Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
121
,
121
gxx β+=
&
,
221102
gxaxax β+−−=
&
.
21
gbxy +=
В векторно-матричной форме эти уравнения принимают стандарт-
ный вид
[ ]
gbxygx
aa
x
2
2
1
10
01,
10
+=
β
β
+
−−
=
&
,
где
T
xxx ][
21
=
– вектор состояния.
Как видно из приведенных примеров, рассмотренный метод перехо-
да от уравнений вход-выход к уравнениям в переменных состояния тре-
бует хотя и простых, но достаточно длинных и утомительных выкладок.
Гораздо быстрее и эффективнее указанный переход можно прово-
дить с использованием соотношений, полученных выше для канониче-
ских форм. При этом естественно получаются другие уравнения, но они
эквивалентны, в смысле связей вход-выход, как уравнениям, получаемым
описанными выше способами, так и уравнениям, полученным любым
другим способом.
Применение канонических форм. Здесь, как и ранее задача преоб-
разования модели вход-выход в модель в переменных состояния имеет
решение, если только заданные передаточные функции удовлетворяют
условию (3.16). Поэтому в дальнейшем будем считать, что это условие
выполняется.
Из приведенных выше выражений (3.18) – (3.21) следует, что для за-
писи соответствующих уравнений в переменных состояния на основе
канонических форм (3.18) или (3.20) необходимо преобразовать заданные
передаточные функции так, чтобы они удовлетворяли следующим усло-
виям:
1. В знаменателе коэффициент при р в старшей степени равен еди-
нице.
2. Степень дробной части передаточных функций строго меньше
степени знаменателя.
3. Если задано несколько передаточных функций одной и той же
системы, то знаменатели у всех у них одинаковы.
Этим условиям, очевидно, удовлетворяют функции вида
122
nn
n
n
n
nyg
ppp
pbpbb
pW
+α++α+α
+++
+β=
−
−
−
1
110
1
21
)(
K
K
. (3.33)
Условимся, передаточные функции вида (3.33) одной и той же сис-
темы, удовлетворяющие указанным условиям 1 – 3, называть ка но ни че-
ским и. Подчеркнем, что преобразование передаточных функций произ-
вольного вида к канонической форме (3.33) должно, естественно, осуще-
ствляться эквивалентными преобразованиями дробных функций (умно-
жением или делением их числителей и знаменателей на одни и те же чис-
ла или полиномы).
В соответствии с полученным выше выражением (3.15) и приведен-
ными примерами 3.1 – 3.3, в самом общем случае, передаточная функция
системы, показанной на рис. 3.1, это отношение полиномов одинаковой
степени
n
, т.е.
n
n
n
n
n
n
yg
ppp
pp
pW
α+α++α+α
β++β+β
=
−
−
~~~~
~
~
~
)(
1
110
10
K
K
. (3.34)
Данная передаточная функция удовлетворяет условию (3.16), но не
является канонической. Чтобы привести коэффициент при
n
p
в знаме-
нателе к единице, разделим коэффициенты числителя и знаменателя на
n
a
~
. Получим
n
i
i
α
α
=α
~
~
,
n
i
i
α
β
=β
~
~
,
ni
,0=
.
Далее выделим целую часть
)(
pW
yg
(3.34), т.е. представим ее в виде
(3.33). При этом коэффициенты
i
b
можно вычислять по формулам
11 −−
αβ−β=
inii
b
,
.,1
ni
=
(3.35)
Для этой цели можно также разделить полином числителя на полином
знаменателя (начиная со старшей степени). Частное указанного деления
(число
n
β
) это целая часть дроби (3.33), а остаток – числитель её дроб-
ной части.
123
В случае одномерной системы, к которой относится заданная пере-
даточная функция (3.34), для записи соответствующих уравнений в пере-
менных состояния можно использовать либо КУФ, либо КНФ, так как с
точки зрения эквивалентности в смысле связи вход-выход обе эти формы
равноценны.
