Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
211
Подставляя полученные значения в (5.52), найдём
−
−
−
+
−
+
−−
=
13,0
2,1
6,02
6,12
)2,0)(3,0(
1
)(
2
2
z
z
z
z
zz
zz
zz
zx
. (5.56)
Для удобства выполнения обратного z-преобразования выделим
сначала из (5.56) z-изображение свободной составляющей. В данном слу-
чае это выражение имеет вид
−
+
−−
=
zz
zz
zz
zx
св
6,02
6,12
)2,0)(3,0(
1
)(
2
2
.
Путём разложения на простейшие дроби его можно представить
следующим образом:
−
−
+
−
=
2,0
2
2,0
20
3,0
22
)(
z
z
z
z
z
z
zx
св
.
Отсюда, с помощью П.7, имеем
⋅
⋅−⋅
=
k
kk
c
в
kx
2,02
2,0203,022
][
. (5.57)
Аналогично из равенства (5.56) выводим следующее выражение для
z-изображения вектора вынужденной составляющей:
−−−
−
−−−
−
=
)1)(2,0)(3,0(
)3,0(
)1)(2,0)(3,0(
)2,1(
)(
zzz
zz
zzz
zz
zx
вын
.
Это выражение, тем же способом, можно представить следующим
образом
212
−
+
−
−
−
−
−
+
−
−
=
2,0
25,1
1
25,1
2,0
5,12
3,0
857,12
1
357,0
)(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zx
вын
.
Отсюда
−
⋅−⋅+⋅−
=
])[12,0(25,1
2,05,123,0857,12][1357,0
][
k
k
kx
k
kk
вын
. (5.58)
Таким образом, выражения (5.57) и (5.58) описывают изменения со-
стояния дискретной системы под действием начальных условий и внеш-
него воздействия, соответственно. Суммируя (5.57) и (5.58) и подставляя
в (5.55), найдём выражение
kk
k
kу 2,05,723,0714,73][1536,0 ⋅−⋅+⋅=
, (5.59)
которое описывает искомую реакцию рассматриваемой системы (5.54),
(5.55) на заданное воздействие при указанных выше начальных условиях.
С помощью (5.59) легко найти, что, например,
2
0
=y
,
947,1
3
≈y
,
692,0
5
≈y
, а
536,0=
∞
y
. Отметим, что аналогичное значение для
0
y
получается и из выражения (5.55), если в него подставить заданный век-
тор начальных условий.
Как и в непрерывном случае, для описания дискретных систем при-
меняются не только рассмотренные выше уравнения вход-выход и урав-
нения в переменных состояния, но и передаточные функции. Определя-
ются они совершенно аналогично, но с помощью z-изображений дис-
кретных воздействий и переменных. Исследование свойств дискретных
систем также проводится путем анализа их реакций на начальные усло-
вия и те же типовые воздействия, точнее их дискретные аналоги.
Аналогично при построении дискретных систем возникает проблема
физической реализуемости моделей вход-выход дискретных систем как
системой с произвольной структурой, так и системой с частично задан-
ной структурой. При этом также можно использовать рассмотренный
выше метод полиномиальных уравнений.
В виду практически полной аналогии алгоритмов решения этих за-
дач для непрерывных и дискретных систем в данной главе они не рас-
сматриваются.
213
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью настоящей монографии является сжатое изложение основных
математических методов, приемов и особенностей исследования непре-
рывных и дискретных динамических систем, описываемых обыкновен-
ными дифференциальными и разностными уравнениями. Предполагает-
ся, что исследование динамических систем проводится в рамках систем-
ного подхода, т.е. на основе математических моделей. Для большей кон-
кретности рассмотрение ограничивается случаем линейных моделей с
постоянными параметрами.
Во второй половине двадцатого века выяснилось, что даже в случае
линейных динамических систем традиционные методы исследования,
которые базируются на дифференциальных уравнениях высокого поряд-
ка, частотных или временных характеристиках вход-выход, характеризу-
ются некоторой некорректностью получаемых результатов. Это обуслов-
лено определенной неполнотой представления системы моделью вход-
выход и в ряде случаев может привести к потере информации о действи-
тельном порядке динамической системы, о её действительном характери-
стическом полиноме и, как следствие, к некорректному заключению об
устойчивости исследуемой системы. В связи с этим в монографии значи-
тельное внимание уделяется рассмотрению взаимосвязей различных мо-
делей одной и той же динамической системы и корректности перехода от
моделей в переменных состояния к моделям вход-выход и обратно.
