Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
221
.2;1;0
10
20
det)1(
3332
4
31
=ξ−=ξ=
−=ξ
Следовательно, матрица
1−
A
в данном случае равна
.
210
530
001
1
−
−=
−
A
Отметим, что при больших
n
вычисление определителей стано-
вится весьма трудоемким, поэтому более рациональным путем вычис-
ления обратной матрицы является использование алгоритма Гаусса
(см. П.2.8).
В общем виде обратную матрицу удается найти только для неко-
торых типов матриц.
П.1.21. В частности, если
][
ii
adiagA
=
, и все
0≠
ii
a
, то
][
11 −−
=
ii
adiagA
.
П.1.22. Если А квадратная матрица, а
p
– целое положительное чис-
ло, то степень матрицы
pAAAA
p
−= K
раз
При этом
;
qpqp
AAA
−−
=
qpqp
AA
⋅
=)(
. Если
BA
AB
=
, т.е. мат-
рицы
A
и
B
перестановочные, то
ppppp
ABBAAB ==)(
.
П.1.23. Если матрица
A
является сопр ово жд ающ ей [4, 12], т.е.
,
...
1...000
.......
0...100
0...010
1210
α−α−α−α−
=
−n
A
(П.6)
и
0
0
≠
α
, то матрица
222
α
α
α
α−α−α−α−
α
=
−
−
0000
.....
0000
0000
1
1
0
0
0
1321
0
1
K
K
K
K
K
n
A
. (П.7)
Пусть, произвольные матрицы
A
,
B
, С,
D
и
H
связаны ра-
венством
BCDAH
+
=
причем матрицы
A
и
C
имеют обратные. Тогда матрицу
1−
H
можно
вычислить по формуле
111111
][
−−−−−−
+−=
DACBDABAAH
.
П.1.24. Пусть
n
ααα ,,,
10
K
есть некоторые числа, а
A
– квадратная
матрица. Тогда выражение
01
1
1
)( α+α++α+α=ϕ
−
−
AAAA
n
n
n
n
K
называется многочленом от матрицы А.
П.1.25. Клеточные матрицы [4]. Если матрицу
A
разбить систе-
мой горизонтальных и вертикальных прямых на части, то их можно рас-
сматривать как элементы матрицы
A
. Например,
,
|
|
____________
|
2221
1211
333231
232221
131211
=
=
AA
AA
aaa
aaa
aaa
A
где
];[
1211
aaA =
];[
1312
aA =
;
3231
2221
21
=
aa
aa
A
=
33
23
22
a
a
A
.
Эти части называются к ле ткам и матрицы
A
. Матрица, разбитая
на клетки, называется кл ето чно й матрицей. Действия над клеточными
223
матрицами выполняются по тем же правилам, что и над простыми мат-
рицами.
Например, если
α
– число, а матрицы
;
2221
1211
=
AA
AA
A
,
2221
1211
=
BB
BB
B
то
;
2221
1211
=
AA
AA
A
αα
αα
α
.
2222122121221121
2212121121121111
++
++
=
BABABABA
BABABABA
AB
П.1.26. Определитель клеточной матрицы. Если
0det
≠
A
, то
),det(detdet
1
BCADA
DC
BA
−
−⋅=
(П.8)
или если
0det
≠
D
, то
).det(detdet
1
CBDAD
DC
BA
−
−⋅=
(П.9)
П.1.27. Обратная клеточной матрицы
−
−+
=
−−−
−−−−−
−
111
11111
1
HCAH
BHACABHAA
DC
BA
, (П.10)
.
1
BCADH
−
−=
(П.11)
П.1.28. Союзная клеточной матрицы
.
)()(
)()()(det
1
α−
−α+
=
−
adjHCadjAadjH
BadjHadjACadjAadjHBadjAHadjA
DC
BA
adj
(П.12)
224
Здесь
,0)(det
≠
=
α
A
а матрица
H
, по-прежнему, определяется соот-
ношением (П.11).
П. 1.29. Клеточная матрица
,
...00
......
0...0
0...0
22
11
=
nn
A
A
A
A
где клетки
ii
A
,
ni
...,,2,1
=
, – квадратные, называется р ас пав шей ся.
Распавшаяся матрица
A
есть прямая сумма матриц
11
A
, …,
nn
A
.
П.1.30. Прям ая сум ма матриц записывается так
nn
AAAA ⊕⊕⊕= ...