Используя соотношения (3.18), (3.19), можно записать
gx
aaaa
x
n
+
−−−−
=
−
1
0
0
0
1000
0100
0010
1210
M
L
L
MOMMM
L
L
&
, (3.36)
gxbbbby
nn
β+= ] [
321
L
. (3.37)
Аналогично, используя соотношения (3.20), (3.21), будем иметь
g
b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
n
n
+
−
−
−
−
=
−
M
L
MOMMM
L
L
L
&
3
2
1
1
2
1
0
100
010
001
000
, (3.38)
[
]
gxy
n
β+= 1000 L
. (3.39)
Применяя приведенные выше общие формулы (3.9), (3.12), (3.15)
или соответствующие частные соотношения (3.18) – (3.21), можно убе-
диться, что полученным уравнениям в переменных состояния (3.36) –
(3.39) соответствует передаточная функция (3.34) с точностью до посто-
янного множителя
n
α
~
в числителе и в знаменателе.
Неоднозначность перехода от уравнений вход-выход к уравне-
ниям в переменных состояния. Как видно, одной и той же передаточ-
ной функции (3.33) или (3.34) соответствуют совершенно разные уравне-
ния в переменных состояния. В этом и заключается указанная выше не-
124
однозначность решения задачи перехода от моделей вход-выход к моде-
лям в переменных состояния.
Отметим, что в общем случае уравнения в переменных состояния
динамической системы, записанные лишь по заданной передаточной
функции, могут отличаться и значением порядка, т.е. размерностью век-
тора состояния
x
.
Пример 3.5. Рассмотрим две передаточные функции
32
3
1
315129
63
)(
ppp
p
pW
+++
+
=
,
32
4
2
315129
8124
)(
ppp
pp
pW
+++
++
=
.
Найти соответствующие каждой из них уравнения в переменных со-
стояния.
Решение. По отношению ко второй передаточной функции
)(
2
pW
задача решения не имеет, так как не выполнено условие (3.16), поскольку
34
=
>
=
nm
. По отношению к
)(
1
pW
решение существует.
Как и выше, преобразуем сначала заданную передаточную функ-
цию
)(
1
pW
к каноническому виду (3.33). С этой целью приведем коэф-
фициент при
n
p
знаменателя к 1 и выделим целую часть с помощью
соотношений (3.35). Получим
,
543
21
)(
32
3
1
ppp
p
pW
+++
+
=
,
543
2)(
32
2
321
1
ppp
pbpbb
pW
+++
++
+=
где
,2,0,0,1
3210
=β=β=β=β
,5,4 ,3
210
=α=α=α
,5321
0301
−=⋅−=αβ−β=
b
,8420
1312
−=⋅−=αβ−β=
b
,10520
2323
−=⋅−=αβ−β=
b
Следовательно
.2
543
1085
)(
32
2
1
+
+++
−−−
=
ppp
pp
pW
(3.40)
125
Теперь, применяя соотношения (3.33) и (3.36), (3.37), можно записать
gxx
+
−−−
=
1
0
0
543
100
010
&
, (3.41)
[
]
gxy 21085 +−−−=
, (3.42)
а, применяя соотношения (3.33) и (3.38), (3.39), найдем
gxx
−
−
−
+
−
−
−
=
10
8
5
510
401
300
&
, (3.43)
[
]
gxy 2 1 00 +=
. (3.44)
Однако передаточную функцию (3.40), умножив ее числитель и зна-
менатель, например, на
)1(
+
p
, можно представить в виде
432
32
6973
1018135
2)(
pppp
ppp
pW
++++
−−−−
+=
.
Применяя к этому выражению снова соотношения (3.33) и (3.36), (3.37),
получим
,
1
0
0
0
6973
1000
0100
0010
gxx
+
−−−−
=
&
(3.45)
[
]
.21018135 gxy +−−−−=
(3.46)
Эта модель в переменных состояния, как и (3.41), (3.42) или
(3.43), (3.44), имеет заданную передаточную функцию (3.40) (после
сокращения на двучлен
1
+
p
), хотя ее порядок, как видно, равен че-
тырем.
Таким образом, модели в переменных состояния, пост рое нн ые
по пер ед ато чн ым фу нк ция м и ли п о ура вн ени ям вход-вых од,
126
ни в коей мере не отражают внутренней структуры исследуемых систем.
