Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
201
Если матрица
н
A
является неособенной, т.е.
0det
н
≠A
, то интеграл
в (5.25) (см. § 2.3) можно взять в символьной форме.
В результате получим
∫
τ
τ
−
−
−
=−==
и
и
нн
0
ин
0
)(
1
нин
)(
kbeAkdvbeb
vTAvTA
ин
)(
-1
н
)(
нин
kbeeA
TATA
−−=
τ−
.
(5.26)
Если же матрица
н
A
является особенной, т. е.
0det
н
=A
, то инте-
грал в (5.25) необходимо вычислять путем интегрирования элементов
подынтегральной матрицы.
Разностные уравнения (5.23), (5.24) называются уравнениями ра-
зомкнутой дискретной системы. Для вывода уравнений замкнутой систе-
мы учтем, что в соответствии со схемой на рис. 5.2,
][][][ kykgk
−
=
ε
.
Подставляя это выражение в (5.23) с учетом уравнения выхода (5.24),
будем иметь
][][)(][][][]1[ kgbkxcbAkxcbkgbkxAkx
TT
+−=−+=+
или
][][]1[ kbgkAxkx
+
=
+
, (5.27)
][][ kxcky
T
=
, (5.28)
где
bbcbAA
T
=−= ,
. (5.29)
Выражения (5.27), (5.28) являются математической моделью систе-
мы, схема которой приведена на рис. 5.2. Как видно, эти уравнения
включают лишь дискретные значения переменных. Поэтому они являют-
ся разностными.
По аналогии с непрерывным случаем, равенство (5.27) называется
ра зно стн ым ура внени ем с ос то ян ия, а
][kx
– вектором состояния
дискретной динамической системы. Алгебраическое равенство (5.28) на-
зывается ур авнени ем в ых од ов.
Решения
][kx
,
][ky
этих уравнений являются решетчатыми функ-
циями и определяют лишь дискретные значения переменных рассматри-
ваемой динамической системы, обусловленные дискретными значениями
202
][kg
внешнего воздействия. Поэтому, импульсные системы, структурная
схема которых соответствует рис. 5.2, фактически, являются дискретны-
ми системами.
Пример 5.1. Найти уравнения системы (рис. 5.2), в которой им-
пульсный элемент формирует прямоугольные импульсы с параметрами:
с5,0
и
=τ
,
cT
1
=
. Причем
1
и
=
k
, а уравнения непрерывной части
и
2
1
10
02
uxx
+
−
−
=
&
,
[
]
xy 11=
.
Решение. Матрица
н
A
непрерывной части диагональная, поэтому
по формуле (2.113)
=
−
−
t
t
tA
e
e
е
0
0
2
н
.
Подставляя найденную матрицу
tA
e
н
в формулы (5.25) и (5.26), бу-
дем иметь
=
==
−
−
368.00
0135.0
0
0
1
2
e
e
eA
TA
н
,
=
477.0
116.0
b
,
=
1
1
с
.
Затем с помощью соотношений (5.29) найдем вектор b, матрицу
−−
−
=
109.0477.0
116.0019.0
A
,
и запишем по (5.27), (5.28) уравнения системы в переменных состояния
][
477.0
116.0
][
109.0477.0
116.0019.0
]1[
kgkxkx
+
−−
−
=+
, (5.30)
[
]
][11][
kxky
=
. (5.31)
Как видно уравнения в переменных состояния дискретных динами-
ческих систем по форме совпадают с уравнениями непрерывных систем.
Однако они являются, в общем случае, системой разностных уравнений.
Как и в непрерывном случае, по уравнениям в переменных состояния
203
дискретных систем можно найти соответствующие уравнения вход-
выход.
С этой целью перейдем в уравнениях (5.30), (5.31) к z-изображениям
при нулевых начальных условиях. Это дает
)(
477.0
116.0
)(
109.0477.0
116.0019.0
)( zgzxzzx
+
−−
−
=
,
)(]11[)( zxzy =
. (5.32)
Отсюда
)(
477.0
116.0
109.0477.0
116.0019.0
)(
1
zg
z
z
zx
+
−
=
−
,
Вычислив с помощью формулы (2.7) обратную матрицу, найдем вы-
ражение для
)(zx
и, подставив его в равенство (5.32), получим
)()107,0593,0()()574,009,0(
2
zgzzyzz −=−+
.
Чтобы получить уравнение дискретной системы в оригиналах ум-
ножим обе части полученного выражения на
2−
z
, раскроем скобки и пе-
рейдем к оригиналам с помощью соотношения (5.13) при
2,1
=
m
. В ре-
зультате будем иметь
]2[107,0]1[593,0]2[574,0]1[09,0][
−
−
−
=
−
−
−
+
kgkgkуkуkу
.