2211
.
При прямом суммировании размерность суммарной матрицы равна сумме
размерностей слагаемых.
П.1.31. Клеточная матрица, у которой
0=
ik
A
только при
ki
>
или
ik
>
, называется полу рас па вше йся матрицей.
Если А – распавшаяся или полураспавшаяся матрица, то
.det...detdetdet
2211 nn
AAAA =
П.1.32. Под норм ой
A
матрицы
[
]
ik
aA =
понимается одно из
следующих неотрицательных чисел:
;max
1
∑
=
k
ik
i
aA
;max
2
∑
=
i
ik
k
aA
2/1
,
2
3
}{
∑
=
ki
ik
aA
– ( е вк лидова нор ма).
П.1.33. Норма вектора
][
i
aa =
есть одно из чисел
225
225
i
i
aa max
1
=
;
∑
=
i
i
aa
2
;
2/1
2
3
}{
∑
=
i
i
aa
.
Для нормы справедливы соотношения:
;00 ==
,AA α=α
);( число
−
α
1111
aaA ==
.
;BAAB ≤
;Aa
ik
≤
.BABA +≤+
В П.1.32 и П.1.33 обозначение
ik
a
это обозначение м одуля вели-
чины
ik
a
.
П.2. Линейная независимость. Ранг матрицы
П. 2.1. Набор
n
векторов
1
a
, … ,
n
a
одинаковой длины m называ-
ется ли ней но не за ви сим ым, если из равенства
0...
2211
=+++
nn
axaxax
(П.13)
следует
.0...
21
=+++
n
xxx
Если из равенства (П.13) следует
0...
21
≠+++
n
xxx
,
то указанный набор называется ли не йно за ви сим ым .
Набор
n
векторов длины
m
может быть линейно независимым, ес-
ли только
n
m
≥
.
Если
1
=
n
, то набор будет линейно независимым, если только век-
тор набора не нулевой. Набор, состоящий из одного нулевого вектора,
всегда линейно зависим.
Очень часто пользуются другими формулировками условий линей-
ной зависимости и независимости векторов, которые являются эквива-
лентными формулировке, приведенной в П.2.1.
П.2.2. Если векторы
n
aa ...,,
1
составляют линейно зависимый на-
бор, то один из векторов
i
a
может быть представлен как л ине йн ая
ко мб инаци я остальных
1
−
n
векторов, т.е.
226
∑
α=
≠ik
kki
aa ,
где
k
α
– числа, не все равные нулю.
П.2.3. Условие (П.13) можно записать в виде следующей системы
алгебраических уравнений:
;0...
1212111
=+++
nn
axaxax
;0...
2222121
=+++
nn
axaxax
………………………………. (П.14)
;0...
2211
=+++
nmnmm
axaxax
Если векторы
n
aa ,...,
1
являются строками некоторой
m
n
×
мат-
рицы
][
ik
aA =
, то в матричной форме равенства (П.14) принимают вид
0=xA
T
или
.0=Ax
T
В этом случае говорят о линейной зависимости строк или столбцов
матрицы
A
. В терминах строк и столбцов матрицы
A
условия линейной
зависимости и независимости формулируются так:
П.2.4. Если векторы
n
aa ,...,
1
составляют линейно независимый
набор, то при
m
n
≤
из столбцов матрицы
][
ik
aA =
можно составить
n
n
×
определитель, не равный нулю.
П.2.5. Если строки или столбцы
n
n
×
матрицы А линейно неза-
висимы, то
0det
≠
A
,
т.е. матрица
A
– неособенная. В противном случае
0det
=
A
.
П.2.6. Если строки или столбцы комплекснозначной матрицы ли-
нейно зависимы, то существует ненулевой вектор
a
такой, что
.0
*
≠Aa
227
П.2.7. Р анго м
m
n
×
матрицы
A
называется наибольшее число
ρ
ее строк или столбцов, составляющих линейно независимый набор. Оче-
видно,
).,min(][ mnA
≤
ρ
Ранг
m
n
×
матрицы А равен также наибольшему порядку
r
не рав-
ного нулю определителя, составленного из элементов, стоящих на пере-
сечении определенных
r
строк и
r
столбцов этой матрицы.
Неособенная
n
n
×
матрица имеет ранг, равный
n
.
П.2.8. Система линейных уравнений
;...
11122111
baxaxax
mm
=+++
;...