Они, как и исходные модели вход-выход, описывают только соотношения,
связь между входом и выходом динамической системы.
Однако ряд задач теории систем решаются на основе уравнений в пе-
ременных состояния проще, чем на основе уравнений вход-выход. Поэтому
и возникает необходимость рассматриваемого преобразования моделей.
Многомерный случай. Здесь рассматривается динамическая систе-
ма с несколькими входами и несколькими выходами (рис. 3.2). В зависи-
мости от соотношения числа входов и числа выходов переход к уравне-
ниям в переменных состояния осущест-
вляется различными методами. Наибо-
лее сложной является ситуация, когда
число входов и число выходов больше
одного. В этом случае расчет коэффици-
ентов уравнений в переменных состоя-
ния минимальной размерности представляет сложную задачу [8]. Для его
осуществления целесообразно использовать ЭЦВМ и специальные про-
граммы [11].
Если же размерность получаемой модели в переменных состояния
не имеет значения, то для перехода к уравнениям в переменных состоя-
ния такую систему можно рассматривать как несколько систем с одним
входом или выходом, например, как показано на рис. 3.3. В этом случае
коэффициенты уравнений в переменных состояния находятся по форму-
лам, приведенным выше для КУФ или КНФ.
Уравнения системы в переменных состояния в этом случае получа-
ются в результате объединения уравне-
ний каждой из подсистем. Это приво-
дит к модели довольно высокого по-
рядка.
Если чрезмерное увеличение раз-
мерности модели недопустимо, то для
получения уравнений в переменных
состояния в этом случае, как отмеча-
лось выше, необходимо использовать
специальные программы, которые по-
зволяют по заданной передаточной
матрице получить уравнения системы в переменных состояния мини-
мального порядка.
Рассмотрим сначала частные случаи.
W
y
1
y
2
g
1
g
2
g
3
Рис. 3.2
W
1
y
1
g
1
g
2
g
3
W
2
y
2
Рис. 3.3
127
Система с несколькими входами и одним выходом. Предполо-
жим, система (см. рис. 3.4, где число входов
2
=
k
) задана передаточной
матрицей следующего вида
[
]
)( )( )()(
21
pWpWpWpW
kyg
K=
. (3.47)
При этом
)(
)(
)(
pg
py
pW
i
i
=
,
ki ,1=
,
где
1
>
k
,
i
g
и
y
– скаляры. Как показано
выше, в общем случае передаточные функции имеют вид
,
)(
)(
)(
pA
pB
pW
i
i
i
=
.)(deg)(deg pApB
ii
≤
В рассматриваемом случае для получения соответствующих уравне-
ний в переменных состояния целесообразно воспользоваться соотноше-
ниями (3.20), (3.21), справедливыми для КНФ.
Прежде всего, заданная передаточная матрица
)(pW
(3.47) преобра-
зуется так, чтобы её элементы
)(pW
i
были приведены к указанному вы-
ше каноническому виду (3.33). В частности, все передаточные функции
)(pW
i
приводятся к одному общему знаменателю
kipApA
i
,1)},(HOK{)( ==
, (3.48)
Здесь НОК– наименьшее общее кратное.
Это приведение осуществляется путем умножения числителя и зна-
менателя каждой передаточной функции
)(pW
i
на соответствующий
множитель
ki
pA
pA
pA
i
i
,1,
)(
)(
)(
~
==
. (3.49)
После приведения
)(pW
i
к каноническому виду (3.33) записываются
W
y
g
1
g
2
Рис. 3.4
128
уравнения в переменных состояния в соответствии с выражениями
(3.20), (3.21), т.е. если
ki
ppp
pbpbb
pW
nn
n
n
inii
ii
,1,)(
1
110
1
21
=
+α++α+α
+++
+β=
−
−
−
K
K
, (3.50)
то
,
100
001
000
21
22212
12111
1
1
0
g
bbb
bbb
bbb
xx
knnn
k
k
n
+
α−
α−
α−
=
−
K
MOMM
K
K
K
MMOMM
K
K
&
(3.51)
[
]
[
]
gxy
k
1 0 00
21
βββ+= KK
. (3.52)
Можно доказать, что эта модель в переменных состояния будет
иметь наименьший порядок для заданной
)(pW
yg
(3.47).