(5.33)
Полученное выражение (5.33) является искомым уравнением вход-
выход рассматриваемой дискретной системы. Как и уравнения (5.30),
(5.31), оно включает дискретные значения переменных и поэтому являет-
ся разностным уравнением.
Для исследования свойств дискретных динамических систем, как и в
непрерывном случае, необходим анализ решений уравнений дискретных
систем.
Прейдем к рассмотрению методов получения решений разностных
уравнений дискретных динамических систем.
204
§ 5.3. Решение разностных уравнений
В общем случае р аз но ст ным ур ав не нием называется соотноше-
ние, связывающее решетчатую функцию
][ky
и ее разности до некото-
рого порядка
n
, т.е. соотношение вида
0])[],...,[],[,( =∆∆Φ kykykyk
n
.
Используя соотношения (5.6), это выражение можно всегда преобра-
зовать к виду
(
)
0][],...,1[],[,
1
=−−Φ nkykykyk
. (5.34)
Поэтому порядок разностного уравнения в форме (5.34) равен наи-
большей разности аргументов решетчатой функции в этом выражении:
nnkk
=
−
−
)(
. Выражение (5.34) – это однородное нелинейное разност-
ное уравнение. В дальнейшем будут рассматриваться лишь линейные
разностные уравнения с постоянными коэффициентами
][][]1[...]1[][
011
kgnkyankyakyakya
nn
=−++−++−+
−
, (5.35)
которые могут представлять, как показано выше, математические модели
вход-выход дискретных динамических систем.
Равенство (5.35) называется линейным н ео днор од ным ра зно-
ст ным уравнением. Если же
0][
≡
kg
, то это равенство (5.35) будет
одно ро дны м разностным уравнением.
Для определенности решения уравнений (5.34) или (5.35) необходи-
мо задать
n
начальных условий:
10
]1[
−
=−
yky
,
20
]2[
−
=−
yky
, …,
n
ynky
−
=−
][
0
. (5.36)
Здесь
0
k
– начало отсчета переменной
k
.
Реше нием ра зно ст ног о у рав нен ия называется решетчатая
функция
][
ky
, которая удовлетворяет заданным начальным условиям и
обращает разностное уравнение в тождество.
Рекуррентный метод решения разностных уравнений. Самый
простой способ решения разностного уравнения – рекуррентный. Он со-
стоит в том, что из заданного уравнения (например, (5.35)) выражается
искомая функция
(
)
][...]1[][][
01
1
nkyakyakgaky
nn
−−−−−=
−
−
. (5.37)
205
Полагая здесь последовательно
0
kk =
,
1
0
+= kk
, … и выполняя
необходимые вычисления, находим рекуррентно (друг за другом) соот-
ветствующие значения решения. При этом решение в
ik +
0
момент вре-
мени определяется значением входной функции
][
0
ikg +
, а также
n
предыдущими значениями искомого решения.
Так, при
0
kk
=
из (5.37) имеем
(
)
][]1[...]1[][][
0001010
1
0
nkyankyakyakgaky
nn
−−+−−−−−=
−
−
или с учетом заданных начальных условий (5.36)
(
)
]...][][
011110
1
0 nnnn
yayayakgaky
−+−−−
−
−−−−=
.
Аналогично при
1
0
+= kk
имеем
(
)
]1[]2[...][]1[]1[
0001010
1
0
+−−+−−−−+=+
−
−
nkyankyakyakgaky
nn
,
где используется вычисленное на предыдущем шаге значение
][
0
ky
. Да-
лее этот процесс может продолжаться, как угодно долго.
Пример 5.2. Решить разностное уравнение
][15,2]3[5,0]2[]1[2][ kkykykyky
⋅
=
−
+
−
−
−
+
при
0
0
=k
;
1]1[
=
−
y
;
5,1]2[
=
−
y
;
2]3[
=
−
y
. Здесь
][1 k
– решетча-
тая ступенчатая единичная функция.
Решение. Согласно (5.37) в данном случае
]3[5,0]2[]1[2][15,2][
−
−
−
+
−
−
⋅
=
kykykykky
.
Полагая последовательно
...,3,2,1,0
=
k
, получим
1]0[
=
y
;
75,0]1[
=
y
;
5,1]2[
=
y
;
25,0]3[
−
=
y
; …
Решение разностных уравнений методом z-преобразования. В
этом случае используются или соотношения (5.11) – (5.17), или таблицы,
содержащие z-изображения простейших функций (см. П.7), или анало-
гичные таблицы (см., например, [6]). Рассмотрим особенности этого ме-
тода также на численном примере.