С другой стороны, решение многих задач анализа и синтеза динами-
ческих систем различного назначения таких, как системы управления и
регулирования, телекоммуникационные и вычислительные системы, сис-
темы энерго- и теплоснабжения и т.п., требует использования различных
моделей динамических систем. Этим обуславливается необходимость
рассматриваемых в монографии преобразований математических моде-
лей, а также полнота и корректность представления ими свойств движе-
ний динамических систем. В процессе создания динамических систем
любого назначения важное место занимают вопросы реализации, т.е. по-
строения технических устройств (элементов систем), способных осуще-
ствить требуемые временные зависимости и соотношения между пере-
менными создаваемой системы. В традиционном подходе считалось, что
связи между параметрами системы, заданной части системы и добавляе-
мой подсистемы (как правило, это управляющая часть) описываются
сложными нелинейными уравнениями. В монографии показано, что при
некоторых условиях и при описании системы и её элементов моделями
вход-выход эти уравнения являются линейными, алгебраическими.
214
Это позволяет значительно упростить решение многих проблем ана-
лиза и синтеза динамических систем.
В тоже время использование моделей в переменных состояния сни-
мает, например, известную проблему начальных и предначальных усло-
вий. Эти модели позволяют распространить известные методы корреля-
ционного анализа на случай исследования переходных процессов линей-
ных динамических систем, подверженных влиянию случайных воздейст-
вий.
Аналогичные примеры можно продолжить.
Автор отдает себе отчет, что приведенные в книге материалы далеко
не отражают все известные методы и приемы исследования динамиче-
ских систем, однако надеется, что они достаточно полно иллюстрируют
отмеченные здесь особенности анализа динамических систем на основе
математических моделей различных типов.
215
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. Матрицы, векторы и действия над ними
П.1.1. Таблица чисел (или функций)
=
nmn
m
aa
aa
A
K
KKKK
K
1
111
называется
m
n
×
м атр ице й (или функциональной
m
n
×
матрицей)
][
ik
aA =
. Числа или функции
ik
a
называются элементами матрицы А.
В обозначении элемента матрицы
ik
a
первый индекс всегда соот-
ветствует номеру строки, а второй – номеру столбца, на пересечении ко-
торых расположен этот элемент.
П.1.2. Если
n
m
=
, то
n
n
×
матрица называется квадратной, а число
n
– ее порядком или размерностью.
П.1.3. Вектором (или вектором-столбцом) называется матрица
=
n
x
x
x M
1
.
Числа или функции
i
x
называются комп он ен тами (или коорди-
натами) вектора
x
, а число
n
– его р азм ерно сть ю. Этот факт обозна-
чается
nx
=
dim
.
Если все компоненты вектора равны нулю, то он называется нуле-
вым. Если координаты
i
y
вектора
y
являются функциями, определен-
ными на компонентах некоторого вектора
x
, т.е.
i
y
=
),,,(
nii
xxy
K
то
пишут
)(xyy
=
, а y называется вектор-функцией.
П.1.4. Векторы
[
]
,,,
1 imii
aaa
K
=
ni ,,2,1 K
=
называются строка-
ми матрицы А. Векторы
,
1
=
nk
k
k
a
a
a M
mk
,,1
K
=
216
называются столбцами матрицы А.
П.1.5. Матрицу А можно представить так
.][
1
1
==
n
m
a
a
aaA MK
П.1.6. Сумма матриц (векторов)
][
ik
aA =
и
][
ik
bB =
определяется
формулой
][
ikik
baBA +=+
.
Пример П.1.
+++
+++
+++
=
+
333332323131
232322222121
131312121111
3332311
232221
131211
3332311
232221
131211
bababa
bababa
bababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
П.1.7. Произведение матрицы
][
ik
aA =
на число
α
определяется
соотношением
][
ik
aAA α=α=α
.
Пример П.2.
=
2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aa
αα
αα
α
.
П.1.8. Если
][
i
aa =
,
][
i
bb =
n
-мерные векторы, то их скал яр но е
пр оизвед ени е, обозначаемое
),( ba
, есть действительное число и оп-
ределяется выражением
∑
==
=
n
i
ii
baabba
1
),(),(
,
где
i
b
– число, комплексно-сопряженное с
i
b
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами [5]:
;0),(
=
aa
, если
,0
=
a 0),(
>
aa
, если
0
≠
a
,
),(),( baba
α
=
α
;
),(),( baba
α
=
α
, где
α
– комплексное число.
П.1.9. Произведение комплексных матриц
][
ik
aA =
размерности
m
n
×
и
][
ik
bB =
размерности
mn
′
×
′
, где
nm
′
=
,
mn
′
=
, есть матрица
217
=
∑
=
m
s
skis
baAB
1
Пример П.3. Найти произведение матриц
,
2221
1211
=
aa
aa
A
,
232221
131211
=
bbb
bbb
B
+++
+++
=
232213212222122121221121
231213112212121121111111
babababababa
babababababa
AB
Если матрица
A
представлена строками, а
B
– столбцами, т.е.