Легко показать, что в том случае, когда, например,
∏
=
=
k
i
i
pApA
1
)()(
, размерность вектора x соответствующей модели будет
выше, то есть порядок системы не будет минимальным.
Система с несколькими выходами и одним входом. В этом случае
многомерная динамическая система (см. рис. 3.5, где число выходов
2
=
q
) задается передаточной матрицей-столбцом, т.е.
=
)(
)(
)(
1
pW
pW
pW
q
yg
M
. (3.53)
Причем, по-прежнему, будем полагать
)(deg)(deg,,1,
)(
)(
)( pApBqi
pA
pB
pW
ii
i
i
i
≤==
. (3.54)
Для получения уравнений в переменных состояния здесь целесооб-
разно воспользоваться соотношениями (3.18), (3.19) для уравнений в КУФ.
W
g
y
1
y
2
Рис. 3.5
129
Как и ранее, предварительно необходимо привести заданные переда-
точные функции (3.54) к каноническому виду (3.33) или (3.50). Затем, что-
бы получить модель в переменных состояния минимального порядка,
соответствующую передаточной матрице (3.53), разыскивается полином
)(pA
по формуле
})()(НОК{)(
1
pApApA
q
K=
,
а передаточные функции (3.54) приводятся к общему знаменателю
)(pA
.
После этого записываются уравнения в переменных состояния следующим
образом
,
1
0
0
0100
0010
1210
gxx
n
+
α−α−α−α−
=
−
M
K
MOMMM
K
K
&
(3.55)
.
1
321
1131211
gx
bbbb
bbbb
y
qqnqqq
n
β
β
+
= M
K
MOMMM
K
(3.56)
Пример 3.6. Найти уравнения в переменных состояния, если пере-
даточная матрица системы имеет вид
+
+
+
=
3
8
62
24
)(
2
2
p
p
pp
p
pW
yg
. (3.57)
Решение. Приводя к каноническому виду (3.50) передаточные функ-
ции
)(pW
i
,
2,1
=
i
, будем иметь
pp
p
pp
p
pW
3
16
2
3
12
)(
22
2
1
+
+−
+=
+
+
=
,
130
3
24
8)(
2
+
−=
p
pW
.
)3(}3),3(HOK{)(
+
=
+
+
=
ppppppA
.
Следовательно, передаточные функции заданной матрицы (3.57) в
канонической форме имеют вид
,
3
16
2)(
2
1
pp
p
pW
+
+−
+=
.
3
24
8)(
2
2
pp
p
pW
+
−=
Далее, применяя соотношения (3.55), (3.56) при
2
=
=
qn
, получим
,
1
0
30
10
gxx
+
−
=
&
(3.58)
.
8
2
240
61
gxy
+
−
−
=
(3.59)
Эти уравнения описывают динамическую систему минимального по-
рядка, передаточная матрица которой определена выражением (3.57).
§ 3.3. Задача реализации моделей вход-выход
Реализация той или иной математической модели заключается в
создании, построении некоторой физической системы, движения которой
(в указанном выше смысле) описываются заданной моделью. Способы
построения и условия, при которых возможна реализация той или иной
модели, зависят, в первую очередь, от свойств тех элементов, из которых
будет создаваться реализующая система.
Для определенности ограничимся здесь случаем реализации моде-
лей с помощью электронных элементов. Кроме того, будем предполагать,
что воздействия и переменные, действующие в системах, модели кото-
рых реализуются, низкочастотные. В этом случае можно считать, что
существуют электронные усилители с передаточной функцией, равной
некоторому числу, а также интеграторы и суммирующие элементы.
С другой стороны, если проанализировать структурные схемы, соот-
ветствующие, скажем, канонической управляемой форме (см. рис. 2.1)
или канонической наблюдаемой форме (см. рис. 2.2) уравнений в пере-