206
Пример 5.3. Решить уравнение
][12]2[15,0]1[8,0][ kkykyky
⋅
=
−
+
−
−
, (5.38)
при
0
0
=k
и
0]1[
=
−
y
,
0]2[
=
−
y
.
Решение. Переходя в (5.38) к z-изображениям с помощью равенств
(5.11), (5.13) и таблицы из приложения П.7, получим
1
2)(15,0)(8,0)(
21
−
=+−
−−
z
z
zyzzyzzy
.
Отсюда
)15,08,0)(1(
2
)(
2
3
+−−
=
zzz
z
zy
. (5.39)
Решение уравнения
0)15,08,0)(1(
2
=+−− zzz
определяет нули
знаменателя в (5.39):
1
1
=z
,
5,0
2
=z
,
3,0
3
=z
. Следовательно, выраже-
ние (5.39) можно записать в виде
−
+
−
+
−
=
3,05,01
)(
z
C
z
B
z
A
zzy
, (5.40)
где A, B, C – неопределённые коэффициенты. Множитель
z
выносится
из правой части (5.39), так как все z-изображения (см. П.7) содержат
z
в
виде множителя.
Умножая последовательно правые части (5.39) и (5.40) на
)(
i
zz −
и
полагая
i
zz =
,
3,2,1
=
i
, найдём
714,5
=
A
,
5
−
=
B
,
286,1
=
C
. Поэто-
му из (5.40) следует
3,0
286,1
5,0
5
1
714,5)(
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
z
zy
. (5.41)
Сравнивая правую часть (5.41) с последним столбцом таблицы из
приложения П.7, заключаем, что искомое решение уравнения (5.38)
имеет вид
kk
kky 3,0286,15,05][1714,5][ ⋅+⋅−⋅=
. (5.42)
Полученное выражение является гораздо более удобным по сравне-
нию с рекуррентным соотношением (5.37), так как позволяет сразу найти
207
значение решения
][ky
при любом значении k. Например, согласно
(5.42):
2]0[
=
y
,
560875,5]5[
=
y
, а
709125,5]10[
=
y
.
Более того, применяя к выражению (5.39) теоремы (5.14) о предель-
ных значениях, будем иметь
2]0[
=
y
,
714,5=
∞
y
. Это позволяет с од-
ной стороны, оценить правильность полученного решения разностного
уравнения, а с другой – найти начальное
]0[y
и конечное
∞
y
значения
без решения разностного уравнения. Такая возможность доставляемая z-
преобразованием имеет большое значение, например, при исследовании
точности дискретных динамических систем.
§ 5.4. Решение систем разностных уравнений
Выше, на примере одномерной системы было показано, что матема-
тические модели импульсных и дискретных динамических систем в пе-
ременных состояния представляют собой системы разностных линейных
уравнений типа (5.27), (5.28). В многомерном случае эти уравнения име-
ют следующий вид
][][]1[ kBgkAxkx
+
=
+
, (5.43)
][][ kCxky
=
. (5.44)
Здесь
T
n
kxkxkxkx ]][][][[][
21
K=
– вектор-столбец размерности
n, описывающий состояние системы;
][kg
и
][ky
– векторы входных
воздействий и выходных величин; A, B, C – матрицы коэффициентов,
соответствующих размерностей.
Каждое решение системы (5.43), (5.44) определяется вектором
][kg
и вектором начальных значений
T
n
xxxx ]]0[]0[]0[[]0[
21
K=
.
Проще всего решение системы (5.43) получить рассмотренным вы-
ше рекуррентным методом. Действительно, предположим векторы
][kg
и
]0[x
заданы. Тогда согласно (5.43) имеем
]0[]0[]1[ BgAxx
+
=
,
]1[]0[]0[]1[]1[]2[
2
BgABgxABgAxx ++=+=
,
]2[]1[]0[]0[]2[]2[]3[
23
BgABgBgAxABgAxx +++=+=
,
M
208
Аналогично
∑
+=
−
=
−−
1
0
1
][]0[][
k
i
ikk
iBgAxAkx
, (5.45)
или
∑
−−+=
−
=
1
0
]1[]0[][
k
i
ik
ikBgAxAkx
. (5.46)
Уравнения (5.43), (5.44), очевидно, являются дискретным аналогом
непрерывных уравнений (2.127), (2.128) в форме Коши, а равенства
(5.45), (5.46) – дискретным аналогом формулы Коши (2.132).
Если в уравнении (5.43) функция
0][
≡
kg
, то его решение
]0[][ xAkx
k
св
=
описывает движение свободной системы под влиянием её начальных ус-
ловий. При этом матрица
k
A
описывает изменение состояния дискрет-
ной системы (5.43) на интервале времени
],0[
kT
, поэтому она называет-
ся пе рех одн ой ма три це й д иск ретны х сист ем.