,
1
=
n
a
a
A M
],,,[
1 m
bbB K=
то произведение
AB
имеет вид
=
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
m
nnn
m
m
bababa
bababa
bababa
AB
K
MOMM
K
K
.
В общем случае
.BAAB
≠
Пример П.4.
;
00
30
20
10
00
21
=
−
218
.
00
00
00
21
20
10
=
−
Если
CBA ,,
– матрицы и
α
,
β
– числа, то
BCACBCACCBA
β
+
β
+
α
+
α
=
+
β
+
α
))((
.
])[()()()()( CABCABCABBCA
β
+
α
=
β
+
α
=
β
+
α
.
П.1.10. Матрицы
A
и
B
, для которых выполняется условие
BA
AB
=
, называются п ере ста но воч ным и
.
П.1.11. Матрица
=
100
010
001
K
MOMM
K
K
E
(П.1)
называется едини чно й. Она играет роль единицы при умножении мат-
риц, так как
.AAEEA
=
=
П.1.12. Квадратная матрица, у которой все числа, расположенные
вне главной диагонали, равны нулю, называется диа го нал ьно й. Ее обо-
значают
[ ]
.
00
00
00
22
11
11
==
nn
nn
a
a
a
aadiagA
K
MOMM
K
K
K
(П.2)
П.1.13. Квадратная матрица, у которой все числа ниже главной диаго-
нали равны нулю, называется верх ней т ре уго ль ной матрицей.
П.1.14. Если
][
ik
aA =
есть
m
n
×
матрица, то
n
m
×
матрица
][
ki
Т
aA =
называется тра нс понир ов анно й матрицей
A
.
Транспонированный
1
×
n
вектор
a
является
n
×
1
вектор-строкой
и обозначается также
T
a
.
Если A и B – матрицы, а
β
α
,
– числа, то справедливы соотношения
219
.)(;)(;)(
TTTTTTTT
ABABBABAAA =β+α=β+α=
Скалярное произведение действительных векторов
ba,
с исполь-
зованием операции транспонирования записывается так:
.),(;),( AbaAbaabbaba
TTT
===
П.1.15. Произведение
T
ba
действительных векторов
ba,
есть мат-
рица [2] вида
.
21
22212
12111
=
nnnn
n
n
T
ababab
ababab
ababab
ba
K
KKKKKKKKKKK
K
K
П.1.16. Матрица
A
называется си мметр иче ской , если
A
A
T
=
, и
ко со сим ме три че ско й, если
A
A
T
−
=
.
П.1.17. Если
][
ik
aA =
есть
m
n
×
комплексно-значная матрица, то
n
m
×
матрица
][
*
ki
aA =
, где
ki
a
(сопряженные величины для
ik
a
),
называется ком плекс но-со пря женной для матрицы
A
.
Справедливы соотношения
AA =
**
)(
;
****
)( BABA +=+
;
***
)( ABAB =
. Скалярное произведение комплексно-значных векторов
a
и
b
записывается как
abba
*
),( =
.
П.1.18. Оп ред ели те ле м квадратной
n
n
×
матрицы
][
ik
aA
=
на-
зывается число
∑
∆
∑
−=∆−=
= =
++
n
k
ikik
n
i
ik
ikik
ik
aaA
1 1
.)1()1(det
(П.3)
Здесь
ik
∆
– определитель матрицы
1
−
n
порядка, получающейся из
A
вычеркиванием
i
-й строки и
k
-го столбца.
Для определителей справедливы соотношения
.detdet;detdet)det(;det)det( AABAABAA
Tn
===
αα
220
П.1.19. Квадратная матрица
A
называется нео со бе нно й (нес ин-
гу ля рн ой), если
0det
≠
A
. В противном случае матрица называется
ос обе нно й (си нг уля рно й).
П.1.20. Матрица
1−
A
называется о бра тной матрице
A
, если
.
11
EAAAA ==
−−
Имеют место соотношения:
11
)(det)det(
−−
= AA
;
11
)()(
−−
=
TT
AA
;
111
)(
−−−
= ABAB
. Только неособенные матрицы имеют обратные.
Обратная матрица обычно вычисляется по формуле
,
det
1
1
Aadj
A
A =
−
(П.4)
где
][
ik
Aadj
ξ=
– с ою зная (п рис ое ди ненна я) матрица, элементы
которой с учетом обозначения (П.З) имеют вид
.)1(
ki
ik
ik
∆−=
+
ξ
(П.5)
Пример П.5. Вычислим
1−
A
для матрицы
.
310
520
001
=A
Решение. Определитель матрицы
.01
31
52
det1det ≠=
=A
Элементы союзной матрицы
][)(
ik
Aadj
ξ
=
по формуле (П.5)
0;0;1
31
52
det)1(
1312
2
11
=ξ=ξ=
−=ξ
,
5;3;0
30
50
det)1(
2322
3
21
−=ξ=ξ=
−=ξ
,