Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы

Подождите немного. Документ загружается.

),()( xtftx

. (2.40)

Если правые части СДУ не зависят явно от

, т.е.

)()( xftx

или

),()( gxftx

, (2.41)

то такая СДУ называется системой с постоянными параметрами (иногда

её называют автономной или стационарной системой).

Далее мы чаще всего будем рассматривать системы вида (2.41).

Обычно вектор-функции в правых частях СДУ (2.39) – (2.41) тако-

вы, что в векторном пространстве

существует одна или несколько

точек

, т. е.

ax =

таких, что

0)(),(),,( ===

iii

afatfgatf

. (2.42)

В этих точках производные по времени всех переменных

)(txx

ni ,1=

, очевидно, одновременно обращаются в нуль. Такие точки назы-

ваются о со бым и то чкам и или по ло жен ия ми р ав нов еси я (см. па-

раграф 1.1) соответствующей системы.

Реше нием дифференциального уравнения (2.36) или (2.37) назы-

вается такая функция времени

)(tx

, которая при подстановке ее в диф-

ференциальное уравнение вместо x, обращает уравнение в тождество при

всех

≥

и удовлетворяет начальному условию вида

)0( xx =

. (2.43)

Здесь

– начальное значение решения

)(tx

[9].

Например, уравнение тиристорного усилителя (см. рис. 1.21)

Tkgyy /)(

−

, (2.44)

где

– постоянная величина, имеет решение

)1()(

ekgeyty

−−

−+=

. (2.45)

Здесь

– начальное значение выходной переменной тиристорного уси-

лителя.

Аналогично, р еш ение м СДУ (2.38) – (2.40) или (2.41) является век-

тор-функция времени

)(tx

, которая обращает СДУ в систему тождеств

при всех

≥

и удовлетворяет начальным условиям.

Как видно из выражения (2.45), само ДУ не полностью определяет

свое решение. Действительно, например, в случае уравнения (2.44), при-

давая различные значения величине

, мы будем получать различные

его решения, два из которых при

5,0

показаны на рис. 2.3.

Другими словами, для полного определения какого-либо решения

СДУ необходимо, кроме самой СДУ, задать вектор начальных условий

, который определяет значения решения

)(tx

при

Поскольку решение СДУ зависит и от начальных условий

, и от

возмущающей функции g, то его часто записывают так:

))(,,(

tgxtxx

– решение неоднородной СДУ,

),(

xtxx

– решение однородной СДУ.

Тогда при

получаем тождество

(

)

)0(,,0 xgxx

. (2.46)

Отметим, что СДУ в форме (2.38) – (2.41) называется нормальной фор-

мой СДУ или формой Коши. Задача отыскания решения СДУ, удовлетво-

ряющего, скажем (2.39) и (2.46), называется за дач ей Коши , а процесс

нахождения решения

))(,,(

tgxtxx

– инт егр иро ва ни ем СД У.

Если в решении

),(

xtxx

некоторой однородной СДУ заменить

вектор

вектором произвольных постоянных

cccc ][

, то

решение

),()( сtxtx

будет являться, так называемым, о бщи м реше -

нием однородной СДУ (2.40) или однородной СДУ, соответствующей

неоднородной СДУ (2.39). Фактически, общее решение – это множество

0,5

y = 0,5

y = 0

Рис. 2.3

или семейство решений СДУ, содержащее все без исключения решения

однородной СДУ. Эти решения отличаются друг от друга только лишь

значениями произвольных постоянных.

Функция

),0,( gtxx

называется ч аст ны м р еш ени ем, а

функция

),,( gctxx

– полным или просто реш ен ием не од но ро д-

ной СДУ (2.39).

Методов решения нелинейной задачи Коши, когда функции в пра-

вой части СДУ (2.38) – (2.41) имеют произвольный вид, не существует.