Подставив (5.46) в уравнение выходов (5.44), получим формулу для
вычисления значений вектора выходных переменных
∑
−−+=
−
=
1
0
]1[]0[][
k
i
ik
ikBgCAxCAky
или
∑
+=
−
=
−−
1
0
10
k
i
ik
ik
k
BgCAxCAy
(5.47)
где
T
n
xxxx
][
020100
K=
– вектор начальных значений переменных
состояния дискретной системы (5.43), (5.44).
Здесь используется, указанное выше, общепринятое сокращенное
обозначение решетчатых функций:
k
xkx =][
,
ik
gikg
−
=− ][
,
ik
yiky
+
=+ ][
и т.д.
Формулы (5.45) – (5.47) достаточно сложны для проведения анали-
тических исследований. Однако в ряде случаев они позволяют получить
простые соотношения. Например, если
][1
0
kgg
k
=
, где
0
g
– постоян-
ный вектор, то имеем
209
0
121
1
0
1
][ BgEAAABgA
kk
k
i
i
ik
++++=
−−
−
=
−−
∑
K
. (5.48)
Если матрица
E
A
−
имеет обратную, то есть если
0)det(
≠
−
EA
,
то, применяя к сумме в квадратных скобках формулу для суммы
k
чле-
нов геометрической прогрессии, первый член которой равен E, а знаме-
натель A, и подставляя (5.48) в (5.45) и (5.47), будем иметь
0
1
0
))(( BgEAEAxAx
kk
k
−
−−+=
,
0
1
0
))(( BgEAEACxCAy
kk
k
−
−−+=
или
0
1
0
1
0
)(])([ BgEACBgEAxCAy
k
k
−−
−−−+=
. (5.49)
Первое слагаемое в выражении (5.49) описывает переходную со-
ставляющую. Она, очевидно, затухает с увеличением k, если только
0lim =
k
A
при
∞
→
k
. Второе слагаемое – вынужденная составляющая
реакции системы (5.43), (5.44) на постоянное по величине дискретное
воздействие.
Система разностных уравнений (5.43), (5.44) может быть разрешена
также с помощью z-преобразования. Методика решения в этом случае
практически не отличается от изложенной выше при решении одиночных
разностных уравнений (см. пример 5.3), за исключением того, что ре-
зультатом решения здесь могут быть решетчатые векторные функции.
Поэтому приведём лишь основные расчётные соотношения для много-
мерного случая и численный пример.
Прежде всего, перейдём к z-изображениям в (5.43), (5.44) с приме-
нением теоремы (5.12) при
1
=
m
, и сгруппируем слагаемые, содержащие
)(zx
. В результате получим
)()()(
0
zBgzxzxAzE +=−
, (5.50)
)()( zCxzy
=
. (5.51)
Из (5.50) выводим
))(()()(
0
1
zBgzxAzEzx +−=
−
или с учётом формулы (2.6) для обратной матрицы
210
)(det
))()((
)(
0
AzE
zBgzxAzEadj
zx
−
+−
=
. (5.52)
Далее, подставляя
)(zx
в равенство (5.51), получим
)(det
))()((C
)(
0
AzE
zBgzxAzEadj
zy
−
+−
=
. (5.53)
Применяя формулы обращения z-преобразования (5.15) – (5.17) к
выражениям (5.52) и (5.53), можно найти вектор переменных состояния
k
x
и вектор выходов
k
y
при заданных векторах
0
x
и
k
g
.
Пример 5.4. Методом z-преобразования найти функции, описываю-
щие изменения состояния и реакцию системы, заданной уравнениями
kkk
gxx
−
+
=
+
1
1
2,00
13,0
1
, (5.54)
[
]
kk
xy
12 −=
, (5.55)
если
T
x ]22[
0
=
, а
][1 kg
k
=
.
Решение. В данном случае в соответствии с таблицей, приведенной
в приложении П.7,
)1()( −= zzzg
. Имея в виду формулу (5.52), найдем
матрицу
−
−−
=−
2,00
13,0
)(
z
z
AzE
,
а затем
)2,0)(3,0()det(
−
−
=
−
zzAzE
. Для построения матрицы
)( AzEadj
−
запишем транспонированную матрицу
−−
−
=−
2,01
03,0
)(
z
z
AzE
T
и найдём алгебраические дополнения
ji
m
(см. П.1.20) каждого её ij-го
элемента:
2,0
11
−= zm
,
1
12
=m
,
0
21
=m
,
3,0
22
−= zm
.