22222211
baxaxax
mm
=+++
………………………………. (П.15)
;...
2211 nnmmnn
baxaxax =+++
или, что то же самое,
bAx
=
имеет решение, если только
][],[
AbA
ρ
=
ρ
. В частности, если
n
m
=
и
nA
=
ρ
][
, то система (П.15) имеет единственное решение
bAx
1−
=
, где
1
−
A
– обратная матрица (см. П. 1.20).
Отметим здесь, что применение формулы (П.4) для решения ал-
гебраических уравнений (П.15) является нерациональным [1]. Наиболее
целесообразно ее решать с помощью алгоритма Гаусса [4, 12]. Этот алго-
ритм, в частности, может быть использован и для вычисления обратной
матрицы. В этом случае необходимо решить
n
систем линейных уравне-
ний
k
eAx =
,
nk
...,,2,1
=
, где
k
e
– k-й столбец единичной матрицы
(П.1). Решение
k
x
системы
k
eAx =
будет представлять собой k-й стол-
бец матрицы
1
−
A
.
Пример П. 6. Найти обратную матрицу для матрицы
.
43
21
=A
Решение. Составляем системы
k
eAx =
,
2,1
=
k
и решаем их мето-
дом Гаусса.
228
Система 1-я итерация Решение
043
12
21
21
=+
=
+
xx
xx
32
12
2
21
−=−
=
+
x
xx
2/3
2
21
11
=
−
=
x
x
143
02
21
21
=+
=
+
xx
xx
12
02
2
21
=−
=
+
x
xx
2/1
1
22
12
−=
=
x
x
Следовательно, искомая матрица
.
5,05,1
12
1
−
−
=
−
A
П.3. Векторное пространство
П.3.1. Совокупность всех n-мерных векторов с определенными опе-
рациями сложения и умножения на число называется n-мерным век-
торны м п ростр анст во м
n
R
.
Векторное пространство является линейным.
П.3.2. Набор
n
линейно независимых векторов
n
εε ...,,
1
образует
ба зи с вект ор но го п ро стр анст ва, если вектор
n
Rx∈
(
∈
– знак
принадлежности) можно представить единственным образом в виде ли-
ней но й к омб ин аци и
∑
εξ=
=
n
i
ii
x
1
,
где
i
ξ
– некоторые числа, называемые координатами вектора
x
в
базисе
ε
.
При обычном представлении вектора
][
1 n
T
xxx K=
(см. П.1.3)
числа
n
xx ...,,
1
являются его координатами в ка нон ич еском ба зи се
ор тов
].100[
.......................................
];010[
];001[
2
1
K
K
K
=
=
=
n
e
e
e
229
П.3.3. Если каждому вектору
x
из
n
R
ставится в соответствие вектор
z
из
m
R
, то говорят, что в
n
R
определено лин ей но е пре обр азо вание
.Axz
=
(П.16)
Здесь
n
m
×
матрица
A
называется ма три цей п рео бразо ва ния .
Если матрица
A
– квадратная и неособенная, то преобразование
Axz
=
называется неособенным или п рео бра зо ван ием п одо бия. В
этом случае определено об ра тно е п рео бра зо ван ие
zAx
1−
=
,
получаемое из выражения (П.16) умножением его на обратную матрицу
1−
A
слева.
П.3.4. При замене переменных
x
и
z
из
n
R
с помощью линейного
неособенного преобразования, задаваемого матрицей
S
(т.е. при замене
1
ξ=
Sx
,
2
ξ=
Sz
, где
1
ξ
и
2
ξ
– новые векторы из
n
R
), преобразование
(П.16) будет описываться эквивалентным ему преобразованием
,
12
ξ=ξ
B
где матрица
.
1
ASSB
−
=
(П.17)
Матрицы
A
и
B
, связанные равенством (П.17), называются подоб-
ными матрицами. Соотношение (П.17) часто называется также преобра-
зованием подобия.
П.4. Характеристические числа матрицы
П.4.1. Уравнение
,0)det(
=
−
λ
AE
где
λ
– число, называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м у р а в н е н и е м
матрицы
A
.
Матрица (
AE
−
λ
) называется ха ра ктерист иче ской м ат ри-
це й матрицы
A
.
П.4.2. Полином
0
1
1
...)det()( α++λα+λ=−λ=λ
−
−
n
n
n
AEp
(П.18)