Более того, некоторые СДУ могут вообще не иметь решения, определен-

ного при всех

),0[

∞

∈

. Известен ряд методов решения, иногда сами

решения, но лишь для некоторых типов СДУ.

Приведем примеры простейших ДУ и СДУ, а также их решений [15].

Пример 2.4. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение

первого порядка и его решение:

)(tgx

∫

ττ+=

dgxgxtx

)(),,(

Пример 2.5. Нелинейное ДУ первого порядка в квазилинейной

форме и его решение:

xxfx )(

∫

ττ

dxf

exxtx

))((

),(

Пример 2.6. Линейное ДУ с переменным коэффициентом и его ре-

шение при

txx /

tcxtx =),(

где с – произвольная величина. Заметим, что здесь

, для всех ре-

шений. Графиками решений являются прямые линии, исходящие из на-

чала координат (см. рис. 2.4). Интересно, что при

≠x

решений данно-

го ДУ не существует.

Пример 2.7. Нелинейное ДУ с зависимой от времени правой частью

и его решение

xtx /

−

),( txxtx −±=

Решение данного уравнения, как видно на рис. 2.5, существует либо в

интервале времени

],0[

xt∈

, либо

],0[

xt −∈

и изменяется, либо

от

до нуля, либо от –

до нуля.

Пример 2.8. Система линейных дифференциальных уравнений (ли-

нейная СДУ):

2xx

−

. (2.47)

Решением этой системы является вектор













−

),(

xtx

где

– начальные значения переменных

Условия существования и единственности решений СДУ. В об-

щем случае СДУ, как видно из приведенных выше примеров, могут

иметь единственное решение, проходящее через заданную начальную

точку (примеры 2.4 или 2.8), а могут иметь несколько решений, прохо-

дящих через одну точку (см. пример 2.6, 2.7; рис. 2.4, 2.5).

Рис. 2.4 Рис. 2.5

С точки зрения качества описания той или иной динамической сис-

темы ее моделью в виде СДУ очень важно имеет ли СДУ единственное

решение или нет? Если решение единственное, то данная модель, оче-

видно, однозначно описывает движение динамической системы при тех

или иных начальных значениях, как, например, в случае СДУ (2.47). Если

же решение СДУ не единственное, то сказать каково же будет движение

-x

реальной динамической системы невозможно, так как невозможно опре-

делить какое из найденных решений СДУ отвечает действительному

движению системы. Так, например, в случае СДУ из примера 2.6, нет

никакой возможности определить по заданной модели и начальному ус-

ловию

с какой же скоростью будет изменяться переменная

)(tx

реальной системе?

Условия, при которых СДУ имеет единственное решение, проходя-

щее через заданную точку, называются условиями существования и

единственности решений. Известно несколько видов условий существо-

вания и единственности решений СДУ [13, 15].

Чаще всего используются следующие условия.

СДУ (2.40) и ме ет е дин стве нное решение в некоторой окрест-

ности начальных значений, если одновременно выполняются следующие

условия:

а) все функции

),,,(

21 nii

xxxtff

ni ,1=

непрерывны в той же

окрестности начальных значений, т.е.

),0(),0(lim

xfxf

∆

→∆

→δ

; (2.48)

б) выполнены условия Липшица по всем аргументам

xxx , ,

в той же окрестности, т.е. существует константа Липши-

ца N такая, что

( ) ( )

∑

−≤−

iiii

zxNztfxtf

. (2.49)

Условие (2.49) можно заменить более жестким условием – ограни-

ченности в той же окрестности частных производных функций

),,,(

21 nii

xxxtff

по переменным

, т.е.

∞<≤

∂

xtf

),(

nji ,1, =

, (2.50)

где C – некоторая константа.

