциальное

уравнение (1.14), но записанное в операторной форме. Иногда

)(pA

на-

зывается собственным оператором, а

)(

– входными опе-

раторами динамической системы. Смысл этих названий ясен непосредст-

венно из уравнений (1.15) и (1.16).

Операторные передаточные функции. Уравнение (1.16) можно

записать следующим образом:

,)()(

2211

gpWgpWy +=

(1.17)

используя отношения

)(

pW =

, (1.18)

)(

pW =

. (1.19)

Соотношения (1.18) и (1.19) называются оп ерато рн ыми пер е-

дато чн ыми фу нк ция ми . Они используются для анализа динамиче-

ских систем и, в частности, для

составления структурных схем.

Для примера, на рис. 1.13 изо-

бражена структурная схема

системы, приведенной на рис.

1.12, в соответствии с опера-

торным уравнением (1.17).

Операторная форма

моделей вход-выход мно-

гомерных систем. Рассмот-

рим многомерную систему с двумя входами и двумя выходами. Ее урав-

нения в операторной форме имеют вид

.)()()(

,)()()(

2221212

2121111

gpBgpBypA

(1.20)

Отличительной особенностью уравнений этой модели является то,

что оператор перед всеми выходными величинами один и тот же –

)(pA

Он, как и ранее, называется со бс тве нн ым о пера то ром системы.

Операторы

)(pB

называются вх од ными о пер ат ора ми.

В векторно-матричной форме уравнения (1.20) записываются так

gpWg

pWpW

)(

)()(

2221

1211













. (1.21)

Здесь

)(pW

– скалярные функции, определяемые аналогично (1.18),

(1.19), т.е.

)(

(

)

(

)

Рис. 1.13

Матрица

)]([)( pWpW

ijyg

в (1.21) называется передаточной

матрицей системы.

Структурная схема многомерной системы, в соответствии с уравне-

нием (1.21), имеет вид, приведенный на рис. 1.14.

Связи

yg →

, описываемые передаточными функция-

ми

)( pW

, называются сепаратными каналами.

Связи

yg →

, описываемые передаточными функция-

ми

)( pW

≠

, называются перекрестными каналами многомерной

системы (1.20).

Модели вход-выход в изображениях по Лапласу. Недостатком

операторных передаточных функций является то, что они не учитывают

начальных значений переменных состояния, поэтому чаще используются

модели в изображениях по Лапласу.

Для получения этих моделей осуществляется переход в дифферен-

циальных уравнениях к изображениям по Лапласу с учетом начальных

условий.

С этой целью обычно сначала записываются изображения функций

и их производных по времени с учетом начальных условий [6, 7 ]:

)()(

pyty

→

)()(

yppyty −→

, (1.22)

)()( ypypypty

&&&

−−→

000

)()( yypyppypty

&&&&&&

−−−→

Здесь

– комплексная пе-

ременная преобразования Лапласа,

)(py

– изображение по Лапласу пе-

ременной

)(ty

Для примера перейдём к изобра-

жениям по Лапласу в уравнении (1.14).

Записывая изображения входных воздействий g

, g

и их производных, по

аналогии с выражениями (1.22), и подставляя их в (1.14), будем иметь

Рис. 1.14