Вектор x в СДУ (2.39) или (2.40) с точки зрения теории систем явля-

ется вектором состояний. Поэтому пространство, по осям координат ко-

торого отложены значения переменных

)( ),( ),(

txtxtx

в каж-

дый момент времени t, называется пространством состояний. Его можно

обозначить символом {x}. Решение

),(

xtxx =

некоторой однородной

СДУ определяет в пространстве состояний {x} некоторую кривую, про-

ходящую через точку

при

. Эта кривая называется траекторией

или интегральной кривой системы.

Если в пространстве состояний ввести еще одну ось и откладывать

на ней значения времени t, то получится

-мерное пространство {x,t}.

Указанные пространства позволяют дать наглядную интерпретацию ус-

ловий существования и единственности решений СДУ с постоянными и

переменным параметрами.

Если условия существования и единственности (2.48) и (2.49) или

(2.48) и (2.50) выполнены, то в случае однородной СДУ с постоянными

параметрами (2.41) через каждую точку и в пространстве состояний {x},

и в пространстве {x,t} проходит единственная интегральная кривая (тра-

ектория), как показано на рис. 2.6 и рис. 2.7 (при

Другими словами, при выполнении условий существования и един-

ственности (2.48) и (2.49) или (2.48) и (2.50) траектории однородной СДУ

с постоянными параметрами (2.41) никогда не пересекаются.

Если же хотя бы одно из условий (2.48) или (2.49) не выполняется,

то через одну точку и пространства состояний {x} и пространства {x,t}

может проходить несколько траекторий (см. рис. 2.8), т.е. траектории

могут пересекаться (как, например, в точке а на рис. 2.8).

Рис. 2.6 Рис. 2.7 Рис. 2.8

Совершенно иная ситуация имеет место в случае однородной СДУ с

переменными параметрами (2.40). Здесь при выполнении условий (2.48) и

(2.49) или (2.48) и (2.50) траектории не пересекаются только в простран-

стве {x,t}, как показано на рис. 2.9,а. В пространстве же состояний {x}

они могут пересекаться (рис. 2.9,б).

x''

Первый интеграл. Понятие первого интеграла относится к одно-

родным СДУ вида (2.40) или (2.41). Пер вым и нтегр ало м СДУ назы-

вается функция

),(),,,(

xtxxxt

ϕ=ϕ K

(2.51)

определенная и непрерывная вместе со своими частными производными,

если при подстановке в нее произвольного решения

),(

xtxx =

мы по-

лучаем постоянную относительно t величину, т.е. функция

)),(,(

xtxtϕ

зависит только от

и не зависит от t. Это означает, что функция

),( xt

(2.51) удовлетворяет условию

0)(

),(),(

∑

∂

=ϕ

, (2.52)

где

)(])()()([

xfxfxfxf

– правая часть СДУ (2.41).

Здесь (и далее)

∂

ϕ∂

x∂

ϕ∂

– обозначение частной производной от

функции

),,,(

21 n

xxxt

нескольких переменных по одной из этих пе-

ременных.

Справедливо и обратное утверждение: всякая функция

),,,(

21 n

xxxt

, удовлетворяющая условию (2.52), является первым

интегралом однородной СДУ (2.41) [14, 15].

а) б)

Рис. 2.9

Первые интегралы находят широкое применение при исследовании

СДУ. В частности они могут быть применены для понижения порядка

СДУ. Действительно, в силу определения первого интеграла при всех t

имеет место равенство

сxxxt

=ϕ ),,,(

, (2.53)

где

– некоторая константа. Следовательно, с помощью (2.53) можно

выразить одну из переменных

ni ,1=

через остальные. Если теперь

полученное выражение подставить в СДУ, то число неизвестных в ней

окажется на единицу меньше. Если известно несколько – m первых инте-

гралов, причем

, то аналогичным путем можно понизить порядок

СДУ до величины

−

Первый интеграл обладает следующим интересным свойством. Ра-

венство (2.53) при фиксированном c определяет в

-мерном про-

странстве {x,t} некоторую поверхность. Оказывается, имеет место сле-

дующее. Если какая либо интегральная кривая некоторой СДУ имеет с

этой поверхностью хотя бы одну общую точку, то вся эта кривая лежит

на этой поверхности.

Приведем примеры первых интегралов СДУ [15].

Пример 2.9. Для линейной системы

213

132

321

xxx

−=

(2.54)

найти несколько первых интегралов.

Решение. Сложив уравнения (2.54) друг с другом, получим

211332321

xxxxxxxxx −+−+−=++

&&&

или

)(

321

xxxd

. (2.55)

Следовательно,

1321

cxxx =++

, (2.56)

где

– некоторая постоянная величина.

Сравнивая равенство (2.56) с (2.53) или (2.55) с (2.52), заключаем,

что функция

321

)( xxxx ++=ϕ

является первым интегралом системы

линейных дифференциальных уравнений (2.54).

В данном случае можно найти еще один первый интеграл. С этой

целью умножим первое уравнение в (2.54) на

, второе на

, а третье на

, а затем снова сложим эти уравнения. В результате получим

332211

=++ xxxxxx

&&&

Левая часть этого равенства с учетом yравнений (2.54) является,

очевидно, половиной производной по времени от суммы

)(

xxx ++

, т.е.

)(

xxxd

Следовательно, снова имеем равенство

cxxx =++

, (2.57)

где

– другая постоянная величина. Из равенства (2.57) следует, что

функция

)( xxxx ++=ϕ

– также является первым интегралом

линейной СДУ (2.54).

Отметим, что задача построения первых интегралов СДУ в общем слу-

чае чрезвычайна сложна. Некоторые приемы построения первых интегралов,

в ряде частных случаев правых частей СДУ, приводятся в [14, 15].

Как отмечалось выше, наличие нескольких первых интегралов неко-

торой СДУ позволяет понизить ее порядок. Покажем эту возможность на

примере.

Пример 2.10. Возвращаясь к рассмотренному примеру СДУ (2.54)

выразим из равенств (2.56) и (2.57) переменные

через

. После некоторых преобразований найдем

111

232

ccxxc

x −+−+

−

, (2.58)

111

232

ccxxc

x −+−−

−

. (2.59)

Подставляя полученные выражения в первое уравнение (2.54), получим

1111

232 ccxxcx −+−=

. (2.60)

Отметим, что

фактически произвольные постоянные. По-

этому с учетом начального условия

для переменной

система

уравнений (2.58) – (2.60), как и система (2.54), тоже содержит три произ-

вольных постоянных. Однако как дифференциальная система она имеет

порядок равный единице, что на два меньше по сравнению с порядком

СДУ (2.54). Это понижение порядка достигнуто, благодаря использова-

нию двух первых интегралов (2.56) и (2.57) данной системы дифферен-

циальных уравнений.

Независимость первых интегралов. В общем случае для каждой

СДУ можно построить много различных по виду первых интегралов. Од-

нако часть из них может являться просто комбинацией некоторых других

первых интегралов. Поэтому вводится понятие независимости первых

интегралов.

Пусть точка a не является положением равновесия (см. определение

(2.42)) однородной СДУ (2.41), т.е.

0)(

≠

Предположим для системы (2.41) построено k – первых интегралов:

)(

Определение. Пусть однородная СДУ (2.41) порядка n имеет k пер-

вых интегралов. Тогда они называются н еза ви си мы ми в то чк е a или

просто независимыми, если функциональная

матрица













∂

ϕ∂

=ax

)(

(2.61)

имеет ранг равный k.

По отношению к первым интегралам СДУ справедливо следующее

утверждение.

Утверждение 2.1. Для СДУ (2.41) порядка n, удовлетворяющей усло-

виям существования и единственности решений (2.48), (2.49) или (2.48),

(2.50), существует не более

−

независимых первых интегралов.

Другими словами, если для некоторой СДУ, скажем, 3-го порядка,

построено, например, 4 первых интеграла, то два из них всегда являются